ENS Mathématiques D MP 2022Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Points rationnels d'une quadrique : géométrie hyperbolique, symétries et arithmétique modulaire

Le sujet étudie les solutions entières et rationnelles de l'équation 3x² + 3y² - z² = -1, en croisant algèbre bilinéaire, géométrie hyperbolique et arithmétique modulaire. Les parties 2 à 6 étudient la géométrie et les symétries du problème pour obtenir une asymptotique du nombre de solutions de dénominateur fixé, tandis que la partie 7, indépendante, établit des résultats d'arithmétique modulaire réutilisés en partie 8 pour une asymptotique du nombre de solutions contenues dans un compact fixé. Le sujet était particulièrement long : une seule copie a eu le temps d'aborder la dernière partie.

1Partie 1 : Un critère d'équidistributionConstruit, via des polynômes itérés puis des sommes trigonométriques, un critère assurant qu'une suite de parties finies du carré s'équidistribue.
2Partie 2 : Pseudo-orthogonalitéÉtudie le pseudo-orthogonal d'un vecteur pour la forme bilinéaire B, qui n'est pas définie positive, et montre qu'il devient un produit scalaire sur H.
3Partie 3 : Symétries réellesDéfinit le groupe des endomorphismes préservant B et construit des réflexions permettant d'envoyer un point de H sur un autre.
4Partie 4 : Géométrie de HIntroduit une distance hyperbolique sur H à partir de la longueur des chemins, et paramètre H à l'aide des fonctions sh et ch.
5Partie 5 : Symétries entièresÉtudie le sous-groupe des symétries préservant les vecteurs entiers et construit un domaine T compact pour son action.
6Partie 6 : Points rationnels de hauteur bornéeÉtablit une asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur fixée et de troisième coordonnée inférieure à un seuil s.
7Partie 7 : L'équation a² + b² = 0 mod dPartie indépendante des précédentes, qui étudie par arithmétique modulaire (congruences, isomorphisme chinois) les solutions de a² + b² ≡ 0 mod d.
8Partie 8 : Comportement asymptotique de P≤hRéutilise les résultats de toutes les parties précédentes pour estimer, quand h tend vers l'infini, le nombre de points rationnels de hauteur au plus h dans une boule hyperbolique fixée.

Difficile. Le rapport qualifie l'épreuve de longue et difficile, la moyenne n'est que de 5,38/20, et une seule copie a atteint la dernière partie.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 5,38 / 20 · écart-type 4,09 · 1 260 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 5,38/ 20
Écart-type: 4,09
Présents: 1 260

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Analyse-synthèse invoquée à tort · Confusion sur l'inversibilité des éléments · Élément inversible ou sous-groupe non vérifié

Le sujet croisait algèbre, géométrie hyperbolique et arithmétique modulaire sur 8 parties de longueurs inégales, avec très peu d'applications directes du cours. Le barème favorisait les candidats ayant fait un effort de recherche sur les questions difficiles plutôt que ceux qui survolaient rapidement les questions faciles, et il suffisait de traiter une partie du sujet pour obtenir une très bonne note. Le jury regrette par ailleurs un manque général de soin et de lisibilité dans les copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Analyse-synthèse invoquée à tortQ1.1
À la question 1.1, de nombreuses copies ont prétendu raisonner par analyse-synthèse alors que ce n'était pas pertinent : l'analyse se limitait à des calculs sans but et la synthèse à une simple affirmation non justifiée.
« d'après les calculs précédents, ça marche »
2
Confusion sur l'inversibilité des élémentsQ1.3
À la question 1.3, certaines copies ont justifié à tort qu'un élément était inversible pour un mauvais motif ; cet argument n'a pas été validé.
« tout élément est inversible »
3
Élément inversible ou sous-groupe non vérifiéQ3.1
À la question 3.1, beaucoup de copies n'ont pas vérifié que les éléments de G sont inversibles, certaines allant jusqu'à affirmer directement que G est un sous-groupe.
4
Interversion de limites non justifiéeQ1.7
À la question 1.7, trop de copies ont traité l'interversion de deux limites comme allant de soi, sans la justifier, et certaines ont affirmé à tort une convergence uniforme vers une fonction non continue.
« trop de copies ont fait comme si l'interversion allait de soi »
5
Séparation de la distance mal justifiéeQ4.5
À la question 4.5, beaucoup de copies ont bien démontré les deux premières propriétés d'une distance mais pas la séparation, avec une erreur logique fréquente en invoquant un chemin de longueur nulle.
« il existe un chemin de longueur nulle »
6
Manque de soin dans la rédaction
Le jury signale un défaut généralisé : une proportion significative des copies était mal écrite et peu soignée, ce qui gêne la correction.
« Une proportion significative des copies avaient une écriture difficilement lisible et très peu soignée. »

Ce qui a été bien réussi

Les questions 1.2, 1.6, 3.3, 3.5, 4.6, 4.8 et 6.1 ont été globalement bien traitées.
Un grand nombre de candidats ont fourni un réel effort de recherche sur les questions difficiles et ont pu s'en montrer fiers.
Plusieurs copies ont repéré l'erreur de constantes à la question 1.4, ce qui a été récompensé.

Conseils du jury

Soigner la présentation : écriture lisible, ratures propres, résultats encadrés, et calculs faits au brouillon avant d'être recopiés.
Justifier même les points qui semblent évidents, comme la non-nullité d'une forme linéaire ou l'inversibilité d'éléments d'un groupe.
Éviter d'invoquer un raisonnement par analyse-synthèse quand il n'apporte rien : il a été pénalisé lorsqu'il n'était pas pertinent.
Privilégier un travail en profondeur sur une partie du sujet plutôt qu'un survol de l'ensemble : traiter en profondeur les parties 1 à 4, ou les parties 1 à 3 avec la première moitié de la partie 7, suffisait pour obtenir une très bonne note.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2022

J EUDI 28 AVRIL 2022
08h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve

n^\circ7

MATHEMATI QUES D (U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 13 pages, numérotées de 1 à 13.

Début de l'épreuve

Points rationnels de la quadrique

3x^2 + 3y^2 - z^2 = - 1

Le problème comporte 8 parties. La partie 1 n'est utilisée que dans la partie 8. Les parties 2 à 6 sont interdépendantes. La partie 7 est indépendante des précédentes. La partie 8 utilise les résultats de toutes les autres parties.

Notations et définitions

L'objet de ce problème est l'étude des solutions entières et rationnelles de l'équation

3x^2 + 3y^2 - z^2 = - 1.

On note $V$ l'espace des vecteurs colonnes $M_(3, 1)(ℝ)$ , canoniquement isomorphe à $ℝ^3$ . Étant donné un vecteur $v$ de $V$ , on note $x_v, y_v$ et $z_v$ ses coordonnées dans la base canonique, de sorte que

v = (x_v; y_v; z_v)

On munit $V$ de la forme bilinéaire symétrique

B : ((x; y; z), (x^'; y^'; z^')) \mapsto 3xx^' + 3yy^' - zz^'

Notons que

B

n'est pas définie positive.
L'équation (1) se réécrit :

B((x; y; z), (x; y; z)) = - 1

On note $H$ l'ensemble

H = {v ∈ V|B(v, v) = − 1 et z_v > 0}.

On note $v_0$ le vecteur $(0; 0; 1)$ . On remarquera que $v_0 \in H$ et que pour tout $v \in V$ , on a

B(v, v_0) = - z_v.

On note $V_ℤ$ l'ensemble des vecteurs de $V$ à coordonnées entières. Un vecteur entier est appelé primitif si ses coordonnées n'ont pas de diviseur commun autre que 1 et -1 .
On note $V_ℚ$ l'ensemble des vecteurs de $V$ à coordonnées rationnelles. Étant donné un vecteur $v \in V_ℚ$ , on appelle hauteur de $v$ , et on note $ht(v)$ , le plus petit dénominateur commun à $x_v, y_v$ et $z_v$ , c'est-à-dire le plus petit entier $k \geq 1$ tel que $kv \in V_ℤ$ .
Pour tout entier $k \geq 1$ , on définit

P_k = {v ∈ H ∩ V_ℚ tels que kv ∈ V_ℤ}

et pour tout

h \in ℝ_+^*

, on pose

P_(≤ h) = ⋃_(k ≤ h)P_k = {v ∈ H ∩ V_ℚ tels que ht(v) ≤ h}.

Le cardinal d'un ensemble fini $A$ est noté $|A|$ .
Étant donné un nombre réel $x$ , on note $⌊x⌋$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ et $⌈x⌉$ le plus petit entier supérieur ou égal à $x$ .

Partie 1 : Un critère d'équidistribution

Les résultats de cette partie ne seront utilisés que dans la partie 8.
1.1. Soit

a

un réel de l'intervalle ouvert

]0, 1[

. Montrer qu'il existe

λ > 0

tel que le polynôme

P(x) = x - λx(x - a)(x - 1)

vérifie les deux propriétés suivantes :

$P([0, 1]) = [0, 1]$ ,
$P$ est croissant sur $[0, 1]$ .

On fixe un tel choix de

λ

et on note

P_a

le polynôme

x - λx(x - a)(x - 1)

. Soit

(P_a^(on))_(n \geq 0)

la suite de polynômes définie par récurrence par

$P_a^(\circ 0)(x) = x$ ,
$P_a^(\circ n + 1)(x) = P_a(P_a^(\circ n)(x))$ .
1.2. Montrer que $P_a^(on)$ converge uniformément vers 1 sur tout compact de $]a, 1]$ et uniformément vers 0 sur tout compact de $[0, a[$ .

On note

C([ - 1, 1])

l'espace vectoriel des fonctions continues de

[ - 1, 1]

dans

ℂ

T([ - 1, 1])

le sous-espace vectoriel complexe de

C([ - 1, 1])

engendré par les fonctions

e_k : t \mapsto e^(iπkt), k \in ℤ.

1.3. Montrer que

T([0, 1])

est une sous-algèbre de

C([ - 1, 1])

pour la loi de multiplication usuelle des fonctions.
1.4. Soit

b \in ℝ

tel que

cos(b) \in ]0, 1[

. Montrer que la suite de fonctions

(f_(b, n))_(n \in ℕ)

définie par

f_(b, n)(t) = P_(cos(b))^(\circ n)(cos^2(π/2t))

converge uniformément vers 1 sur tout compact de

] - cos(b), cos(b)

[ et converge uniformément vers 0 sur tout compact de

[ - 1, - cos(b)[ \cup ]cos(b), 1]

On note

C([ - 1, 1]^2)

l'espace des fonctions continues de

[ - 1, 1]^2

dans

ℂ

T([ - 1, 1]^2)

le sous-espace engendré par les fonctions

e_(u, v) : (s, t) \mapsto e^(iπus)e^(iπvt), (u, v) \in ℤ^2.

1.5. Soient

a, b, c, d \in [ - 1, 1]

tels que

a < b

c < d

. Montrer que pour tout

ε < min((b - a)/2, (d - c)/2)

, il existe

f_ε \in T([ - 1, 1] \times [ - 1, 1])

vérifiant les propriétés suivantes :

$f_ε(s, t) \in [0, 1]$ pour tout $(s, t) \in [ - 1, 1]^2$ ,
$f_ε(s, t) \leq ε$ pour $(s, t) \notin [a, b] \times [c, d]$ ,
$f_ε(s, t) \geq 1 - ε$ pour $(s, t) \in [a + ε, b - ε] \times [c + ε, d - ε]$ .

Soit

(E_n)_(n \in ℕ)

une suite de parties finies de

[ - 1, 1]^2

telle que, pour tout

(u, v) \neq (0, 0)

1/(|E_n|)\sum_((s, t) \in E_n)e_(u, v)(s, t) ⟶ _(n \to + \infty)0.

1.6. Montrer que pour tout

f \in T

1/(|E_n|)\sum_((s, t) \in E_n)f(s, t) ⟶ _(n \to + \infty)1/4\int_(- 1)^1\int_(- 1)^1 f(s, t)ds dt

1.7. Montrer que pour tous

a, b, c, d \in [ - 1, 1]

tels que

a < b

c < d

(|E_n \cap ([a, b] \times [c, d])|)/(|E_n|) ⟶ _(n \to + \infty)(|b - a||d - c|)/4.

On dit d'une telle suite

E_n

qu'elle

s

'équidistribue dans

[ - 1, 1] \times [ - 1, 1]

Partie 2 : Pseudo-orthogonalité

Rappelons que la forme bilinéaire

B

définie en préambule n'est pas définie positive. Étant donné un vecteur

v \in V

, on appelle pseudo-orthogonal de

v

et on note

v^⊥

l'ensemble des vecteurs

w

tels que

B(v, w) = 0

.
2.1. Soit

v

un vecteur non-nul de

V

. Montrer que

v^⊥

est un sous-espace vectoriel de

V

de codimension 1 , et que

v^⊥

est un supplémentaire de la droite engendrée par

v

si et seulement si

B(v, v) \neq 0

.
2.2. Soient

v_1

v_2

deux vecteurs de

H

. Montrer que

B(v_1, v_2) \leq - 1,

avec égalité si et seulement si

v_1 = v_2

.
2.3. En déduire que si

v \in H

, alors la restriction de

B

v^⊥

est un produit scalaire.

Partie 3 : Symétries réelles

On identifie

M_3(ℝ)

avec les endomorphismes linéaires de

V

. Soit

G

l'ensemble des endomorphismes

g

tels que

B(gu, gv) = B(u, v)

pour tous

u, v \in V

.
3.1. Montrer que

G

est un groupe pour la composition des applications linéaires.
3.2. Montrer que, pour tout

g \in G

, on a

g(H) = H

- g(H) = H

On notera

G_0

le sous-groupe de

G

formé des éléments

g

tels que

g(H) = H

. Pour tout

w \in V

tel que

B(w, w) > 0

, on définit l'application linéaire

s_w : v \mapsto v - 2(B(v, w))/(B(w, w))w.

3.3. Montrer que

s_w^2 = Id_V

, et déterminer les valeurs propres et espaces propres de

s_w

.
3.4. Montrer que

s_w \in G_0

.
3.5. Montrer que pour tous

u, v \in H

, il existe

w \in V

tel que

B(w, w) > 0

s_w(u) = v

Partie 4 : Géométrie de $H$

On note arcch :

[1, + \infty) \to ℝ_+

la réciproque du cosinus hyperbolique, c'est-à-dire l'unique fonction telle que

arcch(ch(x)) = x

pour tout

x \in ℝ_+

. La fonction arcch est dérivable sur

]1, + \infty)

et on a

arcch^'(x) = 1/(\sqrt(x^2 - 1))

4.1. Soit

v \in H

. Montrer que l'ensemble

T_v H

des vecteurs tangents à

H

au point

v

est un sous-espace vectoriel de

V

et déterminer ce sous-espace. En déduire que la restriction de

B

T_v H

est un produit scalaire.

Soit

γ : [a, b] \to H

une courbe paramétrée continue et

C^1

par morceaux (vue comme fonction à valeurs dans

V

). On définit la longueur hyperbolique de

γ

par

ℓ(γ) = \int_a^b\sqrt(B(γ^'(t), γ^'(t)))dt

4.2. Montrer que si

h : [c, d] \to [a, b]

est un difféomorphisme, alors

ℓ(γ) = ℓ(γ \circ h)

.
4.3. Posons

f(t) = - B(γ(a), γ(t))

n(t) = \sqrt(B(γ^'(t), γ^'(t)))

. Montrer que

f^'(t) \leq \sqrt(f(t)^2 - 1)n(t)

4.4. En déduire que

- B(γ(a), γ(b)) \leq ch(ℓ(γ))

Soient

u

v

deux points de

H

. On définit la distance hyperbolique entre

u

v

par

d(u, v) = inf_γ ℓ(γ)

où l'infimum est pris sur l'ensemble des chemins continus et

C^1

par morceaux

γ : [a, b] \to H

tels que

γ(a) = u

γ(b) = v

.
4.5. Montrer que

d

est une distance sur

H

, c'est-à-dire que

$d(u, v) = d(v, u)$ ,
$d(u, w) \leq d(u, v) + d(v, w)$ et
$d(u, v) = 0 \Leftrightarrow u = v$
pour tous $u, v, w \in H$ .
4.6. Montrer que $d(gu, gv) = d(u, v)$ pour tout $g \in G$ .

Pour tout

(t, θ) \in ℝ_+ \times [0, 2π]

, on définit

F(t, θ) = (1/(\sqrt3)sh(t)cos(θ); 1/(\sqrt3)sh(t)sin(θ); ch(t))

4.7. Montrer que

F

est à valeurs dans

H

et que

F : ℝ_+ \times [0, 2π] \to H

est surjective.
4.8. Calculer, pour tout

θ \in [0, 2π]

, la longueur hyperbolique du chemin

γ : [0, b], \to, H; t, \mapsto, F(t, θ).

4.9. Montrer que pour tous

u, v \in H

, on a

ch(d(u, v)) = - B(u, v)

Partie 5 : Symétries entières

Rappelons que

G_0

désigne le sous-groupe des endomorphismes de

V

préservant

B

H

(cf Question 3.2). On considère maintenant

Γ

le sous-groupe de

G_0

formé des éléments

g

tels que

g(V_ℤ) = V_ℤ

.
5.1. Montrer que pour tout

v, w \in H

et tout

R \geq 0

, l'ensemble

{g \in Γ tels que d(gv, w) \leq R}

est fini.
On considère les trois vecteurs

w_1 = (0; 1; 0), w_2 = (1; - 1; 0), w_3 = (- 1; 0; - 1)

5.2. Vérifier que

s_(w_1), s_(w_2)

s_(w_3)

appartiennent à

Γ

et calculer les matrices correspondantes.

On note

T

l'ensemble des vecteurs

v \in H

tels que

B(v, w_i) \geq 0

pour tout

i \in {1, 2, 3}

.
5.3. Montrer que

T

est compact et contient

v_0

Soit

S_(1, 2)

le sous-groupe de

Γ

engendré par

s_(w_1)

s_(w_2)

. Soit

v \in H

.
5.4. Montrer qu'il existe

g \in S_(1, 2)

tel que

B(gv, w_1) \geq 0 et B(gv, w_2) \geq 0.

5.5. Montrer que si

B(v, w_3) < 0

, alors

d(v_0, s_(w_3)(v)) < d(v_0, v)

.
5.6. Montrer que pour tout

v \in H

, il existe

g \in Γ

tel que

gv \in T

Partie 6 : Points rationnels de hauteur bornée

Dans cette section, on fixe un entier

k \geq 1

.
6.1. Montrer que l'ensemble

P_k

défini en préambule est invariant par

Γ

Pour tout

s > 1

, on note

P_k(s)

le sous-ensemble de

P_k

formé des vecteurs

v

tels que

z_v \leq s

.
6.2. Montrer que

P_k(s)

est fini.

Le but de cette partie est d'estimer la croissance du cardinal de

P_k(s)

lorsque

s

tend vers

+ \infty

.
6.3. Montrer qu'il existe une constante

C > 0

telle que pour tout

v \in H

|{g \in Γ tels que gv \in T}|\leqC

Pour tout

R \in ℝ

, on pose

Γ(R) = {g ∈ Γ tels que d(v_0, gv_0) ≤ R}.

Rappelons que

Γ(R)

est un ensemble fini d'après la question 5.1. Enfin, posons

D = sup_(v \in T)d(v_0, v)

.
6.4. Montrer que, pour tout

s \geq 0

1/C|Γ(arcch(s) - D)| \cdot |P_k \cap T| \leq |P_k(s)| \leq |Γ(arcch(s) + D)| \cdot |P_k \cap T|

Soit

F : [0, 2π] \times ℝ_+ \to H

l'application définie à la question 4.6.
6.5. Pour tout

(θ, α) \in [0, 2π] \times ℝ_+

montrer que

d(F(t, θ), F(t, θ + αe^(- t))) ⟶ _(t \to + \infty)arcch(1 + (α^2)/8)

et que la convergence est uniforme sur tout compact de

[0, 2π] \times ℝ_+

.
Pour tout

n \in ℕ

, on définit

Δ(n) = {F(kln(2), (2πl)/(2^k)), k ∈ {0, …, n}, l ∈ {1, …, 2^k}}

6.6. Montrer qu'il existe

r > 0

vérifiant les deux propriétés suivantes :

pour tout $g \in Γ(nln(2))$ , il existe $v \in Δ(n)$ tel que $d(gv_0, v) \leq r$ ,
pour tout $v \in Δ(n)$ , il existe $g \in Γ(nln(2))$ tel que $d(gv_0, v) \leq r$ .

Fixons un tel

r

.
6.7. Montrer qu'il existe une constante

A \geq 1

vérifiant les deux propriétés suivantes:

pour tout $g \in Γ(nln(2))$ ,

|{v ∈ Δ(n) tels que d(gv_0, v) ≤ r}|≤A,

pour tout $v \in Δ(n)$ ,

|{g ∈ Γ(nln(2)) tels que d(gv_0, v) ≤ r}|≤A

6.8. Montrer l'existence de constantes

C_1 > C_2 > 0

R_0 > 0

telles que, pour tout

R \geq R_0

C_2 e^R \leq |Γ(R)| \leq C_1 e^R

6.9. En déduire l'existence de constantes

C_1^' > C_2^' > 0

s_0 > 1

telles que, pour tout

k \in ℕ^*

et tout

s \geq s_0

C_2^' s|P_k \cap T| \leq |P_k(s)| \leq C_1^' s|P_k \cap T|.

Partie 7 : L'équation $a^2 + b^2 = 0modd$

Cette partie est indépendante des précédentes.

Soit

d

un entier non nul. On rappelle que, si

d = kd^', k, d^' \in ℕ^*

, on a un morphisme injectif de groupes abéliens

ℤ/d^' ℤ, \to ℤ/dℤ; a, \mapsto ka

et un morphisme surjectif d'anneaux

ℤ/dℤ, \to ℤ/d^' ℤ; a, \mapsto amodd^'

On note

S(d)

l'ensemble des paires

(a, b) \in (ℤ/dℤ)^2

qui satisfont

a^2 + b^2 = 0

On dira qu'une paire

(a, b) \in S(d)

est primitive s'il n'existe pas de diviseur

k

d

et de paire

(a^', b^') \in S(d/k)

telle que

(a, b) = (ka^', kb^')

. On notera

S_(prim)(d) \subset S(d)

le sousensemble des paires primitives. On fera attention au fait que la paire

(0, 0) \in S(d)

n'est primitive pour aucun

d \geq 2

puisqu'elle s'écrit (

d \cdot 0, d \cdot 0

) avec ( 0,0

) \in S(1)

Rappelons que l'application

n \mapsto e^((2iπ)/dn)

définit un morphisme du groupe

ℤ/dℤ

vers le groupe des nombres complexes de module 1 . Étant donnés deux entiers relatifs

u

v

, on définit

L(u, v, d) = \sum_((a, b) \in S(d))e^((2iπ)/dua)e^((2iπ)/dvb)

L_(prim)(u, v, d) = \sum_((a, b) \in S_(prim)(d))e^((2iπ)/dua)e^((2iπ)/dvb)

En particulier, on a

L(0, 0, d) = |S(d)|

L_(prim)(0, 0, d) = |S_(prim)(d)|

.
7.1. Soit

u

un entier. Montrer que la somme

\sum_(k \in ℤ/dℤ)e^((2iπ)/dku)

vaut

d

u \equiv 0modd

et 0 sinon.
7.2. Soit

n

un entier premier avec

d

. Montrer que l'application

(a, b) \mapsto (na, nb)

est une bijection de

S_(prim)(d)

dans

S_(prim)(d)

.
Soient

d_1

d_2

deux entiers premiers entre eux et

m

n

deux entiers tels que

md_1 + nd_2 = 1

.
7.3. Montrer que l'application

φ : ((a_1, b_1), (a_2, b_2)) \mapsto (nd_2 a_1 + md_1 a_2, nd_2 b_1 + md_1 b_2)

est une bijection de

S_(prim)(d_1) \times S_(prim)(d_2)

dans

S_(prim)(d_1 d_2)

.
7.4. Montrer que pour tous

(u, v) \in ℤ^2

L_(prim)(u, v, d_1 d_2) = L_(prim)(u, v, d_1)L_(prim)(u, v, d_2).

Soit

p

un nombre premier et

α \geq 1

un entier.
7.5. Montrer que

L_(prim)(u, v, p^α) = L(u, v, p^α) - L(u, v, p^(α - 1)).

7.6. Montrer qu'il existe

h \in ℤ/pℤ

tel que

h^2 = - 1

si et seulement si

p = 2

p \equiv 1mod4

On suppose que $p$ est congru à 1 modulo 4 .

7.7. Montrer que

(a, b) \in S(p)

si et seulement si

b = ha ou b = - ha,

où

h

est une solution de

h^2 = - 1modp

.
7.8. Soit

α \geq 1

. Montrer qu'il existe

j \in ℤ/p^α ℤ

tel que

j^2 = - 1

On fixe un tel

j

.
7.9. Soit

a \in ℤ/p^α ℤ

tel que

p

ne divise pas

a

. Montrer que

(a, b) \in S(p^α)

si et seulement si

b = ja ou b = - ja.

7.10. Soit

a \in ℤ/p^α ℤ

k \leq α

le plus grand entier tel que

p^k

divise

a

. Montrer que si

k < α/2

, alors

(a, b) \in S(p^α)

si et seulement si

b \equiv \pm ja modp^(α - k)

et que si

k \geq α/2

, alors

(a, b) \in S(p^α)

si et seulement si

p^(⌈α/2⌉)

divise

b

.
7.11. Montrer que pour tout

k \geq 1

, on a

|S_(prim)(p^(2k))| \geq 1/2p^(2k)

Soit

(u, v) \in ℤ^2∖(0, 0)

.
7.12. Soit

α \geq 2

. Montrer que

L(u, v, p^α) = 0

dès que

p^(α - 1)

ne divise pas

u^2 + v^2

. En déduire que si

α \geq 3

, alors

L_(prim)(u, v, p^α) = 0

dès que

p^(α - 2)

ne divise pas

u^2 + v^2

.
7.13. Montrer que si

p

ne divise pas

u^2 + v^2

, alors

|L_(prim)(u, v, p)| \leq 2 et |L_(prim)(u, v, p^2)| \leq 1

On admettra dans la suite que les résultats des questions

7.11, 7.12

et 7.13 sont valables aussi pour

p \equiv 3mod4

, et que les résultats des questions 7.12 et 7.13 sont valables aussi pour

p = 2

Pour tout entier

d \geq 2

, on note

P(d)

l'ensemble des nombres premiers divisant

d

.
7.14. Montrer l'inégalité

d \geq |P(d)|!

En déduire que

|P(d)| = O_(d \to + \infty)(log(d))

7.15. Soit

d

un entier impair. Montrer que

|S_(prim)(d^2)| \geq d^2 2^(- |P(d)|)

En déduire que, pour tout

ε > 0

, on a

d^(2 - ε) = O_(d \to + \infty)(S_(prim)(d^2))

7.16. Soit

(u, v) \neq (0, 0)

. Montrer l'existence d'une constante

C

(dépendant de

(u, v)

) telle que pour tout

d > 0

|L_(prim)(u, v, d)| \leq C2^(|P(d)|)

En déduire que, pour tout

ε > 0

, on a

|L_(prim)(u, v, d)| = O_(d \to + \infty)(d^ε)

Partie 8 : Comportement asymptotique de $P_(\leq h)$

Cette partie reprend les définitions, notations et résultats des parties précédentes. Le but est d'estimer le nombre de points de

H \cap V_ℚ

de hauteur inférieure à

h

contenus dans une boule hyperbolique donnée lorsque

h

tend vers

+ \infty

On note

𝔻

le disque ouvert de centre ( 0,0 ) de rayon

1/(\sqrt3)

dans le plan

ℝ^2

muni de la norme euclidienne standard :

‖(s, t)‖ = \sqrt(s^2 + t^2).

Considérons l'application

φ : 𝔻 \to V

définie par

Ψ(s, t) = ((2s)/(1 - 3s^2 - 3t^2); (2t)/(1 - 3s^2 - 3t^2); (1 + 3s^2 + 3t^2)/(1 - 3s^2 - 3t^2)).

8.1. Montrer que

Ψ

est un homéomorphisme de

𝔻

dans

H

et déterminer l'homéomorphisme réciproque.
8.2. Montrer que

Ψ

induit une bijection de

𝔻 \cap ℚ^2

dans

H \cap V_ℚ

.
8.3. Montrer que l'image réciproque de

P_(\leq h)

par

Ψ

est l'ensemble des points

u \in 𝔻 \cap ℚ^2

qui s'écrivent

u = (a/d, b/d)

avec

a, b \in ℤ

d \in ℕ^*

vérifiant les trois conditions suivantes :

$d$ divise $3a^2 + 3b^2$ ,
$d - 3a^2 - 3b^2$ est pair,
$d \leq h(z_(Ψ(u)) + 1)$ .

On note

Q_d

l'ensemble des paires

(a/d, b/d) \in ℚ^2 \cap ([ - 1, 1[ \times [ - 1, 1[)

vérifiant

$d$ divise $3a^2 + 3b^2$ ,
$d - 3a^2 - 3b^2$ est pair.

On note également

Q_d^(prim)

le sous-ensemble de

Q_d

formé des couples (

x, y

) qui n'appartiennent pas à

Q_(d^')

où

d^' > 0

est un diviseur de

d

différent de

d

. Enfin, on note

Q_(\leq h) = ⋃_(d \leq h)Q_d = ⋃_(d \leq h)Q_d^(prim).

8.4. Montrer que les ensembles

Q_d^(prim)

sont deux à deux disjoints.
8.5. Supposons que 2 divise

d

et que 3 ne divise pas

d

. Montrer que pour tout

(u, v) \in ℤ^2

, on a

\sum_((s, t) \in Q_d^(prim))e_(u, v)(s, t) = 4L_(prim)(u, v, d)

où

e_(u, v)

est la fonction définie à la question 1.4 et

L_(prim)

est définie au début de la partie 7 .

On admettra les formules similaires suivantes :

si 6 divise $d$ , alors

\sum_((s, t) \in Q_d^(prim))e_(u, v)(s, t) = 36L_(prim)(u, v, d/3)

si ni 2 ni 3 ne divisent $d$ , alors

\sum_((s, t) \in Q_d^(prim))e_(u, v)(s, t) = ((- 1)^u + (- 1)^v)L_(prim)(u, v, d)

si 2 ne divise pas $d$ mais 3 divise $d$ , alors

\sum_((s, t) \in Q_d^(prim))e_(u, v)(s, t) = 9((- 1)^u + (- 1)^v)L_(prim)(u, v, d/3)

Pour tout

h \in ℝ_+

, on pose

A(h) = |Q_(\leq h)|

.
8.6. Montrer que

h^(3/2 - ε) = O_(h \to + \infty)(A(h))

pour tout

ε > 0

.
8.7. En déduire que la suite

(Q_(\leq n))_(n \in ℕ^*)

s'équidistribue dans

[ - 1, 1]^2

(au sens défini à la fin de la partie 1.)

Fixons

r \in ℝ_+^*

. Soit

v \in H

. On note

b_r(v)

la boule hyperbolique ouverte de centre

v

de rayon

r

, c'est-à-dire

b_r(v) = {v^′ ∈ H|d(v, v^′) < r}

8.8. Montrer que l'image réciproque de

b_r(v)

par

Ψ

est la boule ouverte euclidienne de centre

((x_v)/(z_v + ch(r)), (y_v)/(z_v + ch(r)))

et de rayon

(sh(r))/(\sqrt3(z_v + ch(r)))

8.9. Montrer qu'il existe deux constantes

C_2, C_1 > 0

(dépendant de

r

) telles que, pour tout

v \in H

tel que

d(v, v_0) > r

, il existe

h_0 > 0

tel que pour tout

h \geq h_0

C_1(A(h(1 + ch(d(v_0, v) - r))))/(ch^2(d(v_0, v))) \leq |P_(\leq h) \cap B(v, r)| \leq C_2(A(h(1 + ch(d(v_0, v) + r))))/(ch^2(d(v_0, v)))

8.10. Soit

v \in H

tel que

d(v, v_0) > r

g \in Γ

. Montrer qu'il existe

h_0 > 0

tel que, pour tout

h \geq h_0

, on a

(A(h(1 + ch(d(v_0, v) - r))))/(A(h(1 + ch(d(v_0, gv) + r)))) \leq (C_2)/(C_1)((ch(d(v_0, v)))/(ch(d(v_0, gv))))^2

(A(h(1 + ch(d(v_0, v) + r))))/(A(h(1 + ch(d(v_0, gv) - r)))) \geq (C_1)/(C_2)((ch(d(v_0, v)))/(ch(d(v_0, gv))))^2

8.11. Montrer que pour tout

ε > 0

, on a

A(h) = O_(h \to + \infty)(h^(2 + ε))

h^(2 - ε) = o_(h \to + \infty)(A(h))

8.12. Conclure que pour tout

ε > 0

, tout point

v \in H

et tout

r > 0

, il existe

h_0 > 0

tel que pour tout

h \geq h_0

h^(2 - ε) \leq |P_(\leq h) \cap b(v, r)| \leq h^(2 + ε)

Fin du sujet

Questions fréquentes

5 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques D de la banque inter-ENS MP 2022 ?

Le sujet mêle formes bilinéaires et produit scalaire, groupes de symétries, suites de fonctions, géométrie hyperbolique (distance, longueur de chemins) et arithmétique modulaire (congruences, isomorphisme chinois).

Le sujet de maths D de l'ENS Paris MP 2022 est-il difficile ?

Oui, le rapport le décrit comme long et difficile, avec peu d'applications directes du cours et une moyenne de seulement 5,38/20.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths D banque inter-ENS MP 2022 ?

Le jury pointe des raisonnements par analyse-synthèse non pertinents, des interversions de limites non justifiées, des propriétés de groupe ou de distance mal vérifiées, et un manque général de soin dans la rédaction.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques D de la banque inter-ENS MP 2022 ?

La moyenne était de 5,38/20 pour un écart-type de 4,09, sur 1260 copies composées parmi 1879 inscrits.

Faut-il traiter tout le sujet de maths D ENS Paris MP 2022 pour avoir une bonne note ?

Non : le sujet était très long et une seule copie a atteint la dernière partie. Il suffisait de traiter partiellement le sujet, par exemple les parties 1 à 4, pour obtenir une très bonne note.

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Points rationnels de la quadrique

Notations et définitions

Partie 1 : Un critère d'équidistribution

Partie 2 : Pseudo-orthogonalité

Partie 3 : Symétries réelles

Partie 4 : Géométrie de H

Partie 5 : Symétries entières

Partie 6 : Points rationnels de hauteur bornée

Partie 7 : L'équation a^2 + b^2 = 0modd

Cette partie est indépendante des précédentes.

On suppose que p est congru à 1 modulo 4 .

Partie 8 : Comportement asymptotique de P_(≤ h)

On admettra les formules similaires suivantes :

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques D de la banque inter-ENS MP 2022 ?

Le sujet de maths D de l'ENS Paris MP 2022 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths D banque inter-ENS MP 2022 ?

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques D de la banque inter-ENS MP 2022 ?

Faut-il traiter tout le sujet de maths D ENS Paris MP 2022 pour avoir une bonne note ?

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Partie 4 : Géométrie de $H$

Partie 7 : L'équation $a^2 + b^2 = 0modd$

On suppose que $p$ est congru à 1 modulo 4 .

Partie 8 : Comportement asymptotique de $P_(\leq h)$