E3A Mathématiques B MP 2014Sujet et corrigé

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BanqueE3A Année2014 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales E3A MP Mathématiques E3A MP 2014 MP Mathématiques Mathématiques 2014

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Trois exercices indépendants : endomorphismes de carré nul, développement asymptotique d'une intégrale à paramètre, conique et racines de l'unité

Le premier exercice étudie les propriétés du noyau et de l'image d'endomorphismes vérifiant u carré égal à zéro puis leur commutation. Le deuxième exercice établit un développement asymptotique d'une suite d'intégrales à paramètre à l'aide du théorème de convergence dominée. Le troisième exercice étudie une conique du plan complexe et relie ses points d'intersection avec le cercle unité aux racines septièmes de l'unité.

1Exercice I : endomorphismes vérifiant u² = 0On étudie l'inclusion de l'image dans le noyau pour un endomorphisme de carré nul, le cas de la dimension 2, puis une généralisation à une famille d'endomorphismes de carré nul deux à deux commutants.
2Exercice II : étude asymptotique d'une suite d'intégralesOn étudie la convergence simple d'une suite de fonctions puis on établit, par intégrations par parties successives, un développement asymptotique de la suite des intégrales associées.
3Exercice III : une conique et les racines septièmes de l'unitéOn étudie une conique du plan identifié à C, on détermine ses points d'intersection avec le cercle unité et on montre qu'ils correspondent aux racines primitives septièmes de l'unité groupées par un automorphisme de Frobenius.

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques B MP

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice I

On désigne par

𝕂

le corps

ℝ

ℂ

.
Soit

n

un entier naturel non nul et soit

E = 𝕂^n

.
Pour tout endomorphisme

u

E

, on note

Ker(u)

le noyau de

u

, et

Im(u)

l'image de

u

Question de cours : Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes qui commutent. Démontrer que $Ker(u)$ et $Im(u)$ sont stables par $v$ .

Dans la suite de l'exercice,

u

désigne un endomorphisme de

E

tel que

u^2 = 0

.
2. Démontrer que

Im(u)

est contenu dans

Ker(u)

.
3. Quelle inégalité obtient-on ainsi sur le rang de

u

? On citera précisément le théorème utilisé.
4. On suppose ici que

n = 2

, soit

E = 𝕂^2

. On suppose ici

u

non nul.
(a) Démontrer qu'il existe une droite

D

dans

E

telle que

Ker(u) = Im(u) = D

.
(b) Soit

v

un endomorphisme de

E

tel que

v^2 = 0

u \circ v = v \circ u

.
i. Démontrer que

v(D) \subset D

.
ii. Démontrer que

u \circ v = 0

.
(c) Soient

v

w

deux endomorphismes de

E

tels que

v^2 = 0, w^2 = 0, u \circ v = v \circ u

u \circ w = w \circ u

. Démontrer que

v \circ w = 0

.
5. On revient au cas général. Soit

m

un entier naturel

\geq 2

. Soient

u_1, \dots, u_m

des endomorphismes de

E

tels que :

∀(i, j) ∈ {1, …, m}^2, u_i^2 = 0 et u_i ∘ u_j = u_j ∘ u_i.

On pose

F_1 = Im(u_1)

et pour un entier

i

compris entre 2 et

m, F_i = Im(u_1 \circ u_2 \circ \dots \circ u_(i - 1) \circ u_i)

.
(a) Démontrer que, pour tout entier

i

compris entre 1 et

m - 1, F_i

est un sous-espace vectoriel stable par

u_(i + 1)

.
(b) En déduire que, pour tout entier

i

compris entre 1 et

m, F_i

est de dimension au plus

n/(2^i)

.
(c) Dans le cas où

n < 2^m

, démontrer que l'endomorphisme

u_1 \circ u_2 \circ \dots \circ u_m = 0

.
6. On suppose

𝕂 = ℝ

dans ce paragraphe. Soit

E = ℝ^n

muni du produit scalaire

<, >

usuel:

< (x_1, \dots, x_n), (y_1, \dots, y_n)>=\sum_(i = 1)^n x_i y_i.

Pour toute matrice

A

, on note

Ker(A)

le noyau de

A

, et

Im(A)

l'image de

A

Soit

A \in M_n(ℝ)

. On note

^t A

la matrice transposée de

A

.
(a) Démontrer que

E = Ker(A) \oplus Im(^t A)

.
(b) On suppose de plus

A^2 = 0

. Démontrer que

Im(A + ^t A) = Im(A) + Im(^t A)

Exercice II

Questions de cours : Enoncer précisément le théorème de convergence dominée.
Soit $n$ un entier naturel. On considère la fonction de la variable réelle $x$ définie par $f_n(x) = (x^n)/(\sqrt(1 + x))$ .
(a) Etablir le tableau de variation de $f_n$ sur l'intervalle $[0, 1]$ .
(b) Représenter sur un même graphique les graphes des fonctions $f_0, f_1$ et $f_2$ .
Démontrer que la suite $(f_n)_(n \in ℕ)$ converge simplement sur $[0, 1]$ vers une fonction $f$ que l'on explicitera. La suite $(f_n)_(n \in ℕ)$ converge-t'elle uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$ ?

On introduit la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par :

\foralln \in ℕ, u_n = \int_0^1(x^n)/(\sqrt(1 + x))dx

Démontrer que la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est une suite monotone (on précisera le sens de monotonie) qui converge vers 0.
Démontrer que

(n + 1)u_n = 1/(\sqrt2) + 1/2\int_0^1(x^(n + 1))/((\sqrt(1 + x))^3)dx

En déduire un équivalent pour la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ .
Déterminer des nombres réels $α_1, α_2$ et $α_3$ tels que :

(n + 2)(n + 1)u_n = α_1(n + 2) + α_2 + α_3\int_0^1(x^(n + 2))/((\sqrt(1 + x))^5)dx

En déduire des nombres réels $α$ et $β$ qu'on explicitera tels que la suite ( $u_n$ ) admette un développement de la forme :

u_n = α/n + β/(n^2) + o(1/(n^2))

Soit $g$ une fonction de classe $C^\infty$ sur l'intervalle $[0, 1]$ . On introduit la suite $(v_n)_(n \in ℕ)$ définie par :

\foralln \in ℕ, v_n = \int_0^1 x^n g(x)dx

Démontrer que pour tout entier naturel non nul

k

, la suite

(v_n)_(n \in ℕ)

admet un développement de la forme :

v_n = (β_1)/n + (β_2)/(n^2) + \dots + (β_k)/(n^k) + o(1/(n^k)).

Exprimer les nombres

β_1

β_2

en fonction de

g

.
10. Soit

h

une fonction continue sur l'intervalle

[0, 1]

. Démontrer que la suite

(n\int_0^1 x^n h(x))_(n \in ℕ)

admet une limite finie et exprimer cette limite en fonction de

h

Exercice III

Soit

P

le plan euclidien muni du repère orthonormé

(O, i⃗, j⃗)

.
On identifiera le plan euclidien

P

au corps des nombres complexes

ℂ

.
Soit

(a, b) \in ℝ^2

. On note

C

la conique d'équation

x^2 - y^2 + ax + by = 1/2

.
Soit

p = a + ib

Quelle est la nature de la conique $C$ ?
Préciser les axes de la conique $C$ .
Représenter graphiquement la conique $C$ pour les valeurs particulières $a = b = 1$ .
Justifier que le point $(- a + ib)/2$ est centre de symétrie de la conique $C$ .
Expliciter (en fonction de $p$ ) des nombres complexes $α_1, α_2, β_1, β_2$ tels que pour tout nombre complexe $z$ , on ait l'équivalence :

z \in C ⟺ α_1 z^2 + α_2 z¯^2 + β_1 z + β_2 z¯ = 1.

A quelle condition le point $p$ est-il un point de la conique $C$ ?

Dans toute la suite de l'exercice, on note

ω = e^((2iπ)/7)

. Soit

q

le nombre complexe tel que

p + q = - 1

.
On suppose

b \geq 0

pq = 2

.
7. Donner un polynôme de degré 2 dont les racines sont

p

q

. En déduire les valeurs de

a

b

.
8. Démontrer que

(ω + ω^2 + ω^4)(ω^(- 1) + ω^(- 2) + ω^(- 4)) = 2

.
9. En déduire que :

soit $(ω + ω^2 + ω^4) = p$ et $(ω^(- 1) + ω^(- 2) + ω^(- 4)) = q$ ,
soit $(ω + ω^2 + ω^4) = q$ et $(ω^(- 1) + ω^(- 2) + ω^(- 4)) = p$ .

On admet que $cos((4π)/7) \geq - 1/2$ et que $sin((2π)/7) + sin((4π)/7) + sin((8π)/7) > 0$ . Démontrer que $(ω + ω^2 + ω^4) = p$ et $(ω^(- 1) + ω^(- 2) + ω^(- 4)) = q$ .
Démontrer que $ω, ω^2, ω^4$ sont les trois racines du polynôme $X^3 - pX^2 + qX - 1$ .
Déterminer un polynôme de degré 4 dont les racines sont $1, ω, ω^2, ω^4$ .
En déduire que $1, ω, ω^2, ω^4$ sont exactement les points d'intersection de la conique $C$ avec le cercle de centre 0 et de rayon 1 .
On note $σ$ la symétrie orthogonale d'axe $0x$ du plan euclidien $P$ .
(a) Quelle est l'image du point d'affixe $p$ ?
(b) Représenter sur une même figure le cercle de centre 0 et de rayon $1, C$ , ainsi que $σ(C)$ .
(c) Soit $E$ l'intersection du cercle de centre 0 et de rayon 1 et de $C \cup σ(C)$ . Décrire $E$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths B MP Arts et Métiers / ESTP / Polytech 2014 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire (endomorphismes, noyau, image), l'analyse (convergence dominée, développements asymptotiques d'intégrales) et les nombres complexes (coniques, racines de l'unité).

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Les trois exercices sont indépendants les uns des autres et peuvent être traités dans n'importe quel ordre.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Le théorème du rang et la décomposition en somme directe pour l'exercice I, le théorème de convergence dominée pour l'exercice II, et la résolution d'équations sur les racines de l'unité pour l'exercice III.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Certaines questions sur les nombres complexes et les endomorphismes sont accessibles en première année, mais le théorème de convergence dominée et les développements asymptotiques d'intégrales relèvent du programme de deuxième année.

Pas de description pour le moment

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