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Épreuve de Mathématiques B MP

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Exercice I

Soit E un espace euclidien muni d'un produit scalaire noté <, >.
On note || || la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.
Pour tout π, endomorphisme de E, on note π^∗ son endomorphisme adjoint, c'est-à-dire l'unique endomorphisme vérifiant :
∀x, y ∈ E, < π(x), y>=<x, π^∗(y) > .
On dit qu'un endomorphisme π de E est un projecteur s'il vérifie π^2 = π. On dit que le projecteur π est strict si π n'est ni l'endomorphisme nul, ni l'identité Id_E.
Un projecteur π est dit orthogonal si les sous-espaces vectoriels Im(π) et ker(π) sont orthogonaux.
  1. Soit π un projecteur de E.
    (a) Démontrer que E = ker(π) ⊕ Im(π).
    (b) Dans le cas où π est un projecteur orthogonal, démontrer que :
    i. Tout vecteur x dans E vérifie : ‖π(x)‖ ⩽ ‖x‖. Dans quel cas a-t'on l'égalité ?
    ii. Tout vecteur x dans E vérifie : < π(x), x>⩾0. Dans quel cas a-t'on l'égalité ?
    (c) Démontrer que π est un projecteur orthogonal si et seulement si π = π^∗.
  2. On considère ici le cas particulier du plan euclidien : E = ℝ^2.
    (a) Soit M = (a, b; c, d). Démontrer que M est la matrice d'un projecteur strict orthogonal sur une base orthonormée de E si et seulement si d = 1 − a, b = c et a(1 − a) = b^2.
    (b) Qu'impose cette dernière égalité pour la valeur a ?
    (c) Soit M = (a, b; b, 1 − a) la matrice d'un projecteur strict orthogonal sur une base orthonormée de E. Exprimer le produit de matrices :
N = (1, 0; 0, 0)(a, b; b, 1 − a)
Justifier que la matrice N est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes dans l'intervalle [0, 1].
(d) Soient π_1 et π_2 deux projecteurs stricts orthogonaux sur E. Démontrer que l'endomorphisme π_1 ∘ π_2 est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes dans l'intervalle [0, 1].
3. Soient π_1 et π_2 deux projecteurs stricts orthogonaux sur un espace euclidien E de dimension n ⩾ 1.
(a) Déterminer l'endomorphisme adjoint de π_1 ∘ π_2 ∘ π_1. En déduire que l'endomorphisme π_1 ∘ π_2 ∘ π_1 est diagonalisable sur une base orthonormée (on citera précisément le théorème utilisé) et que ses valeurs propres sont toutes dans l'intervalle [0, 1].
(b) Démontrer que le sous-espace vectoriel Im(π_1) est stable par l'endomorphisme π_1 ∘ π_2 ∘ π_1.
(c) Démontrer que le sous-espace vectoriel Im(π_1) est stable par l'endomorphisme π_1 ∘ π_2 et que celui-ci induit sur Im(π_1) un endomorphisme diagonalisable dont les valeurs propres sont dans l'intervalle [0, 1].
(d) Soit G le sous-espace vectoriel (Im(π_1) + ker(π_2)). On note G^⊥ son orthogonal dans E. Démontrer que G^⊥ = ker(π_1) ∩ Im(π_2). Que vaut l'endomorphisme π_1 ∘ π_2 sur G^⊥ ?
(e) Démontrer que l'endomorphisme π_1 ∘ π_2 est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes dans l'intervalle [0, 1].
(f) Soit r_2 le rang de π_2. Démontrer que Tr(π_1 ∘ π_2) ⩽ r_2. Etudier le cas d'égalité.

Exercice II

Etant donné un entier naturel non nul n, M_n(ℂ) désigne la ℂ-algèbre des matrices (n, n) à coefficients dans ℂ. On désigne par I_n la matrice identité de M_n(ℂ).
Etant donnée une matrice M dans M_n(ℂ), on note χ_M(λ) = det(λI_n − M) son polynôme caractéristique.
Si A, B, C, D sont quatre matrices dans M_n(ℂ), on note M_(A, B, C, D) la matrice de M_(2n)(ℂ) définie par blocs par :
M_(A, B, C, D) = (A, B; C, D)
  1. Soient A, B, C, D, E cinq matrices dans M_n(ℂ).
    (a) Exprimer la matrice produit M_(A, B, C, D)M_(I_n, E, 0_n, I_n).
    (b) On suppose la matrice A inversible. Justifier l'égalité :
detM_(A, B, C, D) = detAdet(D − CA^(− 1)B)
  1. On suppose que les matrices A et C commutent.
    (a) On suppose que la matrice A est inversible. Démontrer que detM_(A, B, C, D) = det(AD − CB).
    (b) On ne suppose plus la matrice A inversible.
    i. Démontrer qu'il existe des matrices U et V dans M_n(ℂ) telles que le polynôme caractéristique de la matrice M_(A, B, C, D) vérifie χ_(M_(A, B, C, D))(λ) = det(λ^2 I_n + λU + V). Expliciter U et V en fonction des matrices A, B, C et D.
    ii. En déduire que detM_(A, B, C, D) = det(AD − CB).
  2. Dans cette partie, on suppose que A = D = I_n et que C et B sont deux matrices à coefficients réels transposées l'une de l'autre. On désigne la matrice M_(I_n, B, ^t B, I_n) par S.
    (a) Justifier que ^t BB est une matrice symétrique positive et que ses valeurs propres sont toutes des nombres réels positifs ou nuls.
    (b) Exprimer le polynôme χ_S en fonction du polynôme χ_(t_(BB)).
    (c) Soit T une matrice symétrique dans M_n(ℝ). Démontrer que T est définie positive (i.e. tout vecteur non nul X de ℝ^n vérifie ^t XTX > 0 ) si et seulement si les valeurs propres de T sont toutes > 0.
    (d) En déduire que la matrice S est symétrique définie positive si et seulement si les valeurs propres de la matrice ^t BB sont toutes < 1.
  3. On considère la suite de matrices (A_n)_(n ∈ ℕ) définies par récurrence par :
A_1 = (2, i; i, − 2) et pour n > 1, A_n = (2A_(n − 1), iA_(n − 1); iA_(n − 1), − 2A_(n − 1))
(a) Soit n > 1. Déterminer une relation de récurrence entre detA_n et detA_(n − 1).
(b) Soit n ⩾ 1. Exprimer detA_n en fonction de n.
(c) Soit n > 1. Exprimer le polynôme caractéristique de la matrice A_n, χ_(A_n), en fonction de χ_(A_(n − 1)) et χ_((− A_(n − 1))).
(d) Soit n ⩾ 1. Déterminer les valeurs propres de la matrice A_n.

Exercice III

Soit P le plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé direct (O, i⃗, j⃗).
  1. Soit D la droite (O, i⃗) et D^′ la droite de vecteur directeur i⃗ passant par le point B = (0, 1). Soit C le cercle tangent à D en 0 et tangent à D^′ en B. Soit t ∈ ℝ. Soient M_t le point sur la droite D^′ d'abcisse t et N_t l'intersection de la droite OM_t et du cercle C autre que le point O.
    (a) Que peut-on dire du triangle ON_t B ?
    (b) Déterminer l'équation cartésienne du cercle C et l'équation cartésienne de la droite D^′.
    (c) En déduire que le point N_t a pour coordonnées (t/(1 + t^2), 1/(1 + t^2)).
    (d) Quelles sont les coordonnées du vecteur N_t M_t^(→−) ?
  2. Pour t ∈ ℝ non nul, on note P_t le point tel que OP_t^(→−) = N_t M_t^(→−); on pose P_0 = O.
    (a) Représenter la courbe Γ lieu des points P_t lorsque t parcourt ℝ. On précisera les éventuelles asymptotes.
    (b) Préciser la nature du point P_0 de Γ.
    (c) Calculer l'aire comprise entre la courbe Γ et la droite D^′.
  3. Si z est un nombre complexe, on note z¯ son conjugué. On considère l'application σ définie sur le plan P privé du point O par : l'image par σ du point M d'affixe z est le point M^′ d'affixe 1/z¯.
    (a) Soit M un point de P distinct de l'origine et soit M^′ = σ(M). Calculer le produit scalaire OM^(→−) ⋅ OM^′^(→−).
    (b) Soit t ∈ ℝ non nul. Déterminer les coordonnées du point U_t, image par σ du point P_t défini dans la question 2.
    (c) Quelle est l'image par σ de la courbe Γ ?

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