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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A MP

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Problème

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Notations

Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur ℝ par :
f(x) = xe^x.
Soit S la série entière :
S(z) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(n^(n − 1))/(n!)z^n.

Partie I

  1. Justifier que la fonction f est de classe C^∞ sur ℝ.
  2. Etablir le tableau de variations de f.
  3. Représenter le graphe de la fonction f sur ℝ.
  4. Démontrer que la fonction f réalise une bijection de l'intervalle [ − 1, + ∞[ sur un intervalle que l'on précisera.
  5. Justifier l'existence d'une fonction g continue sur l'intervalle fermé [ − 1/e, + ∞[. et de classe C^∞ sur l'intervalle ouvert ] − 1/e, + ∞ [ telle que :
∀x ∈ [ − 1/e, + ∞[, g(x)e^(g(x)) = x
Dans la suite du problème, on considère la fonction réciproque de la restriction de f à [ − 1, + ∞[, c'est-à-dire une fonction g définie et continue sur l'intervalle fermé [ − 1/e, + ∞[ et de classe C^∞ sur l'intervalle ouvert ] - 1/e, + ∞ [ telle que :
∀x ∈ [ − 1/e, + ∞[, g(x)e^(g(x)) = x

Partie III

  1. Calculer g(0), g((− 1)/e) et g(e).
  2. Exprimer la fonction dérivée g^′ en fonction de g.
  3. Représenter le graphe de la fonction g sur l'intervalle [ − 1/e, + ∞[. La fonction g admet-elle une tangente au point d'abcisse − 1/e ?
  4. Démontrer que la fonction g admet en + ∞ une branche parabolique dont on précisera la direction.
  5. Soit h la primitive de g définie sur l'intervalle [ − 1/e, + ∞[ et qui prend la valeur 0 en 0 .
    (a) Exprimer h(u) fonction de g(u) pour u dans l'intervalle ] − 1/e, + ∞[. (Indication : on pourra faire le changement de variables x = g(t) dans l'intégrale ∫_0^u g(t)dt.) Ce résultat reste-t'il valable pour u = − 1/e ?
    (b) En déduire la valeur de ∫_(− 1/e)^0 g(t)dt.

Partie III

Soit c un nombre réel tel que 0 < c < e^(1/e). On considère la suite récurrente U = (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par :
{u_0 = c; u_(n + 1) = c^(u_n) = e^(u_n lnc), si n ⩾ 1
  1. Que dire de la suite U dans le cas particulier c = 1 ?
On suppose dans la suite de la partie III que c ≠ 1.
2. On suppose que la suite U converge. On note ℓ cette limite. Démontrer que ℓ = − g(− ln(c))/lnc.
3. On suppose dans cette question uniquement que c = √2.
(a) Démontrer les inégalités u_0 ⩽ u_1 ⩽ 2.
(b) Démontrer que la suite U est croissante et majorée par 2.
(c) Démontrer que la suite U converge vers 2 .
4. On suppose dans cette question uniquement que c = e^(− e).
(a) Etablir le tableau de variation de la fonction w définie par w(x) = e^(− ex) sur l'intervalle ]0, + ∞[.
(b) En déduire les propriétés suivantes de la suite U :
i. La suite (u_(2n))_(n ∈ ℕ) extraite de U est monotone et contenue dans ]0, 1/e].
ii. La suite (u_(2n + 1))_(n ∈ ℕ) extraite de U est monotone et contenue dans [1/e, 1[.
iii. u_0 ⩽ u_2 (Indication : on pourra comparer ln(u_0) et ln(u_2) ).
iv. La suite (u_(2n))_(n ∈ ℕ) est croissante et la suite (u_(2n + 1))_(n ∈ ℕ) est décroissante.
v. Un calcul qui n'est pas demandé assure que la fonction qui envoie le nombre réel x sur w(w(x)) − x est strictement décroissante sur l'intervalle [0, 1]. Démontrer que la suite U converge et déterminer sa limite.

Partie IV

  1. (a) Démontrer que la suite de terme général (1 + 1/n)^n converge vers le nombre e.
    (b) En déduire le rayon de convergence de la série S.
  2. On se propose d'étudier le comportement de la série entière S sur le cercle d'équation |z| = R, R étant le rayon de convergence de S.
    (a) Pour tout entier naturel non nul n, on pose:
u_n = (n!e^n)/(n^n√n) et v_n = lnu_(n + 1) − lnu_n
i. Déterminer un équivalent de la suite v_n lorsque n tend vers + ∞.
ii. En déduire la nature de la série de terme général v_n.
iii. Démontrer que la suite de terme général u_n a une limite lorsque n tend vers + ∞. On notera L cette limite.
iv. En déduire un équivalent de la suite (n^(n − 1))/(e^n n!) lorsque n tend vers + ∞.
(b) Démontrer que la série de terme général (n^(n − 1))/(e^n n!) est convergente.
(c) Conclure.

Partie V - A

Etant donné R un nombre réel > 0, on note :
  • K_R l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles de classe C^∞ sur ] − R, R[∖{0},
  • C_R le sous-espace vectoriel de K_R des fonctions qui se prolongent en des fonctions de classe C^∞ sur ] − R, R[,
  • E_R le sous-espace vectoriel de C_R des fonctions qui admettent un développement en série entière sur ] − R, R[.
On note φ et ψ les fonctions dans K_R définies par :
∀x ∈ ] − R, R[∖{0}, φ(x) = x et ψ(x) = 1/x
On remarque que le produit de deux fonctions de K_R est une fonction de K_R. En particulier, si h est une fonction de K_R et si n est un entier naturel non nul, ψ^n h est la fonction de K_R définie par :
∀x ∈ ] − R, R[∖{0}, (ψ^n h)(x) = (h(x))/(x^n)
Soit L_R l'ensemble des fonctions ψ^n h où n est un entier naturel et h une fonction dans E_R.
  1. Démontrer que L_R est un sous-espace vectoriel de K_R et que L_R contient E_R.
  2. Soit h dans L_R. Démontrer qu'il existe une unique suite de nombres réels (α_i(h))_(i ∈ ℤ), ayant au plus un nombre fini de termes indexés négativement et non nuls, telle que
∀x ∈ ] − R, R[∖{0}, h(x) = ∑_(i ∈ ℤ)α_i(h)x^i
  1. Démontrer que α_(− 1) est une forme linéaire sur L_R qui s'annule sur E_R.
  2. Soit h dans L_R. Démontrer que sa fonction dérivée h^′ appartient à L_R et vérifie α_(− 1)(h^′) = 0.
  3. Soit f la fonction étudiée dans la partie I.
    (a) Démontrer que la fonction f^′/f appartient à L_R et expliciter, en fonction de l'entier k, α_k(f^′/f), pour tout entier relatif k.
    (b) Soit n un entier naturel. Démontrer que la fonction 1/f^n appartient à L_R et expliciter en fonction de l'entier kα_k(1/f^n), pour tout entier relatif k.

Partie V - B

On admet que la fonction g étudiée dans la partie II est développable en série entière sur ] − 1/e, 1/e[ : il existe une suite (c_i)_(i ∈ ℕ) telle que pour tout x dans ] − 1/e, 1/e[, g(x) = ∑_(i = 0)^(+ ∞)c_i x^i. On se propose de calculer les coefficients (c_i)_(i ∈ ℕ).
  1. Déterminer c_0 et c_1.
  2. Démontrer qu'il existe un nombre réel R tel que ∀x ∈ ] − R, R[, |xe^x| < 1/(2e).
  3. En déduire que la série de fonctions ∑_(i = 0)^(+ ∞)c_i f^i converge normalement sur ] − R, R[ vers la fonction φ.
  4. Soit n un entier naturel ⩾ 1. Démontrer que la série de fonctions ∑_(i = n)^(+ ∞)c_i f^(i − n) converge uniformément sur ] − R, R[.
  5. Soit n un entier naturel.
    (a) Démontrer que la série de fonctions ∑_(i = n)^(+ ∞)c_i f^i converge normalement sur ] − R, R[ vers une fonction développable en série entière sur ] − R, R[.
    (b) En déduire que la série de fonctions ∑_(i = n)^(+ ∞)c_i f^(i − n) converge normalement sur ] − R, R[ vers une fonction développable en série entière sur ] − R, R[. (Indication : on pourra commencer par justifier qu'une série entière de rayon de convergence non nul U(x) = ∑_(i = 0)^(+ ∞)γ_i x^i et telle que U(x)/x^n admet une limite finie lorsque x tend vers 0 vérifie γ_0 = γ_1 = ⋯ = γ_(n − 1) = 0).
    (c) Démontrer, pour tout nombre réel x dans ] − R, R[∖{0}, l'égalité :
∑_(i = 0)^(n − 1)c_i f^′(x)f^(i − n − 1)(x) + c_n(f^′(x))/(f(x)) + ∑_(i = n + 1)^(+ ∞)c_i f^′(x)f^(i − n − 1)(x) = (xf^′(x))/(f^(n + 1)(x))
(d) En déduire que :
c_n = α_(− 1)((φf^′)/(f^(n + 1))).
(e) En considérant la dérivée de la fonction φ/f^n, démontrer que
c_n = α_1((− 1)/(nf^n))
En déduire la valeur de c_n en fonction de n, pour tout entier naturel n ⩾ 2.
6. Quelle relation peut-on en déduire entre la fonction g et la série S ?

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