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E3A Mathématiques A MP 2014Sujet et corrigé

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Fonctions de Bessel
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Le problème étudie les fonctions de Bessel, solutions de l'équation différentielle x²y'' + xy' + (x² - α²)y = 0. Après un cas particulier résolu explicitement pour α = 1/2, il construit par séries entières la solution générale f_α à l'aide de la fonction Gamma d'Euler, puis identifie cette fonction à une expression intégrale g_p pour α entier. La dernière partie applique ces résultats au développement en série de Fourier de Re(e^(ix cos t)) à l'aide des fonctions de Bessel.

  1. 1Partie I : étude préliminaireRésolution de l'équation z'' + z = 0 et étude du comportement en 0 de combinaisons de cosinus et sinus divisées par racine de x.
  2. 2Partie II : cas particulier alpha = 1/2Résolution explicite de l'équation de Bessel pour alpha = 1/2 par changement de fonction inconnue, et construction de l'unique solution de comportement prescrit en 0.
  3. 3Partie III : cas généralIntroduction de la fonction Gamma d'Euler, résolution par série entière de l'équation transformée, construction de la fonction de Bessel f_alpha, et étude du cas particulier où alpha est un entier p.
  4. 4Partie IV : représentation intégrale des fonctions de BesselÉtude d'une fonction g_p définie par une intégrale à paramètre, démonstration qu'elle est solution de l'équation de Bessel, et identification avec la fonction f_p définie par série entière.
  5. 5Partie V : application aux séries de FourierÉtude de la fonction périodique Re(e^(ix cos t)) et développement de ses coefficients de Fourier à l'aide des fonctions de Bessel g_p.

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques A MP

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème

On étudie dans ce problème quelques propriétés des fonctions de Bessel, obtenues à partir de l'équation différentielle :
(E_α) x^2 y^(′′) + xy^′ + (x^2 − α^2)y = 0
où α est un paramètre réel positif.

Partie I

  1. Déterminer les solutions sur ℝ de l'équation différentielle : z^(′′) + z = 0.
  2. Pour deux réels A et B, déterminer un développement limité à l'ordre 1 en 0 de la fonction x ↦ Acosx + Bsinx.
  3. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur A et B pour que la fonction
x ↦ (Acosx + Bsinx)/(√x)
admette une limite finie en 0^+. Cette condition étant satisfaite, donner un équivalent de (Acosx + Bsinx)/(√x) lorsque x tend vers 0^+.

Partie II

On considère dans cette partie l'équation différentielle :
(E_(1/2)) x^2 y^(′′) + xy^′ + (x^2 − 1/4)y = 0
dont on cherche les solutions sur l'intervalle ]0, + ∞[.
4. Que peut-on dire de l'ensemble des solutions sur ]0, + ∞[ de l'équation différentielle (E_(1/2)) ?
5. Soit y une fonction de classe C^2 sur ]0, + ∞[ et soit z la fonction définie par :
z : ]0, + ∞[, → ℝ; x; ↦ x^(1/2)y(x)
Démontrer que y est solution de (E_(1/2)) si, et seulement si, z est solution d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
6. Résoudre l'équation différentielle ( E_(1/2) ) sur l'intervalle ]0, + ∞[.
7. Démontrer que l'ensemble des solutions de ( E_(1/2) ) sur ]0, + ∞[ qui possèdent une limite finie en 0 est un espace vectoriel de dimension 1.
8. Démontrer qu'il existe une unique solution de (E_(1/2)) sur ]0, + ∞[, notée f_(1/2), telle que :
f_(1/2)(x) ∼ _(x → 0^+)√((2x)/π)

Partie III

Dans cette partie, α est un réel fixé, α ≥ 0 et on considère les équations différentielles :
(E_α), x^2 y^(′′) + xy^′ + (x^2 − α^2)y = 0; (E_α^′), xz^(′′) + (2α + 1)z^′ + xz = 0
  1. On rappelle la définition de la fonction Γ :
Γ : ℝ_+^∗, → ℝ; x, ↦ ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt
Démontrer que Γ(1) = 1et, pour tout x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x).
10. On considère une série entière ∑_(n ≥ 0)a_n x^n dont le rayon de convergence est noté R et dont la somme sur l'intervalle ]- R, R [ est notée S. On suppose dans cette question que R est strictement positif.
10. a. Rappeler une définition du rayon de convergence R de la série entière ∑_(n ≥ 0)a_n x^n.
10. b. On suppose dans cette question que S est solution de l'équation différentielle (E_α^′) sur ] − R, R[. Démontrer que a_1 = 0 et :
∀n ∈ ℕ^∗, (n + 1)(n + 1 + 2α)a_(n + 1) + a_(n − 1) = 0
  1. On suppose ici que la suite (a_n)_(n ≥ 0) satisfait les deux conditions obtenues à la question précédente.
  2. a. Démontrer que a_(2n + 1) = 0 pour tout n ∈ ℕ.
  3. b. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière ∑_(n ≥ 0)a_n z^n.
  4. c. Démontrer que, pour tout entier n ∈ ℕ : a_(2n) = ((− 1)^n Γ(α + 1))/(n!2^(2n)Γ(n + α + 1))a_0.
  5. Préciser la nature de l'ensemble des solutions sur ]0, + ∞[ de l'équation différentielle (E_α).
  6. Soit y : ]0, + ∞[ → ℝ une fonction de classe C^2. On définit la fonction z :
z :, ]0, + ∞[, →, ℝ; x, ↦, x^(− α)y(x)
Démontrer que y est solution de ( E_α ) sur ]0, + ∞ [ si, et seulement si, z est solution de ( E_α^′ ) sur ]0, + ∞[.
14. En déduire que la fonction f_α définie sur ]0, + ∞[ en posant :
∀x > 0, f_α(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n!2^(2n + α)Γ(n + α + 1))x^(2n + α)
est solution de ( E_α ) sur ]0, + ∞[.
15. Déterminer un équivalent de f_α(x) lorsque x tend vers 0 .
Dans la suite du problème, on considère le cas particulier où α = p est un entier naturel et f_p est la solution de ( E_p ) définie par :
∀x ∈ ℝ, f_p(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n!(n + p)!)(x/2)^(2n + p)
(insistons sur le fait que cette fonction f_p est définie sur ℝ ).
16. Pour tout entier p ≥ 1 et tout réel x, expliciter f_(p − 1)(x) − f_(p + 1)(x) comme somme d'une série entière. En déduire l'existence d'une constante k que l'on précisera telle que f_(p − 1)(x) − f_(p + 1)(x) = kf_p^′(x).

Partie IV

Dans cette partie, p ∈ ℕ est un entier naturel fixé et on considère la fonction f_p définie dans la partie précédente. On définit également une fonction g_p sur ℝ en posant :
∀x ∈ ℝ, g_p(x) = 1/π∫_0^π cos(pt − xsint)dt
  1. Démontrer que g_p est de classe C^2 sur ℝ et expliciter (sous forme intégrale) les fonctions g_p^′ et g_p^(′′).
  2. En intégrant par parties g_p^′(x), vérifier que g_p est solution de l'équation différentielle ( E_p ).
  3. Pour tout entier naturel n ∈ ℕ, on note w_n = ∫_0^π sin^n(t)dt.
  4. a. Démontrer que pour tout n ≥ 2, nw_n = (n − 1)w_(n − 2).
  5. b. Donner l'expression de w_(2n) en fonction de n.
  6. Établir l'égalité :
∀x ∈ ℝ, g_1(x) = 1/π∫_0^π sin(t)sin(xsint)dt
puis démontrer que g_0 et g_1 sont développables en série entière sur ℝ.
21. Démontrer les égalités de fonctions g_0 = f_0 et g_1 = f_1.
22. Démontrer que pour tout entier p ≥ 1 et tout réel x ∈ ℝ :
g_(p − 1)(x) − g_(p + 1)(x) = 2g_p^′(x)
  1. Démontrer que, pour tout entier p ∈ ℕ, les fonctions g_p et f_p sont égales.

Partie V

On considère dans cette partie un réel x ∈ ℝ fixé et on définit la fonction :
g :, ℝ → ℂ; t, ↦ Re(e^(ixcost))
(où Re désigne la partie réelle). On reprend par ailleurs les notations définies dans les parties précédentes.
24. Démontrer que g est périodique de période 2π.
25. Les coefficients de Fourier trigonométriques de g sont notés a_n(n ∈ ℕ) et b_n(n ∈ ℕ^∗). Rappeler les expressions de a_n et b_n et étudier la convergence de la série de Fourier de g (on donnera l'énoncé complet du théorème utilisé).
26. Déterminer b_n pour tout entier n ∈ ℕ^∗.
27. Démontrer que g est π-périodique et que a_(2k + 1) = 0 pour tout entier k ∈ ℕ.
28. Démontrer que, pour tout entier k ∈ ℕ, a_(2k) = 2(− 1)^k g_(2k)(x).
29. Démontrer que :
∀t ∈ ℝ, Re(e^(ixcost)) = g_0(x) + 2∑_(n = 1)^(+ ∞)(− 1)^n g_(2n)(x)cos(2nt)

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques A MP des concours Arts et Métiers/ESTP/Polytech 2014 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques A MP des concours Arts et Métiers/ESTP/Polytech 2014 ?

Il porte sur les équations différentielles linéaires du second ordre, les séries entières et la fonction Gamma d'Euler, les intégrales à paramètre, et les séries de Fourier, réunis autour de l'étude des fonctions de Bessel.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties s'enchaînent : la partie I introduit des outils réutilisés en partie II, qui traite un cas particulier avant la construction générale en partie III ; la partie IV donne une représentation intégrale des fonctions construites en partie III, et la partie V applique ces résultats aux séries de Fourier.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

La résolution des équations différentielles linéaires du second ordre, les séries entières et leur rayon de convergence, les intégrales généralisées et la fonction Gamma, ainsi que le théorème de convergence des séries de Fourier.

Qu'est-ce qu'une fonction de Bessel et pourquoi est-elle étudiée ici ?

Les fonctions de Bessel sont les solutions de l'équation différentielle de Bessel, qui apparaît notamment en physique dans des problèmes à symétrie cylindrique ; le sujet les construit par séries entières puis par une représentation intégrale, avant de les relier aux séries de Fourier.

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