Mines Mathématiques 1 MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à l'équation d'Airy

Le sujet, d'analyse et de probabilités, établit un équivalent en +∞ de la somme d'une famille de séries entières. La partie A ramène le cas général au cas p = 1, la partie B le démontre par une méthode probabiliste fondée sur la loi de Poisson. La partie C applique le résultat à l'étude asymptotique d'une solution de l'équation d'Airy.

1Question préliminaireRayons de convergence de deux séries entières.
2Partie A : équivalence entre les énoncés pour p quelconque et p = 1Monotonie des termes, localisation du maximum, majoration par transformation d'Abel et utilisation des racines de l'unité.
3Partie B : une démonstration probabilisteVariables de Poisson, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, théorème de transfert et convergence d'une espérance.
4Partie C : application à l'équation d'AiryFormule d'Euler pour la fonction Gamma, théorème de Cauchy linéaire, solution développable en série entière et équivalent de cette solution.

Difficile. Le jury indique que les candidats ont été déstabilisés, notamment par l'ordre des questions, et que beaucoup ont renoncé après un début technique où la question 3 a été très peu réussie.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Règle de D'Alembert appliquée par réflexe · Calculs avec factorielles et parties entières · Loi de Poisson recalculée

Les candidats ont été déstabilisés par le sujet, surtout par l'ordre des questions : le même sujet, posé dans un autre ordre en PSI et PC, a donné de bien meilleurs résultats. Beaucoup semblent avoir abandonné avant les questions classiques de la fin du problème, dont une minorité seulement a profité.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Règle de D'Alembert appliquée par réflexe1
Pour la seconde série de la question préliminaire, il suffisait d'exploiter le premier résultat ; la plupart ont refait un calcul qui aboutissait à des ratures.
« la majorité des candidats a préféré appliquer encore une fois la règle de D’Alembert »
2
Calculs avec factorielles et parties entières1, 2, 13
La simplification des factorielles et l'apparition d'une partie entière ont provoqué des blocages, dès le début puis de nouveau en question 13.
3
Loi de Poisson recalculée8
L'espérance et la variance d'une loi de Poisson sont au programme et peuvent être utilisées directement ; les recalculer fait perdre du temps et produit parfois des erreurs.
4
Questions classiques délaissées11, 12, 14
L'argument de la famille de polynômes échelonnée en degré a peu été évoqué, et la série de la question 14, vue par presque tous les élèves, a été très peu traitée.
5
Théorème cité sans hypothèses15
Appliquer un théorème consiste à vérifier ses hypothèses puis à conclure ; les hypothèses manquaient dans plus de la moitié des copies ayant abordé la question de cours.
6
Présentation et bluff
Encres pâles, écriture minuscule, abréviations ambiguës et copies proches du brouillon gênent la correction ; le bluff est lourdement sanctionné.
« Les tentatives de bluff, moins nombreuses cette année, sont lourdement sanctionnées. »

Ce qui a été bien réussi

La question 2, abordée par tous, a bien départagé les candidats.
Une proportion correcte de candidats a traité la question 8 sur l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Les meilleurs candidats ont correctement traité la question 13.

Conseils du jury

Travailler en profondeur le cours de première et deuxième année et connaître les théorèmes avec leurs hypothèses.
Rédiger des preuves courtes mais complètes.
Bien traiter une partie des questions plutôt que survoler chacune d'elles.
Soigner la présentation : écriture nette, peu de ratures, résultats encadrés, copies numérotées de façon cohérente.
Parcourir tout le sujet pour repérer les questions classiques placées en fin de problème.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à l'équation d'Airy

Soit

p

un entier naturel non nul et

r

un nombre réel. On considère la fonction définie sur

C

par la série entière

S_(r, p)(z) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)((pn)^r)/((pn)!)z^(pn).

L'objectif, dans les parties A et B du problème, est d'établir l'équivalence suivante quand

x \to + \infty

S_(r, p)(x) \sim _(x \to + \infty)(x^r e^x)/p.

Cet énoncé est noté (

H_(r, p)

). Dans la partie C , on applique ce résultat à l'étude asymptotique d'une solution particulière de l'équation d'Airy.

Question préliminaire. Justifier que la série entière $\sum_(n ⩾ 1)((pn)^r)/((pn)!)z^n$ a pour rayon de convergence $+ \infty$ . Qu'en est-il de la série entière $\sum_(n ⩾ 1)((pn)^r)/((pn)!)z^(pn)$ ?

A Équivalence entre ( $H_(r, p)$ ) et ( $H_(r, 1)$ ) lorsque $r > 0$

On suppose dans cette partie que

p ⩾ 2

r > 0

, et on se propose de montrer que les énoncés (

H_(r, p)

) et (

H_(r, 1)

) sont équivalents. Pour tous

n \in N

x \in R_+^*

, on pose

u_n(x) = (n^r)/(n!)x^n.

Pour $x > 0$ fixé, étudier le signe de la fonction

φ_x : t \in [1, + \infty[ \mapsto t^(1 - r)(t - 1)^r - x.

En déduire que

φ_x

s'annule en un unique élément de [

1, + \infty

[ que l'on note

t_x

. Montrer que la suite finie

(u_n(x))_(0 ⩽ n ⩽ ⌊t_x⌋)

est croissante et que la suite infinie

(u_n(x))_(n ⩾ ⌊t_x⌋)

est décroissante, où

⌊x⌋

désigne la partie entière du nombre réel

x

L'ensemble

{u_n(x); n ∈ N}

admet donc un maximum égal à

u_(⌊t_x⌋)(x)

. Dans la suite de cette partie, ce maximum sera noté

M_x

.
3. Pour tout

α \in R

, déterminer la limite de

φ_x(x + α)

quand

x

tend vers

+ \infty

. En déduire que

t_x - x - r

tend vers zéro lorsque

x \to + \infty

. (On pourra s'aider de la définition d'une limite.)
4. Montrer que pour tout entier relatif

k, u_(⌊x⌋ + k)(x) \sim u_(⌊x⌋)(x)

lorsque

x \to + \infty

. En déduire que pour tout

n \in N

et pour tout

x

au voisinage de

+ \infty

\sum_(i = ⌊x⌋ - n)^(⌊x⌋)u_i(x) ⩾ nu_(⌊x⌋)(x).

En déduire que pour tout entier relatif $k$ ,

u_(⌊x⌋ + k)(x) = o(x^r e^x)

quand

x \to + \infty

. Montrer alors que

M_x = o(x^r e^x).

(On pourra d'abord démontrer que, pour

x

assez grand,

M_x = u_(⌊x⌋ + i)(x)

pour un entier

i

compris entre

⌊r⌋ - 1

⌊r⌋ + 2

.)
6. Soit

z

un nombre complexe tel que

|z| = 1

z \neq 1

. Pour tout entier naturel

n

non nul, on pose

D_n = \sum_(k = 0)^(n - 1)z^k

Pour tout nombre réel

x > 0

, comparer

S_(r, 1)(zx)

à la somme

\sum_(n = 1)^(+ \infty)D_n(u_(n - 1)(x) - u_n(x)).

En déduire que pour tout

x

au voisinage de

+ \infty, |S_(r, 1)(zx)| ⩽ (4M_x)/(|1 - z|)

et conclure que lorsque

x \to + \infty

S_(r, 1)(zx) = o(x^r e^x).

On pose $ζ = exp((2iπ)/p)$ . Pour tout réel $x$ , montrer que

\sum_(k = 0)^(p - 1)S_(r, 1)(ζ^k x) = pS_(r, p)(x)

et en déduire que les énoncés (

H_(r, p)

) et (

H_(r, 1)

) sont équivalents.

B Une démonstration probabiliste

On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé (

Ω, A, P

), une famille

(X_x)_(x \in R_+^*)

de variables aléatoires à valeurs dans

N

telle que

X_x

suive la loi de Poisson de paramètre

x

pour tout réel

x > 0

. On fixe de telles données dans l'intégralité de cette partie.

Soit un réel

r > 0

. On pose

Z_x = (X_x)/x

et on se propose de démontrer que

E(Z_x^r) \to 1

lorsque

x \to + \infty

.
8. Pour tout réel

α > 0

, montrer que

P(|X_x - x| > αx^(2/3)) \to 0

quand

x \to + \infty

.
9. Montrer que, pour tout réel

x > 1

, les variables aléatoires

A_x = 1_((Z_x < 1 - x^(- 1/3)))Z_x^r et B_x = 1_((|Z_x - 1| ⩽ x^(- 1/3)))Z_x^r

sont d'espérance finie et trouver les limites de

E(A_x)

et de

E(B_x)

lorsque

x \to + \infty

Soit

N

un entier naturel strictement positif.
10. Montrer que pour tout réel

x > 0

, la variable aléatoire

Y_(N, x) = 1_((X_x > x + x^(2/3)))\prod_(k = 0)^(N - 1)(X_x - k)

est d'espérance finie et que

x^N P(X_x > x + x^(2/3) - N) = E(Y_(N, x))

Déduire alors de la question 8 que

E(Y_(N, x)) = o(x^N)

quand

x \to + \infty

.
11. Montrer qu'il existe des réels

a_1, \dots, a_N

tels que pour tout réel

x > 0

1_((X_x > x + x^(2/3)))X_x^N = \sum_(k = 1)^N a_k Y_(k, x)

et en déduire la limite de

E(1_((Z_x > 1 + x^(- 1/3)))Z_x^N)

lorsque

x \to + \infty

.
12. Démontrer que

E(1_((Z_x > 1 + x^(- 1/3)))Z_x^r) \to 0

quand

x \to + \infty

. En déduire que

E(Z_x^r) \to 1

quand

x \to + \infty

et conclure à la validité de l'énoncé

H_(r, 1)

En combinant les résultats des deux parties précédentes, nous concluons à la validité de (

H_(r, p)

) pour tout entier naturel

p > 0

et tout réel

r > 0

. Dans la suite du sujet, nous aurons besoin du résultat classique suivant, que nous admettrons :

Lemme de comparaison asymptotique des séries entières. Soit

(a_n)_(n \in N)

(b_n)_(n \in N)

deux suites à termes réels. On suppose que :
(i) la série entière

\sum_n b_n z^n

a pour rayon de convergence

+ \infty

;
(ii) les suites

(a_n)_(n \in N)

(b_n)_(n \in N)

sont équivalentes;
(iii) il existe un rang

n_0 \in N

tel que pour tout

n ⩾ n_0

, on a

b_n > 0

Alors la série entière

\sum_n a_n z^n

a pour rayon de convergence

+ \infty

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n \sim _(x \to + \infty)\sum_(n = 0)^(+ \infty)b_n x^n.

Soit un entier naturel

p > 0

et un nombre réel

r

.
13. En remarquant que pour tout réel

x > 0

S_(r, p)(x) = x^p\sum_(n = 0)^(+ \infty)((p(n + 1))^r)/((p(n + 1))!)x^(np),

déduire du lemme de comparaison asymptotique des séries entières que

S_(r, p)(x) \sim _(x \to + \infty)x^p S_(r - p, p)(x)

En déduire que (

H_(r, p)

) implique (

H_(r - p, p)

) et conclure à la validité de (

H_(r, p)

C Application à l'équation d'Airy

L'équation différentielle d'Airy (Ai) est définie par

x^('')(t) = tx(t)

Question préliminaire. Soit un réel $x > 0$ . Pour tout entier $n > 0$ , on pose $v_n = \sum_(k = 1)^n lnk + xlnn - \sum_(k = 0)^n ln(x + k)$ . Établir la convergence de la série $\sum(v_n - v_(n - 1))$ , et en déduire l'existence d'un réel $Γ(x) > 0$ vérifiant la formule d'Euler :

\prod_(k = 0)^n(x + k) \sim _(n \to + \infty)(n^x n!)/(Γ(x))

Justifier qu'il existe une unique solution $f$ de (Ai) sur $R$ vérifiant $f(0) = 1$ et $f^'(0) = 0$ .
Expliciter une suite $(a_n)_(n \in N)$ telle que pout tout réel $t, f(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n t^n$ .
Démontrer que $a_(3n) \sim (Γ(2/3)n^(1/3))/(9^n(n!)^2)$ puis que $a_(3n) \sim n^(- 1/6)(Γ(2/3))/(\sqrtπ)(2/3)^(2n)1/((2n)!)$ lorsque $n \to + \infty$ .
En déduire une constante $C$ , que l'on exprimera à l'aide de $Γ(2/3)$ , telle que

f(t) \sim _(t \to + \infty)Ct^(- 1/4)exp(2/3t^(3/2))

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Mines maths 1 MP 2019 ?

Il établit un équivalent de la somme d'une série entière, par une méthode analytique puis probabiliste avec la loi de Poisson, et l'applique à une solution de l'équation d'Airy.

Pourquoi le sujet Mines maths 1 MP 2019 a-t-il été mal réussi ?

Le jury attribue les difficultés surtout à l'ordre des questions : le début était technique et beaucoup de candidats ont abandonné avant les questions classiques de la fin. Le même sujet, ordonné autrement en PSI et PC, a donné de bien meilleurs résultats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 1 MP 2019 ?

L'usage réflexe de la règle de D'Alembert, des calculs de factorielles fautifs, des lois de Poisson recalculées inutilement et des théorèmes cités sans vérification des hypothèses.

Quelles questions du sujet Mines maths 1 MP 2019 étaient les plus classiques ?

Selon le jury, à partir de la question 13 on retrouvait des thèmes classiques de prépa, notamment la série de la question 14, la question de cours 15 et la recherche d'une série entière solution en question 16.

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CONCOURS 2019

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Abstract

Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à l'équation d'Airy

A Équivalence entre ( H_(r, p) ) et ( H_(r, 1) ) lorsque r > 0

B Une démonstration probabiliste

C Application à l'équation d'Airy

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet Mines maths 1 MP 2019 ?

Pourquoi le sujet Mines maths 1 MP 2019 a-t-il été mal réussi ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 1 MP 2019 ?

Quelles questions du sujet Mines maths 1 MP 2019 étaient les plus classiques ?

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A Équivalence entre ( $H_(r, p)$ ) et ( $H_(r, 1)$ ) lorsque $r > 0$