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X ENS Mathématiques A MP 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Nombres algébriques, polynômes cyclotomiques et nombres de Salem
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Le sujet d'algèbre étudie les polynômes unitaires à coefficients entiers, irréductibles dans Q[X], ayant beaucoup de racines de module 1. Il introduit le polynôme minimal d'un nombre algébrique, montre que ces polynômes à racines toutes de module 1 ont pour racines des racines de l'unité et étudie les polynômes cyclotomiques. Il se termine sur les nombres de Salem et une famille infinie de tels nombres.

  1. 1Partie 1 : polynôme minimal d'un nombre algébriqueIdéal annulateur, irréductibilité du polynôme minimal, simplicité de ses racines et coefficients entiers pour un entier algébrique.
  2. 2Partie 2 : polynômes cyclotomiques et racines de l'unitéFactorisation de X^n - 1, calcul de polynômes cyclotomiques, preuve que les racines d'un polynôme de l'étude sont des racines de l'unité et irréductibilité des polynômes cyclotomiques.
  3. 3Partie 3 : polynômes réciproques et ensemble SCaractérisation des polynômes réciproques et propriétés des entiers algébriques réels supérieurs à 1 dont les conjugués sont de module au plus 1.
  4. 4Partie 4 : une famille infinie d'éléments de SÉtude d'une famille de polynômes de degré 4, irréductibilité, appartenance à S et recherche du plus petit élément de degré 4.

Difficile. Le jury qualifie le sujet de très long, avec certaines questions assez difficiles, et indique qu'il n'a été traité que par morceaux ; la moyenne est de 8,57.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,57 / 20 · écart-type 3,88 · 1 522 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,57/ 20
Écart-type
3,88
Copies
1 522
moyenne 8,5705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre Q[X] et R[X] ou C[X] · Hypothèse de récurrence non écrite · Idéal mal justifié
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Le sujet, très long et exigeant une argumentation fine, n'a été traité que par morceaux. Les premières questions ont été bien réussies dans beaucoup de copies, puis de nombreux candidats sont allés chercher les questions faciles des autres parties. L'écart-type important a rendu l'épreuve assez discriminante.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre Q[X] et R[X] ou C[X]

    Beaucoup de candidats peinent à travailler avec des polynômes à coefficients rationnels et assimilent parfois les irréductibles de Q[X] aux polynômes réels de degré 2 à discriminant négatif.

  2. 2
    Hypothèse de récurrence non écrite9, 10, 15(b)

    Les hypothèses de récurrence sont trop souvent implicites, ce qui a gêné les récurrences fortes de la partie 2. Affirmer qu'on conclut immédiatement par récurrence ne constitue pas une preuve.

  3. 3
    Idéal mal justifié1

    La vérification que I(α) est un idéal a souvent été incomplète, et sa non-nullité doit venir de la définition d'un nombre algébrique.

  4. 4
    Justification arithmétique escamotée13(a)

    Le fait que p divise les coefficients binomiaux doit être démontré en détail et non présenté comme bien connu.

    « accepter une formulation du type Il est bien connu que p divise »
  5. 5
    Calcul du polynôme minimal erroné6(a), 6(b)

    De nombreuses erreurs de calcul du polynôme minimal, et des cas exclus par l'hypothèse de degré 2 oubliés dans l'analyse.

  6. 6
    Résultats précédents redémontrés19

    Certains candidats refont toute une démonstration antérieure au lieu d'en utiliser simplement le résultat.

Ce qui a été bien réussi

  • Les premières questions ont dans l'ensemble été bien traitées.
  • Les questions 5(a), 9(a), 11(a), 11(b), 12(b) et 21 ont été largement réussies.
  • Le principe des tiroirs en 12(a) a été mobilisé par un grand nombre de candidats.
  • Il était possible d'obtenir une note correcte en cumulant les questions les plus faciles, avec persévérance.

Conseils du jury

  • Rédiger avec rigueur et soin, y compris pour les résultats élémentaires.
  • Numéroter clairement les questions et mettre en valeur les résultats.
  • Écrire explicitement les hypothèses de récurrence.
  • Bien comprendre l'articulation du sujet pour repérer les questions accessibles des parties suivantes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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JEUDI 18 AVRIL 2019-8h00 - 12h00 FILIERE MP - Epreuve n^∘1

MATHEMATIQUES A(XLCR)

Notations

On notera respectivement ℂ, ℝ et ℚ les corps des nombres complexes, réels et rationnels, et ℤ l'anneau des entiers relatifs.
Pour un entier n ≥ 1 on dit qu'un nombre complexe z est une racine n-ième de l'unité si z^n = 1, et que z est une racine de l'unité s'il existe k ≥ 1 tel que z soit une racine k-ième de l'unité.
Pour R ∈ {ℤ, ℚ, ℝ, ℂ} on notera R[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans R. Un polynôme non nul est unitaire si son coefficient dominant est égal à 1. Un polynôme P ∈ ℚ[X] est irréductible dans ℚ[X] si P n'est pas constant et si l'égalité P = QR avec Q, R ∈ ℚ[X] implique que Q ou R est constant.
Un nombre complexe x est appelé nombre algébrique s'il existe P ∈ ℚ[X] non nul tel que P(x) = 0. On dit que x ∈ ℂ est un entier algébrique s'il existe P ∈ ℤ[X] unitaire tel que P(x) = 0.
On admet le résultat suivant.
Théorème: L'ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de ℂ.
Le problème est consacré à l'étude des polynômes unitaires P ∈ ℤ[X], irréductibles dans ℚ[X] et qui possèdent beaucoup de racines de module 1 .
La partie 1 est préliminaire et utilisée en fin de parties 2 et 3 . La partie 3 est indépendante de la partie 2 . La partie 4 utilise les notions introduites précédemment mais est, à l'exception des questions 19 et 20 , indépendante du reste.

Partie 1

Le but de cette partie est d'introduire les notions de polynôme minimal et de degré d'un nombre algébrique, et de montrer que le polynôme minimal d'un entier algébrique est à coefficients entiers.
Dans les questions 1 à 4, on fixe un nombre algébrique α. Soit
I(α) = {P ∈ ℚ[X]|P(α) = 0}
  1. Montrer que I(α) est un idéal de ℚ[X], différent de {0}.
Il existe donc un unique polynôme unitaire Π_α ∈ ℚ[X], appelé polynôme minimal de α, tel que
I(α) = {Π_α Q|Q ∈ ℚ[X]}
On appelle degré de α le degré du polynôme Π_α.
2. Montrer que α est de degré 1 si et seulement si α ∈ ℚ.
3. (a) Montrer que Π_α est irréductible dans ℚ[X].
(b) Soit P ∈ ℚ[X] un polynôme unitaire, irréductible dans ℚ[X]. Montrer que si z est une racine complexe de P, alors P est le polynôme minimal de z.
4. (a) Soient A, B ∈ ℚ[X] deux polynômes qui possèdent une racine commune dans ℂ. Montrer que A et B ne sont pas premiers entre eux dans ℚ[X].
(b) Montrer que les racines de Π_α dans ℂ sont simples.
5. (a) Montrer que si α ∈ ℚ est un entier algébrique, alors α ∈ ℤ.
(b) Montrer que si α ∈ ℂ est un entier algébrique alors Π_α ∈ ℤ[X].
Indication: utiliser le théorème admis en introduction ainsi que la question 5a.
6. (a) Soit α ∈ ℂ un entier algébrique de degré 2 et de module 1. Montrer que α est une racine de l'unité.
(b) Montrer que (3 + 4i)/5 est un nombre algébrique de degré 2 et de module 1 mais n'est pas une racine de l'unité.

Partie 2

Le but de cette partie est de caractériser les polynômes unitaires P ∈ ℤ[X], irréductibles dans ℚ[X], dont toutes les racines sont de module 1 .
Pour n un entier supérieur ou égal à 1 on dit qu'une racine n-ième de l'unité z est primitive si z^d ≠ 1 pour tout entier d tel que 1 ≤ d < n. On note ℙ_n l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité. On a donc ℙ_1 = {1}. On définit Φ_n ∈ ℂ[X] par
Φ_n = ∏_(z ∈ ℙ_n)(X − z).
Si a et b sont des entiers, on écrit a|b si a divise b.
7. Montrer que pour tout n ≥ 1 on a
X^n − 1 = ∏_(d|n)Φ_d
le produit étant pris sur l'ensemble des entiers d > 0 divisant n.
8. (a) Montrer que si p est un nombre premier et k ≥ 1 est un entier, alors
Φ_(p^k) = X^((p − 1)p^(k − 1)) + X^((p − 2)p^(k − 1)) + ⋯ + X^(p^(k − 1)) + 1
(b) Calculer Φ_n pour n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
On fixe un entier n ≥ 2 pour toute la suite de cette partie.
9. (a) Calculer Φ_n(0).
(b) Calculer Φ_n(1) en fonction de la décomposition en facteurs premiers de n.
Indication: raisonner par récurrence sur n, en utilisant la question 7.
10. Montrer que Φ_n ∈ ℤ[X].
Soit P ∈ ℤ[X] un polynôme unitaire de degré n ≥ 1, irréductible dans ℚ[X] et dont toutes les racines complexes sont de module 1. L'objectif des questions 11 et 12 est de montrer que toutes les racines de P sont des racines de l'unité. Soient z_1, …, z_n les racines complexes de P comptées avec leurs multiplicités, de sorte que
P = ∏_(i = 1)^n(X − z_i)
Pour tout entier k ≥ 0 on note
a_k = z_1^k + z_2^k + ⋯ + z_n^k
  1. (a) Montrer que la série ∑_(k ≥ 0)a_k z^k converge pour tout z ∈ ℂ tel que |z| < 1.
    (b) Soit z ∈ ℂ non nul tel que |z| < 1 et soit f(z) la somme de la série ∑_(k ≥ 0)a_k z^k. Montrer que
zf(z)P(1/z) = P^′(1/z)
(c) En déduire que a_k ∈ ℤ pour tout k ≥ 0.
12. (a) Montrer qu'il existe deux entiers 0 ≤ k < l tels que a_(k + i) = a_(l + i) pour tout i ∈ {0, 1, …, n}. On fixe deux tels entiers k, l dans les questions 12 b et 12 c .
(b) Montrer que ∑_(i = 1)^n F(z_i)(z_i^l − z_i^k) = 0 pour tout polynôme F ∈ ℂ[X] de degré inférieur ou égal à n.
(c) Montrer que z_1, z_2, …, z_n sont deux à deux distincts. En déduire que z_i^(l − k) = 1 pour tout i ∈ {1, 2, …, n} et conclure.
Soit z ∈ ℙ_n. Le but des questions 13 et 14 est de montrer que Φ_n est le polynôme minimal de z, i.e. Φ_n = Π_z. Soit p un nombre premier ne divisant pas n.
13. (a) Soient F, G ∈ ℤ[X]. Montrer qu'il existe H ∈ ℤ[X] tel que
(F + G)^p = F^p + G^p + pH
(b) Montrer que Π_z ∈ ℤ[X] et en déduire l'existence d'un polynôme F ∈ ℤ[X] tel que
Π_z(X^p) = Π_z(X)^p + pF(X)
(c) Montrer que (Π_z(z^p))/p est un entier algébrique.
14. (a) Exprimer en fonction de n le nombre ∏_(1 ≤ i < j ≤ n)(z_i − z_j)^2, où z_1, z_2, …, z_n sont les racines du polynôme P = X^n − 1.
Indication: On pourra considérer les nombres P^′(z_i).
(b) Montrer que Π_z(z^p) = 0.
Indication: montrer que si Π_z(z^p) ≠ 0, alors il existe un entier algébrique u tel que n^n = u ⋅ Π_z(z^p).
(c) Conclure que Φ_n = Π_z.

Partie 3

Le but de cette partie est d'introduire et d'étudier une certaine classe d'entiers algébriques, qui ne sont pas des racines de l'unité et dont le polynôme minimal possède beaucoup de racines de module 1 .
Un polynôme unitaire de degré d ≥ 1
P = ∑_(i = 0)^d a_i X^i ∈ ℂ[X]
est dit réciproque si a_i = a_(d − i) pour 0 ≤ i ≤ d.
15. (a) Montrer qu'un polynôme P ∈ ℂ[X] unitaire de degré d est réciproque si et seulement si X^d P(1/X) = P.
(b) Soit P ∈ ℂ[X] un polynôme unitaire réciproque. Montrer que si x ∈ ℂ est une racine de P, alors x ≠ 0 et 1/x est aussi une racine de P, avec la même multiplicité.
Si α est un nombre algébrique de polynôme minimal Π_α, les racines complexes de Π_α différentes de α sont appelées les conjugués de α. On notera C(α) l'ensemble des conjugués de α. L'ensemble C(α) est donc vide si a est de degré 1 .
16. Soit x un nombre algébrique de module 1 et tel que x ∉ { − 1, 1}. Montrer que 1/x est un conjugué de x. En déduire que Π_x est réciproque.
On note S l'ensemble des nombres réels α ∈ ]1, + ∞[ qui sont aussi des entiers algébriques de degré au moins 2 et qui vérifient
max_(γ ∈ C(α))|γ| = 1.
  1. Soit α un élément de S et soit γ ∈ C(α) de module 1 .
    (a) Montrer que le polynôme minimal de α est réciproque et que 1/α est un conjugué de α.
    (b) Montrer que γ n'est pas une racine de l'unité.
    (c) Montrer que tous les conjugués de α autres que 1/α sont de module 1 .
  2. Montrer que le degré de tout élément de S est un entier pair, supérieur ou égal à 4 .

Partie 4

Dans cette partie on étudie une famille infinie d'éléments de l'ensemble S introduit dans la partie 3, avant la question 17.
Pour tout entier n > 1, on définit P_n ∈ ℤ[X] par
P_n = X^4 − (6 + n)X^3 + (10 + n)X^2 − (6 + n)X + 1.
  1. Vérifier que P_n n'a pas de racine dans ℚ et que P_n a au moins une racine réelle strictement plus grande que 1 . On fixe une telle racine α_n dans la suite.
  2. Montrer que si x ∈ ℂ est une racine de P_n, alors 1/x est aussi une racine de P_n, avec la même multiplicité.
On note α_n, 1/(α_n), γ_n, 1/(γ_n) les racines de P_n dans ℂ et on pose
t_n = α_n + 1/(α_n), s_n = γ_n + 1/(γ_n).
  1. Montrer que t_n + s_n = 6 + n et t_n s_n = 8 + n.
  2. Montrer que s_n est réel et que 0 < s_n < 2. En déduire que γ_n n'est pas réel et que γ_n est de module 1 .
  3. (a) Montrer que t_n et s_n sont irrationnels.
    (b) En déduire que P_n est irréductible dans ℚ[X] et que α_n ∈ S.
    (c) Montrer que lim_(n → + ∞)α_n = + ∞.
  4. Soit T l'ensemble des α ∈ S de degré 4 . Montrer que T possède un plus petit élément et calculer ce nombre.
On ne sait pas si l'ensemble S possède un plus petit élément. Le plus petit élément de S connu est la plus grande racine réelle du polynôme X^(10) + X^9 − X^7 − X^6 − X^5 − X^4 − X^3 + X + 1.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet X-ENS maths A MP 2019 ?
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Sur quoi porte le sujet X-ENS maths A MP 2019 ?

C'est un sujet d'algèbre sur les nombres et entiers algébriques : polynôme minimal, polynômes cyclotomiques, racines de l'unité, polynômes réciproques et nombres de Salem.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS maths A MP 2019 ?

Pour les candidats français, la moyenne est de 8,57 avec un écart-type de 3,88, sur 1522 copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X-ENS maths A MP 2019 ?

La difficulté à travailler dans Q[X], des hypothèses de récurrence non écrites, des justifications incomplètes sur les idéaux et sur la divisibilité des coefficients binomiaux, et des erreurs de calcul de polynôme minimal.

Quelles questions faciles viser dans le sujet X-ENS maths A MP 2019 ?

Le jury cite les questions 11(a) et (b), 13(a), 15, 16, puis 19 et 20 comme questions faciles recherchées par de nombreux candidats.

Pas de description pour le moment