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Nombres de Pisot, séries entières rationnelles et produits infinis
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Le sujet étudie les nombres de Pisot, entiers algébriques dont les autres conjugués sont de module strictement inférieur à 1. Il caractérise d'abord les séries entières à coefficients complexes qui sont des fractions rationnelles à l'aide de déterminants de Hankel, puis utilise ce résultat pour montrer qu'un réel theta supérieur à 1 est un nombre de Pisot si et seulement si une certaine série trigonométrique converge, avant d'étudier un produit infini de cosinus lié à cette caractérisation.

  1. 1Partie 1Définition du polynôme minimal d'un nombre algébrique, des polynômes primitifs, des nombres de Pisot, et démonstration que la série de terme général sin²(pi theta^n) converge pour theta un nombre de Pisot.
  2. 2Partie 2Caractérisation des séries entières qui sont des fractions rationnelles à l'aide d'une relation de récurrence sur les coefficients puis à l'aide de déterminants de Hankel, et étude des coefficients entiers d'une telle fraction rationnelle.
  3. 3Partie 3Démonstration de la réciproque : si la série de terme général sin²(lambda pi theta^n) converge pour un lambda strictement positif, alors theta est un nombre de Pisot, en s'appuyant sur les résultats de la partie 2.
  4. 4Partie 4Étude d'un produit infini de cosinus Gamma(u) associé à theta, calcul explicite dans le cas theta = 2, puis étude du comportement de Gamma en lien avec la propriété d'être un nombre de Pisot.

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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - C - (ULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le présent sujet comporte 4 pages numérotées de 2 à 5 .

Avertissement et Notations

L'usage des calculatrices et téléphones portables est interdit.
L'objet de cette épreuve est l'étude des nombres de Pisot, qui interviennent dans différents domaines de l'arithmétique et de l'analyse. L'épreuve comporte quatre parties. Ces parties ne sont pas indépendantes (les parties 1 à 3 sont liées, la partie 4 ne dépend que de la partie 1). Les résultats de questions non-traitées peuvent être admis et utilisés dans les réponses aux questions suivantes, mais cela doit être clairement indiqué dans la copie.
Dans la suite, on notera ℤ[X] (resp. ℚ[X] ) l'ensemble des polynômes à coefficients dans ℤ (resp. dans ℚ ). On utilisera les deux définitions suivantes:
  • θ ∈ ℂ est un nombre algébrique, s'il est racine d'un polynôme non-nul de ℚ[X].
  • θ ∈ ℂ est un entier algébrique, s'il est racine d'un polynôme unitaire de ℤ[X].
Il est clair qu'un entier algébrique est un nombre algébrique, la réciproque étant fausse. D'autres définitions (dont celle des nombres de Pisot) sont données dans la partie 1.

Partie 1

  1. Soit θ un nombre algébrique. Montrer que I_θ:={P ∈ ℚ[X], P(θ) = 0} est un idéal de ℚ[X]. En déduire qu'il existe un unique polynôme Π_θ ∈ ℚ[X] unitaire, de degré minimal, et annulant θ. Le polynôme Π_θ est appelé polynôme minimal de θ.
  2. Un polynôme P ∈ ℤ[X] est dit primitif si ses coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble. Montrer que si P, Q ∈ ℤ[X] sont primitifs, leur produit PQ l'est aussi.
Indication: On raisonnera par l'absurde. En notant P = ∑a_k X^k, Q = ∑b_k X^k et PQ = ∑c_k X^k, on introduira un diviseur premier p de tous les c_k, ainsi que le plus petit entier N pour lequel p ne divise pas a_N.
3. En déduire que si θ est un entier algébrique, alors Π_θ ∈ ℤ[X].
4. On appelle nombre de Pisot un entier algébrique θ tel que:
i) |θ| ≥ 1.
ii) ∀α ∈ ℂ, α ≠ θ, Π_θ(α) = 0 ⇒ |α| < 1.
On note P l'ensemble des nombres de Pisot. Montrer que P ⊂ ℝ.
5. Soit θ ∈ P. On admet qu'il existe k ∈ ℕ, et des nombres complexes α_0, …, α_k de module strictement plus petit que 1 , tels que
θ^n + ∑_(i = 0)^k α_i^n ∈ ℤ, pour tout n ∈ ℕ
En déduire que la série de terme général sin^2(πθ^n) est convergente. On montrera dans la partie 3 la réciproque de ce résultat.

Partie 2

Dans toute cette partie,
f(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n z^n
désigne une série entière à coefficients complexes c_n, n ∈ ℕ, de rayon de convergence R > 0 (éventuellement infini). On note D(0, R):={z ∈ ℂ, |z| < R}.
  1. On suppose dans cette question que f est une fraction rationnelle, c'est-à-dire qu'il existe P, Q ∈ ℂ[X] avec Q(z) ≠ 0 et f(z) = (P(z))/(Q(z)) pour tout z ∈ D(0, R). Montrer qu'il existe p ∈ ℕ, des complexes non tous nuls β_0, …, β_p, et n_0 ∈ ℕ tels que
β_0 c_n + β_1 c_(n + 1) + … + β_p c_(n + p) = 0, pour tout n ≥ n_0
  1. Réciproquement, on suppose qu'il existe p ∈ ℕ, des complexes non tous nuls β_0, …, β_p, et n_0 ∈ ℕ tels que (0.1) soit vérifiée. Montrer que f est une fraction rationnelle.
  2. On suppose que f est une fraction rationnelle. Montrer que les déterminants
Δ_m:=|c_0, c_1, …, …, c_m; c_1, c_2, …, …, c_(m + 1); …, …, …, …, …; …, …, …, …, …; c_m, c_(m + 1), …, …, c_(2m)|, m ∈ ℕ
sont tous nuls à partir d'un certain rang.
4. On suppose réciproquement que Δ_m = 0 pour tout m à partir d'un certain rang. On note p le rang minimal. On souhaite montrer que f est une fraction rationnelle. On suppose p ≥ 1 (le cas p = 0 est trivial).
(a) Montrer qu'il existe des complexes β_0, …, β_(p − 1) tels que
C_(j + p):=β_0 c_j + β_1 c_(j + 1) + … + β_(p − 1)c_(j + p − 1) + c_(j + p)
soit nul pour tout j = 0, …, p.
(b) Montrer que Δ_(p + 1) = − Δ_(p − 1)(C_(2p + 1))^2.
(c) Montrer que C_(j + p) = 0 pour tout j ∈ ℕ.
Indication: on pourra raisonner par récurrence, et montrer que si C_(j + p) est nul pour tout j ≤ m − 1(m > p), alors Δ_m = (− 1)^(m + p)Δ_(p − 1)(C_(p + m))^(m − p + 1).
(d) En déduire que f est une fraction rationnelle.
5. On suppose que f est une fraction rationnelle, que l'on écrit sous forme irréductible:
f(z) = (P(z))/(Q(z)) = (p_0 + p_1 z + ⋯ + p_m z^m)/(q_0 + q_1 z + ⋯ + q_n z^n), z ∈ D(0, R)
avec P et Q premiers entre eux dans ℂ[X], uniques à constante multiplicative près. On suppose de plus que f est à coefficients dans ℤ : c_n ∈ ℤ pour tout n ≥ 0.
On admet que les coefficients p_i et q_j peuvent alors être choisis dans ℤ et premiers entre eux dans leur ensemble. On supposera désormais ces deux hypothèses satisfaites.
(a) Montrer que les coefficients q_j de Q sont premiers entre eux dans leur ensemble.
(b) En utilisant le théorème de Bezout dans ℚ[X], montrer qu'il existe U, V ∈ ℤ[X] et r ∈ ℤ∖{0} tels que r = Q(Uf + V).
(c) En déduire que r divise les coefficients de Uf + V.
Indication: on pourra s'inspirer du résultat de la question 2, Partie 1, en le généralisant aux séries entières.
(d) Conclure que q_0 = ± 1.

Partie 3

Soient θ > 1 et λ > 0 tels que la série de terme général sin^2(λπθ^n) converge. L'objectif de cette partie est de montrer que θ est un nombre de Pisot. Pour tout n ∈ ℕ, on écrit λθ^n = a_n + ε_n, avec a_n ∈ ℤ et ε_n ∈ [ − 1/2, 1/2[. On introduit aussi η_m:=a_m − θa_(m − 1), m ≥ 1.
  1. (a) Montrer que les séries de terme général ε_n^2 et η_n^2 convergent.
    (b) On introduit pour tout n ∈ ℕ le déterminant Δ_n:=|(a_(i + j))_(0 ≤ i, j ≤ n)|. Montrer que
Δ_n^2 ≤ (∑_0^n a_m^2)(∑_1^(n + 1)η_m^2)(∑_2^(n + 2)η_m^2)…(∑_n^(2n)η_m^2)
Indication: on utilisera sans démonstration le lemme d'Hadamard suivant: pour toute matrice A réelle de taille n, de colonnes A_1, …, A_n, on a
|det(A)| ≤ ‖A_1‖_2…‖A_n‖_2, où ‖‖_2 désigne la norme euclidienne sur ℝ^n.
(c) Déduire des questions précédentes que Δ_n → 0 quand n → + ∞.
2. En utilisant les résultats de la partie 2 , montrer qu'il existe deux polynômes P, Q ∈ ℤ[X] premiers entre eux, tels que Q(0) = 1 et
∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n z^n = (P(z))/(Q(z)), ∀|z| < θ^(− 1)
  1. On garde les notations de la question précédente. Montrer que la série entière f(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)ε_n z^n a un rayon de convergence R ≥ 1, et que
f(z) = λ/(1 − θz) − (P(z))/(Q(z)), ∀|z| < θ^(− 1).
  1. En déduire que θ^(− 1) est l'unique zéro de Q dans le disque unité ouvert.
  2. Montrer que (1 − |z|)f(z) → 0 quand |z| → 1. En déduire que θ^(− 1) est l'unique zéro de Q dans le disque unité fermé.
  3. En déduire que θ est un nombre de Pisot.

Partie 4

On rappelle pour cette partie le résultat suivant, démontré dans les parties précédentes:
Soit θ ≥ 1. Si θ est un nombre de Pisot, la série de terme général sin^2(πθ^n) converge. Réciproquement, s'il existe λ > 0 tel que la série de terme général sin^2(λπθ^n) converge, alors θ est un nombre de Pisot.
Soit θ > 1. On introduit, pour tout u > 0,
Γ(u):=lim_(n → + ∞)∏_(k = 0)^n cos(uθ^(− k))
  1. Montrer que la fonction Γ est bien définie sur ℝ_+^∗.
  2. Montrer que dans le cas θ = 2, Γ(u) = (sin(2u))/(2u) pour tout u > 0.
Indication: on fera bon usage de la formule cosxsinx = 1/2sin2x.
3. On suppose dans cette question que Γ(u)↛0 lorsque u → + ∞.
(a) Montrer l'existence d'un δ > 0, d'une suite réelle convergente (λ_s)_(s ∈ ℕ), et d'une suite d'entiers strictement croissante (m_s)_(s ∈ ℕ) tels que:
pour tout s ∈ ℕ, 1 ≤ λ_s < θ, et |Γ(πλ_s θ^(m_s))| ≥ δ.
On notera u_s = πλ_s θ^(m_s), et λ ∈ [1, θ] la limite des λ_s.
(b) Montrer que pour tout s ∈ ℕ,
|Γ(u_s)| ≤ |cos(πλ_s)cos(πλ_s θ)…cos(πλ_s θ^(m_s))|
En déduire que pour tout s ∈ ℕ,
∑_(q = 0)^(m_s)sin^2(πλ_s θ^q) ≤ ln(1/δ^2)
(c) En déduire que θ est un nombre de Pisot.
4. On suppose dans cette question que θ est un nombre de Pisot avec θ ≠ 2.
(a) Montrer que θ^m ≠ (2k + 1)/2, pour tout m ∈ ℤ∖{0} et pour tout k ∈ ℕ.
(b) Montrer que le produit ∏_(m = 1)^n cos^2(πθ^(− m)) converge vers un nombre A > 0 lorsque n → + ∞.
(c) Montrer que le produit ∏_(m = 1)^n cos^2(πθ^m) converge vers un nombre B > 0 lorsque n → + ∞.
(d) En déduire que Γ(u)↛0 lorsque u → + ∞.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths C ENS MP 2012 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths C ENS MP 2012 ?

Il porte sur les polynômes et l'arithmétique des entiers algébriques, les séries entières et leur rayon de convergence, les déterminants et les séries numériques.

Quelles parties du sujet ENS maths C MP 2012 sont indépendantes ?

Les parties 1 à 3 sont liées entre elles, tandis que la partie 4 ne dépend que des résultats de la partie 1.

Qu'est-ce qu'un nombre de Pisot dans ce sujet ?

Un nombre de Pisot est un entier algébrique theta de module au moins 1 dont tous les autres conjugués (racines du polynôme minimal) sont de module strictement inférieur à 1.

Ce sujet demande-t-il de connaître la théorie des déterminants de Hankel ?

Le sujet construit lui-même les outils nécessaires : il définit les déterminants utilisés en partie 2 et guide leur étude pour caractériser les fractions rationnelles parmi les séries entières.

Pas de description pour le moment