ENS Mathématiques D MP 2012Sujet et corrigé

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Invariants polynomiaux sous l'action du groupe SL2 : formes homogènes, opérateurs de dérivation et opérateur de Cayley Omega

Le problème étudie les fonctions polynomiales invariantes sous l'action du groupe SL2(C), en lien avec la théorie des invariants classiques. Après des généralités sur les espaces de polynômes homogènes, il caractérise les fonctions polynomiales sur les matrices symétriques 2x2 invariantes sous SL2 comme fonctions du déterminant, puis développe la théorie des idéaux monomiaux pour montrer que tout idéal de polynômes est de type fini.

1Partie I : espaces de polynômes homogènesÉtudier les espaces de fonctions polynomiales homogènes de plusieurs variables, leur dimension et leur comportement par composition avec une application linéaire.
2Partie II : invariants des matrices symétriques 2x2 sous SL2Montrer que toute fonction polynomiale sur les matrices symétriques 2x2, invariante par l'action de SL2 par congruence, s'exprime comme une fonction polynomiale du déterminant.
3Partie III : idéaux de polynômes et monômesÉtablir une relation d'ordre total sur les multi-indices, une division euclidienne généralisée, et démontrer que tout idéal de l'algèbre des polynômes à plusieurs variables est engendré par un nombre fini d'éléments.
4Partie IV : action de SL2 sur les formes binaires homogènes et opérateurs D, D'Étudier l'action de GL2 sur l'espace des fonctions polynomiales homogènes en deux variables, introduire deux opérateurs de dérivation D et D', et caractériser les fonctions invariantes sous des sous-groupes particuliers de SL2 à l'aide de ces opérateurs.
5Partie V : opérateur de Cayley Omega et finitude des invariantsIntroduire l'opérateur différentiel Omega sur les fonctions polynomiales de matrices 2x2, l'utiliser pour construire des invariants à partir de formes binaires, et démontrer que l'algèbre des invariants est engendrée par un nombre fini d'entre eux.

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ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - D - (U)
(Durée : 6 heures)

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Le sujet à traiter ci-après comprend 7 pages numérotées de 1 à 7 .

Notations

On note

ℕ

l'ensemble des entiers naturels,

ℤ

l'anneau des entiers relatifs et

ℂ

le corps des nombres complexes. Si

0 ⩽ k ⩽ n

sont des entiers, on pose :

(n/k) = (n!)/(k!(n - k)!)

Étant donné un entier

n ⩾ 1

, on note

ℳ_n(ℂ)

l'algèbre des matrices carrées de taille

n

à coefficients dans

ℂ

, on note

GL_n(ℂ)

le groupe des matrices de

ℳ_n(ℂ)

de déterminant non nul et

SL_n(ℂ)

le sous-groupe de

GL_n(ℂ)

formé des matrices de déterminant 1 .

On note

ℂ[X_1, \dots, X_n]

l'algèbre des fonctions polynômiales de

ℂ^n

dans

ℂ

. Pour tout

i ∈ {1, …, n}, X_i

désigne la fonction

(x_1, \dots, x_n) \mapsto x_i

. Pour tout

α = (α_1, \dots, α_n) \in ℕ^n

, on pose

X^α = X_1^(α_1)X_2^(α_2)\dotsX_n^(α_n)

. La famille

(X^α)_(α \in ℕ^n)

est une base de

ℂ[X_1, \dots, X_n]

comme

ℂ

-espace vectoriel.

Pour tout entier

k ⩾ 0

, on note

ℂ[X_1, \dots, X_n]_k

l'ensemble des fonctions polynômiales homogènes d'ordre

k

, c'est-à-dire des fonctions

f \in ℂ[X_1, \dots, X_n]

telles qu'on ait

f(λx) = λ^k f(x)

pour tout

λ \in ℂ

et tout

x \in ℂ^n

I

Soit un entier

n ⩾ 1

Montrer que $ℂ[X_1, \dots, X_n]_0$ est composé des fonctions constantes sur $ℂ^n$ .
Montrer que, pour tout $k ⩾ 0$ , l'ensemble $ℂ[X_1, \dots, X_n]_k$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $ℂ[X_1, \dots, X_n]$ , et calculer sa dimension en fonction de $n$ et $k$ .
Montrer que $ℂ[X_1, \dots, X_n]$ est la somme directe des sous-espaces $ℂ[X_1, \dots, X_n]_k, k ⩾ 0$ .
Soit un entier $m ⩾ 1$ , et soit $u$ une application linéaire de $ℂ^m$ dans $ℂ^n$ .
4.a. Montrer que, pour tout $f \in ℂ[X_1, \dots, X_n]$ , la fonction composée $f \circ u$ appartient à $ℂ[X_1, \dots, X_m]$ .
4.b. Montrer que l'application $f \mapsto f \circ u$ est une application linéaire de $ℂ[X_1, \dots, X_n]$ dans $ℂ[X_1, \dots, X_m]$ , et que c'est un isomorphisme si et seulement si $u$ est un isomorphisme.

II

Dans cette partie, on note

𝒱

ℂ

-espace vectoriel des matrices symétriques de

ℳ_2(ℂ)

. Une fonction

Φ

𝒱

dans

ℂ

est dite polynômiale si la fonction :

(a, b, c) \mapsto Φ((a, b; b, c))

ℂ^3

dans

ℂ

est polynômiale. Pour toute matrice

A \in GL_2(ℂ)

, on note

^t A

la transposée de A.

Soit $M \in 𝒱$ inversible.
1.a. Déterminer l'ensemble des matrices diagonales de $ℳ_2(ℂ)$ de la forme $^t$ AMA avec $A \in GL_2(ℂ)$ .
1.b. Déterminer l'ensemble des matrices diagonales de $ℳ_2(ℂ)$ de la forme $^t$ AMA avec $A \in SL_2(ℂ)$ .
Soit $Φ$ une fonction polynômiale de $𝒱$ dans $ℂ$ .
2.a. Montrer que, pour tout $A \in GL_2(ℂ)$ , la fonction $Φ^A$ de $𝒱$ dans $ℂ$ définie par :

Φ^A : M \mapsto Φ(^t AMA)

est polynômiale sur

𝒱

.
2.b. Montrer que la fonction de

ℂ

dans

ℂ

définie par :

x \mapsto Φ((x, 0; 0, 1))

est polynômiale sur

ℂ

.
3. Soit

f

une fonction polynômiale de

ℂ

dans

ℂ

. Montrer que la fonction

Φ = f \circ det

est polynômiale de

𝒱

dans

ℂ

et vérifie

Φ^A = Φ

pour tout

A \in SL_2(ℂ)

.
4. Montrer que toute fonction polynômiale de

𝒱

dans

ℂ

est continue sur

𝒱

.
5. Soit

Φ

une fonction polynômiale de

𝒱

dans

ℂ

vérifiant

Φ^A = Φ

pour tout

A \in SL_2(ℂ)

. Montrer qu'il existe une unique fonction polynômiale

f

ℂ

dans

ℂ

telle que

Φ = f \circ det

III

Soit un entier

n ⩾ 1

. Un monôme de

ℂ[X_1, \dots, X_n]

est un élément de la forme

λX^α

avec

λ \in ℂ

non nul et

α \in ℕ^n

. Étant donnés

α = (α_1, \dots, α_n)

β = (β_1, \dots, β_n)

dans

ℕ^n

, on note :

α≺β

α \neq β

, et si le premier coefficient non nul de

β - α

est strictement positif, c'est-à-dire si le plus petit entier

i \in {1, \dots, n}

tel que

β_i \neq α_i

vérifie

β_i - α_i > 0

. On note

α≼β

si l'on a soit

α = β

, soit

α≺β

Montrer que $≼$ est une relation d'ordre total sur $ℕ^n$ .
Montrer que toute partie finie non vide de $ℕ^n$ possède un plus grand élément pour la relation d'ordre $≼$ .
Soient $α, β, γ \in ℕ^n$ . Montrer que $α≼β$ si et seulement si $α + γ≼β + γ$ .
Pour toute fonction $f \in ℂ[X_1, \dots, X_n]$ non nulle, on note $deg(f)$ le plus grand $α \in ℕ^n$ pour la relation d'ordre $≼$ tel que le coefficient de $f$ dans la base $(X^α)_(α \in ℕ^n)$ soit non nul, qu'on appelle le degré de $f$ . Montrer que, pour toutes $f, g \in ℂ[X_1, \dots, X_n]$ non nulles, on a $deg(fg) = deg(f) + deg(g)$ .
Soit $k ⩾ 1$ un entier et soient $f, b_1, \dots, b_k \in ℂ[X_1, \dots, X_n]$ non nulles. Montrer qu'il existe $r, q_1, \dots, q_k \in ℂ[X_1, \dots, X_n]$ vérifiant les deux conditions suivantes :
$f = b_1 q_1 + \dots + b_k q_k + r$ ;
si $r$ contient un monôme de degré $α \in ℕ^n$ , alors pour tout entier $i \in {1, \dots, k}$ l'un des coefficients de $α - deg(b_i)$ est strictement négatif.
Pour toute partie $Λ$ de $ℕ^n$ , on note $I(Λ)$ l'idéal de $ℂ[X_1, \dots, X_n]$ engendré par les $X^α$ , $α \in Λ$ . Soit $Λ$ une partie de $ℕ^n$ .
6.a. Soit $β \in ℕ^n$ . Montrer que $X^β \in I(Λ)$ si et seulement s'il existe $α \in Λ$ tel qu'on ait $β - α \in ℕ^n$ .
6.b. Soit $f \in ℂ[X_1, \dots, X_n]$ . Montrer que $f \in I(Λ)$ si et seulement si tous les monômes de $f$ appartiennent à $I(Λ)$ .
6.c. Montrer qu'il existe une partie finie $Λ_0$ de $Λ$ telle que $I(Λ_0) = I(Λ)$ .
Soit I un idéal de $ℂ[X_1, \dots, X_n]$ . En considérant l'idéal engendré par les $X^(deg(f))$ pour $f \in I$ non nuls, montrer qu'il existe une partie finie F de I qui engendre I.
Soit $(f_k)_(k ⩾ 0)$ une suite d'éléments de $ℂ[X_1, \dots, X_n]$ , et soit I l'idéal de $ℂ[X_1, \dots, X_n]$ engendré par les $f_k, k ⩾ 0$ . Montrer qu'il existe un entier $r ⩾ 0$ tel que I soit engendré par $f_0, \dots, f_r$ .

IV

Soit un entier

m ⩾ 0

. On note

ℬ_m = ℂ[U, V]_m

l'espace des fonctions polynômiales de

ℂ^2

dans

ℂ

qui sont homogènes d'ordre

m

. Pour chaque entier

i \in {0, \dots, m}

, on note

e_i

la fonction polynômiale :

(m/i)U^(m - i) V^i : (u, v) \mapsto (m/i)u^(m - i)v^i

Les fonctions

e_0, e_1, \dots, e_m

forment une base de

ℬ_m

. On identifiera

ℬ_m

ℂ^(m + 1)

au moyen de cette base. Une fonction

Φ

ℬ_m

dans

ℂ

sera donc dite polynômiale si la fonction :

(x_0, x_1, \dots, x_m) \mapsto Φ(x_0 e_0 + x_1 e_1 + \dots + x_m e_m)

ℂ^(m + 1)

dans

ℂ

est polynômiale. On note

ℰ_m = ℂ[X_0, \dots, X_m]

l'algèbre des fonctions polynômiales de

ℬ_m

dans

ℂ

. Enfin, si

f \in ℬ_m

et si :

A = (a, b; c, d) \in ℳ_2(ℂ)

on note

f^A

la fonction de

ℂ^2

dans

ℂ

définie par :

f^A : (u, v) \mapsto f(A(u, v)) = f(au + bv, cu + dv).

Soit $A \in ℳ_2(ℂ)$ .
1.a. Montrer que l'application $f \mapsto f^A$ définit un endomorphisme linéaire de $ℬ_m$ .
1.b. Pour tout $Φ \in ℰ_m$ , on note $Φ^A$ la fonction de $ℬ_m$ dans $ℂ$ définie par :

Φ^A : f \mapsto Φ(f^A).

Montrer que l'application

Φ \mapsto Φ^A

définit un endomorphisme linéaire de

ℰ_m

.
2. Pour tout

k ⩾ 0

, on note

ℰ_(m, k)

le sous-espace de

ℰ_m

composé des fonctions homogènes d'ordre

k

. Montrer que, pour tout

A \in ℳ_2(ℂ)

, l'endomorphisme

Φ \mapsto Φ^A

laisse stable chacun des sous-espaces

ℰ_(m, k), k ⩾ 0

.
3. Soient des entiers

k, p ⩾ 0

. On note

ℰ_(m, k, p)

le sous-espace de

ℰ_(m, k)

engendré par les

X^ν

avec

ν = (ν_0, \dots, ν_m) \in ℕ^(m + 1)

tels que

ν_0 + ν_1 + \dots + ν_m = k

ν_1 + 2ν_2 + \dots + mν_m = p

. Montrer que

ℰ_(m, k)

est la somme directe des

ℰ_(m, k, p)

pour

p ⩾ 0

.
4. Pour tout

i \in {0, \dots, m}

, on note

D_i

l'application linéaire de

ℰ_m

dans

ℰ_m

de dérivation par rapport à

X_i

. On définit deux endomorphismes linéaires D et

D^'

ℰ_m

par :

D(Φ) = \sum_(i = 1)^m iX_(i - 1)D_i(Φ), D^'(Φ) = \sum_(i = 0)^(m - 1)(m - i)X_(i + 1)D_i(Φ)

pour tout

Φ \in ℰ_m

. Soient des entiers

k ⩾ 0

p ⩾ 0

.
4.a. Montrer qu'on a

D(ℰ_(m, k, p + 1)) \subseteq ℰ_(m, k, p)

D^'(ℰ_(m, k, p)) \subseteq ℰ_(m, k, p + 1)

.
4.b. Montrer que, pour tout

Φ \in ℰ_(m, k, p)

, on a :

(DD^' - D^' D)(Φ) = (mk - 2p)Φ.

4.c. Pour tout entier

n ⩾ 0

, on note respectivement

D^n

D^('n)

les puissances

n

-ièmes des endomorphismes D et

D^'

. Montrer que, pour tout entier

r ⩾ 1

et tout

Φ \in ℰ_(m, k, p)

, on a:

(D^r D^' - D^' D^r)(Φ) = r(mk - 2p + r - 1)D^(r - 1)(Φ)

et :

(DD^('r) - D^('r)D)(Φ) = r(mk - 2p - r + 1)D^('r - 1)(Φ).

4.d. On suppose que

mk - 2p = 0

. Montrer que, pour tout

Φ \in ℰ_(m, k, p)

, on a

D(Φ) = 0

si et seulement si

D^'(Φ) = 0

. (On pourra commencer par montrer que D et

D^'

sont des endomorphismes nilpotents de

ℰ_(m, k)

.)
5. Soit un entier

k ⩾ 0

, et soit

Φ \in ℰ_(m, k)

une fonction non nulle.
5.a. Montrer que

Φ^A = Φ

pour toute matrice A de la forme :

(λ, 0; 0, λ^(- 1)), λ \in ℂ^*,

si et seulement si

mk

est pair et

Φ \in ℰ_(m, k, mk/2)

.
5.b. Montrer que

Φ^A = Φ

pour toute matrice A de la forme :

(1, u; 0, 1), u \in ℂ,

si et seulement si

D(Φ) = 0

.
5.c. Montrer que

Φ^A = Φ

pour toute matrice A de la forme :

(1, 0; v, 1), v \in ℂ,

si et seulement si

D^'(Φ) = 0

.
6. On note

ℐ_m

l'ensemble des fonctions

Φ \in ℰ_m

telles que

Φ^A = Φ

pour tout

A \in SL_2(ℂ)

.
6.a. Montrer que

ℐ_m

est à la fois un sous-anneau et un sous-espace vectoriel de

ℰ_m

.
6.b. Montrer que

ℐ_m

est la somme directe des

ℐ_(m, k) = ℐ_m \cap ℰ_(m, k)

pour

k ⩾ 0

.
7. Soit un entier

k ⩾ 0

tel que

ℐ_(m, k)

soit de dimension

⩾ 1

.
7.a. Montrer que

mk

est pair et que

ℐ_(m, k)

est inclus dans

ℰ_(m, k, mk/2)

.
7.b. Montrer que, pour tout

Φ \in ℐ_(m, k)

et tout

A \in GL_2(ℂ)

, on a

Φ^A = det(A)^(mk/2)Φ

V

Une fonction

Φ

ℳ_2(ℂ)

dans

ℂ

est dite polynômiale si la fonction :

(a, b, c, d) \mapsto Φ((a, b; c, d))

ℂ^4

dans

ℂ

est polynômiale. On note

𝒫

l'algèbre des fonctions polynômiales de

ℳ_2(ℂ)

dans

ℂ

. On note

D_a, D_b, D_c, D_d

les endomorphismes de dérivation par rapport à

a, b, c, d

respectivement, et on pose :

Ω = D_a D_d - D_b D_c

qui est un endomorphisme du

ℂ

-espace vectoriel

𝒫

Soit $G \in 𝒫$ et soit $B \in GL_2(ℂ)$ . On note F la fonction de $ℳ_2(ℂ)$ dans $ℂ$ définie par $F : A \mapsto G(AB)$ . Montrer que F est polynômiale et que, pour tout $A \in ℳ_2(ℂ)$ , on a :

Ω(F)(A) = Ω(G)(AB)det(B).

Soit $Φ \in ℰ_m$ et soit un entier $r ⩾ 0$ . Pour tout $f \in ℬ_m$ , on définit une fonction $G_f$ de $ℳ_2(ℂ)$ dans $ℂ$ par :

G_f : A \mapsto Φ(f^A)det(A)^r

2.a. Soit

f \in ℬ_m

. Montrer que

G_f

appartient à

𝒫

.
2.b. Montrer qu'il y a un entier

q ⩾ r

tel que, pour tout

f \in ℬ_m

, la fonction

Ω^q(G_f)

soit constante sur

ℳ_2(ℂ)

, où

Ω^q

désigne la puissance

q

-ième de l'endomorphisme

Ω

.
2.c. Soit un entier

q ⩾ r

tel que, pour tout

f \in ℬ_m

, la fonction

Ω^q(G_f)

soit constante sur

ℳ_2(ℂ)

. Montrer que la fonction

Θ

ℰ_m

dans

ℂ

définie par :

Θ : f \mapsto Ω^q(G_f)

appartient à

ℐ_m

et vérifie

Θ(f^A) = Θ(f)det(A)^(q - r)

pour tout

A \in GL_2(ℂ)

.
3. Soit un entier

q ⩾ 0

et soit G la fonction de

ℳ_2(ℂ)

dans

ℂ

définie par

G(A) = det(A)^q

. Calculer

Ω^q(G)

en fonction de

q

.
4. Soit un entier

k ⩾ 0

, et soit

Ψ \in ℐ_(m, k)

. Montrer qu'il existe une fonction

Φ \in ℰ_m

et des entiers

0 ⩽ r ⩽ q

tels que, pour tout

f \in ℬ_m

, la fonction

Ω^q(G_f)

soit constante sur

ℳ_2(ℂ)

et de valeur

Ψ(f)

.
5. Soit un entier

r ⩾ 1

, soient

Ψ_1, \dotsΨ_r \in ℐ_m

et soient

Φ_1, \dotsΦ_r \in ℰ_m

tels que :

Ψ = Φ_1 Ψ_1 + \dots + Φ_r Ψ_r

appartienne à

ℐ_m

. Montrer qu'il existe

Π_1, \dotsΠ_r \in ℐ_m

tels que

Ψ = Π_1 Ψ_1 + \dots + Π_r Ψ_r

.
6. Montrer qu'il existe un entier

r ⩾ 1

et des fonctions

Ψ_1, \dotsΨ_r \in ℐ_m

telles que, pour toute fonction

Ψ \in ℐ_m

, il existe

f \in ℂ[X_1, \dots, X_r]

telle que

Ψ = f(Ψ_1, \dots, Ψ_r)

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths D des ENS MP 2012 ?

Il porte sur les polynômes à plusieurs variables et les fonctions homogènes, les idéaux d'anneaux de polynômes, et l'action de groupes de matrices (SL2) sur des espaces de polynômes, dans le cadre de la théorie classique des invariants.

Ce sujet demande-t-il de connaître les groupes de matrices SL2 et GL2 ?

Oui, plusieurs parties étudient l'action de ces groupes par congruence ou par changement de variables sur des espaces de fonctions polynomiales.

Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties s'enchaînent progressivement : la partie I pose des bases générales, la partie III (idéaux monomiaux) est utilisée dans la partie V pour établir la finitude de l'algèbre des invariants, tandis que les parties II et IV développent des cas particuliers de la théorie des invariants.

Qu'est-ce que l'opérateur de Cayley Omega étudié dans ce sujet ?

C'est un opérateur différentiel construit à partir des dérivées croisées par rapport aux coefficients d'une matrice 2x2, utilisé pour fabriquer systématiquement des invariants polynomiaux sous l'action de SL2.

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I

II

III

IV

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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths D des ENS MP 2012 ?

Ce sujet demande-t-il de connaître les groupes de matrices SL2 et GL2 ?

Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?

Qu'est-ce que l'opérateur de Cayley Omega étudié dans ce sujet ?

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