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Polynômes hyperboliques : généralisation des valeurs propres et inégalités de Gårding et de Weyl

Le sujet étudie les polynômes homogènes hyperboliques, notion qui généralise le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique et ses valeurs propres réelles ordonnées. Il construit la théorie de ces polynômes (racines, continuité, cône de positivité), puis démontre deux résultats majeurs : l'inégalité de Gårding, analogue de l'inégalité arithmético-géométrique, et les inégalités de Weyl sur la somme des racines, avec des applications aux déterminants, permanents et matrices symétriques définies positives.

1PréambuleDéfinitions des polynômes homogènes et de la notion de polynôme hyperbolique dans une direction donnée, avec les propriétés élémentaires des racines associées.
2I ExemplesExemples fondamentaux de polynômes hyperboliques : le déterminant sur les matrices symétriques, certaines formes quadratiques et les polynômes symétriques élémentaires.
3II Continuité des racinesDémonstration de la continuité de l'application qui à un vecteur associe les racines ordonnées du polynôme hyperbolique associé.
4III Le cône du futurÉtude du cône C(p,a) des vecteurs où la plus petite racine est positive, démonstration de sa convexité et de la concavité de la plus petite racine.
5IV Le cas généralExtension des résultats précédents aux polynômes hyperboliques non strictement hyperboliques, à l'aide d'un argument de type théorème de Rouché.
6V L'inégalité de Gårding sur le cône C(p,a)Démonstration de l'inégalité de Gårding généralisant l'inégalité arithmético-géométrique aux polynômes hyperboliques, avec applications aux formes quadratiques et aux permanents de matrices positives.
7VI Concavité de p^(1/d) sur le cône C(p,a)Démonstration de la concavité de la racine d-ième d'un polynôme hyperbolique sur son cône, avec application au déterminant des matrices symétriques définies positives.
8VII Inégalités de WeylDémonstration des inégalités de Weyl reliant les racines ordonnées de p(x+y) à celles de p(x) et p(y), généralisant les inégalités connues pour les valeurs propres de matrices symétriques.

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École Normale Supérieure

Composition de Mathématiques D - (U)

(Durée : 6 heures)

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Sujet saisi par Michel Quercia ([email protected]) d'après l'original.

Polynômes hyperboliques

Préambule

𝕂 = ℝ

ℂ

, on note

Pol(𝕂^n)

l'algèbre des fonctions polynomiales sur

𝕂^n

, dont la base canonique est constituée des fonctions monômes

x \mapsto x_1^(m_1)\dotsx_n^(m_n)

, où

m_1, \dots, m_n \in ℕ

x_1, \dotsx_n

sont les coordonnées de

χ

. Par convention, on aura toujours

χ_j^0 = 1

, même lorsque

χ_j = 0

. L'écriture d'une fonction polynomiale comme combinaison linéaire de fonctions monômes étant unique, on utilisera par la suite les mots monôme et polynôme pour désigner des fonctions monômes ou polynomiales.

Le degré du monôme

x_1^(m_1)\dotsx_n^(m_n)

est l'entier

m_1 + \dots + m_n

. Un polynôme

P \in Pol(𝕂^n)

est dit homogène de degré d s'il est combinaison linéaire des monômes de degré d. Les polynômes homogènes de degré d sur

𝕂^𝔫

forment donc un espace vectoriel que l'on note

Hom_𝔡(𝕂^𝔫)

. Par exemple,

Hom_2(𝕂^𝔫)

est l'ensemble des formes quadratiques sur

𝕂^n

V

est un espace vectoriel sur

𝕂

de dimension finie

n

, le choix d'une base

B

V

permet d'identifier V à

𝕂^n

; on peut donc parler de polynômes et de polynômes homogènes sur V. On admettra que ces deux notions sont indépendantes du choix de

B

, et on notera

Pol(V)

(respectivement

Hom_d(V)

) l'espace vectoriel formé des polynômes (respectivement des polynômes homogènes de degré d) sur V.

𝔧, k \in ℤ

sont deux entiers, on notera

[ [𝔧, k] ]

l'ensemble des entiers

𝔦 \in ℤ

tels que

𝔧 ⩽ 𝔦 ⩽ k

. Si

k < 𝔧

[ [j, k] ]

est donc vide.

Si $P \in Hom_d(ℝ^n)$ et $v \in ℝ^n$ , calculer $\sum_(j = 1)^n v_j(\partialP)/(\partialx_j)(v)$ en fonction de $P(v)$ .

Le problème traite des polynômes hyperboliques. Soit V un espace vectoriel réel de dimension

n ⩾ 1

, soient

d ⩾ 1

un entier et

a \in V

un vecteur non nul ; on dit qu'un polynôme homogène

p

de degré

d

sur

V

(donc un élément de

Hom_d(V)

) est hyperbolique dans la direction a si d'une part

p(a) \neq 0

, et d'autre part, pour tout vecteur

x \in ℝ^n

, les racines du polynôme à une variable

t \mapsto p(ta - x)

sont réelles. Remarquons que si

s \in ℝ∖{0}, p

est encore hyperbolique dans la direction de sa ; ce qui explique l'emploi du mot direction dans la terminologie ci-dessus.
2) Vérifier que dans cette définition, les racines de

t \mapsto p(ta - x)

, comptées avec leurs multiplicités, sont au nombre de d .

Ces racines seront notées

λ_1(x, a), \dots, λ_d(x, a)

et rangées dans l'ordre croissant:

λ_1(x, a) ⩽ \dots ⩽ λ_d(x, a).

Exprimer $p(x)$ au moyen de $p(a)$ et des $λ_j(x, a)$ . Si $s \in ℝ$ , exprimer en fonction du signe de $s$ les $λ_j(sx, a)$ et les $λ_j(x + sa, a)$ au moyen des $λ_j(x, a)$ .

I Exemples

Montrer que la fonction $S \mapsto det(S)$ est un polynôme homogène sur l'espace $Sym_𝔪(ℝ)$ des matrices symétriques réelles à $m$ lignes et $m$ colonnes, et que ce polynôme est hyperbolique dans une direction convenable.
Pour quelles valeurs de l'entier $k$ compris entre 1 et $n$ , la forme quadratique

q(x) = \sum_(j = 1)^k x_j^2 - \sum_(j = k + 1)^n x_j^2

est-elle hyperbolique sur

ℝ^n

, dans une direction convenable?
6) Si

d ⩾ 2

et si

p \in Hom_d(V)

est hyperbolique dans une direction

a

, montrer que la formule

x \mapsto \sum_(j = 1)^n a_j(\partialp)/(\partialx_j)(x)

définit un polynôme hyperbolique dans la même direction. On notera ce polynôme

a \cdot \nablap

.
7) Soit

n ⩾ 2

d \in [ [1, n] ]

des entiers. On définit sur

ℝ^n

de d-ème polynôme symétrique élémentaire

Σ_d

comme suit

Σ_d(x) = \sum_(1 ⩽ j_1 < \dots < j_d ⩽ n)x_(j_1)\dotsx_(j_d).

Montrer que

Σ_d

est hyperbolique dans la direction

e = (1, \dots, 1)

II Continuité des racines

Soit $n$ et $d$ deux entiers strictement positifs, et $F : ℝ^n \to ℝ^d$ une fonction. On se donne un élément $x¯$ de $ℝ^n$ . On suppose que, pour toute suite ( $x^m$ ) dans $ℝ^n$ qui converge vers $x¯$ , il existe une sous-suite $(x^(φ(k)))$ (avec $φ$ strictement croissante) telle que la suite ( $F(x^(φ(k)))$ ) converge vers $F(x¯)$ . Montrer que $F$ est continue en $x¯$ .
Soit $p \in Hom_d(V)$ un polynôme hyperbolique dans une direction $a$ , où $d ⩾ 1$ et $dim(V) = n ⩾ 1$ . On définit l'application

Λ : {V ⟶ ℝ^d; x ⟼ (λ_1(x, a), …, λ_d(x, a)).

a) Si une suite (

x^m

) de

V

est bornée, montrer que les suites (

λ_j(x^m, a)

) sont bornées elles-aussi.
b) En utilisant la question 8), montrer que

Λ

est continue.

III Le cône du futur

p \in Hom_d(V)

est hyperbolique dans la direction

a

, on désigne par

C(p, a)

l'ensemble des vecteurs

x \in V

qui satisfont

λ_1(x, a) > 0

.
10) Vérifier que

C(p, a)

est étoilé par rapport à

a

. Montrer que

C(a \cdot \nablap, a) \supset C(p, a)

On suppose jusqu'à la fin de cette partie que pour tout

x

non colinéaire à

a

, on a les inégalités strictes

λ_1(x, a) < \dots < λ_d(x, a)

et on dit alors que

p

est strictement hyperbolique dans la direction

a

.
11) Soit

b \in C(p, a)

x \in V

. Si

j \in [ [1, d] ]

, montrer que la fonction

φ_j : {ℝ, ⟶, ℝ; t, ⟼, λ_j(tb + χ, a)

est surjective. Lorsque

d ⩾ 2

, à quelle condition existe-t-il deux indices distincts

j

k

et un nombre

t \in ℝ

tels que

φ_j(t) = φ_k(t)

?
12) En déduire que

p

est strictement hyperbolique dans la direction

b

.
13) Montrer que les

φ_j

sont strictement croissantes.
14) Soit

x, y \in V

. Montrer que

t \mapsto λ_1(ty + x, a) - tλ_1(y, a)

est croissante. En déduire que

x \mapsto λ_1(x, a)

est concave et que

C(p, a)

est un cône convexe.
15) Soit

x, b \in C(p, a)

. Montrer que

λ_1(x, b) > 0

.
16) En déduire que si

b \in C(p, a)

alors

C(p, b) = C(p, a)

IV Le cas général

On admet dans cette partie l'énoncé suivant (légèrement moins précis qu'un lemme de Rouché) :
Soient

P, Q \in ℂ[X]

deux polynômes. Soit

ω \in ℂ

un nombre complexe et

ε > 0

un nombre réel. On suppose que

P(ω) = 0

et que

sup{|Q(z)|; |z - ω| = ε} < inf{|P(z)|; |z - ω| = ε}

Alors

P + Q

a au moins une racine

ω^'

telle que

|ω^' - ω| < ε

.
17) Soit

R = R(x, y) \in Pol(ℂ^2)

un polynôme s'annulant en ( 0,0 ). On suppose que le polynôme

x \mapsto R(x, 0)

n'est pas nul et on note

m

la multiplicité de sa racine

x = 0

. De même, on suppose que le polynôme

y \mapsto R(0, y)

n'est pas nul et on note

r

la multiplicité de sa racine

y = 0

.
a) Montrer qu'il existe des entiers

α, β > 0

premiers entre eux, et deux polynômes

R_0

R_1

vérifiant les conditions suivantes :

$R(x, y) = R_0(x, y) + R_1(x, y)$ ;
$R_0(x, y) = x^m Q_0(y^α/x^β)$ , où $Q_0 \in ℂ[X]$ vérifie $0 < βdeg(Q_0) ⩽ m$ ;
$R_1$ est une combinaison linéaire de monômes $x^i y^j$ pour lesquels $αi + βj ⩾ αm + 1$ .

Vérifier que

Q_0(0) \neq 0

.
b) Monter qu'il existe des polynômes

Rˆ \in ℂ[X]

S \in Pol(ℂ^2)

satisfaisant l'identité

R(zu^α, u^β) = u^(αm)(Rˆ(z) + uS(z, u))

Montrer de plus que

Rˆ

possède une racine

ω \neq 0

.
c) Si

ω

n'est pas réelle, montrer que pour tout

u \in ℂ

assez petit, il existe

z \in ℂ∖ℝ

tel que

R(zu^α, u^β) = 0

.
18) On reprend les notations de la question précédente et on suppose que lorsque y est réel, les racines de

R(x, y)

sont toutes réelles.
a) Montrer que les racines de

Rˆ

sont toutes réelles.
b) Montrer que l'ensemble des racines de

Rˆ

est stable par multiplication par

e^(2iαπ/β)

. En déduire que

β ⩽ 2

.
c) En considérant aussi les points de la forme

(zu^α, - u^β)

, montrer qu'en fait

β = 1

.
d) En déduire que

r ⩾ m

.
19) Soit p un polynôme homogène de degré

d ⩾ 1

sur un espace vectoriel réel V de dimension

n ⩾ 2

, hyperbolique dans la direction de

a \neq 0

. On ne suppose pas que

p

soit strictement hyperbolique. On se donne

b \in C(p, a)

.
a) Soit

x \in V

s^* \in ℝ

; on utilise les fonctions

φ_j

définies à la question III-11). Soit

t^*

une racine réelle de

t \mapsto p(s^* a - tb - x)

, de multiplicité

r

. Montrer qu'au plus

r

d'entre les fonctions

φ_j

prennent la valeur

s^*

t^*

.
b) En déduire que

p

est hyperbolique dans la direction

b

Les preuves des autres résultats de la partie III restant valables, on pourra utiliser par la suite le fait que

$x \mapsto λ_1(x, a)$ est concave et $C(p, a)$ est un cône convexe ;
si $b \in C(p, a)$ , alors $C(p, b) = C(p, a)$ .

V L'inégalité de Gårding sur le cône $C(p, a)$

Soit

V

un espace vectoriel réel de dimension finie

n

d ⩾ 2

un entier. Une application

M : V^d = V \times \dots \times V_()_(d copies) \to ℝ

est dite symétrique si

M(x_(σ(1)), \dots, x_(σ(d))) = M(x_1, \dots, x_d)

pour tous vecteurs

x_1, \dots, x_d \in V

et pour toute permutation

σ

[ [1, n] ]

.
Une forme d-linéaire symétrique est une application

M

comme ci-dessus, qui satisfait de plus

M(λx_1 + μy_1, x_2, \dots, x_d) = λM(x_1, x_2, \dots, x_d) + μM(y_1, x_2, \dots, x_d),

pour tous vecteurs

y_1, x_1, \dots, x_d \in V

et pour tous

λ, μ \in ℝ

.
Soit

M

une forme

d

-linéaire symétrique. La fonction

p

définie par

p(x) = M(x, \dots, x), \forallx \in V

est alors polynomiale, homogène de degré

d

. On suppose que

p

est hyperbolique dans la direction de

a

, un vecteur non nul.
20) Soit

b \in C(p, a)

.
a) Prouver l'identité

dM(x, b, \dots, b) = p(b)\sum_(j = 1)^d λ_j(x, b), \forallx \in V

.
b) En déduire que

M(a, b, \dots, b) ⩾ p(a)^(1/d)p(b)^((d - 1)/d)

On pourra admettre sans démonstration l'inégalité arithmético-géométrique : si

u_1, \dots, u_d

sont des nombres réels positifs, alors

1/d(u_1 + \dots + u_d) ⩾ (u_1\dotsu_d)^(1/d)

Vérifier que $x \mapsto M(a, x, \dots, x)$ est un polynôme hyperbolique sur $V$ , dans la direction de $a$ .
Montrer que pour tout choix des vecteurs $x^1, \dots, x^d$ dans $C(p, a)$ , on a

M(x^1, \dots, x^d) ⩾ \prod_(j = 1)^d p(x^j)^(1/d)

On pourra faire un raisonnement par récurrence sur le degré d.
23) Applications :
a) Soit

m ⩾ 1

B

la forme polaire d'une forme quadratique

q

définie positive sur

ℝ^n

. Soit

α, β \in ℝ

u, v \in ℝ^n

. Si

α > \sqrt(q(u))

β > \sqrt(q(v))

, montrer que

αβ - B(u, v) ⩾ \sqrt((α^2 - q(u))(β^2 - q(v))).

b) Si

A \in M_d(ℝ)

est une matrice carrée, on définit son permanent

per(A) = \sum_(ρ \in Bij_d)a_(1ρ(1))\dotsa_(dρ(d)),

où

Bij_d

désigne l'ensemble des bijections de

{1, \dots, d}

dans lui-même. Si

A

est à coefficients positifs, montrer l'inégalité

per(A) ⩾ (d!)(\prod_(1 ⩽ i, j ⩽ d)a_(ij))^(1/d)

VI Concavité de $p^(1/d)$ sur le cône $C(p, a)$

On reprend les notations de la partie

V

. On pourra admettre que pour tout polynôme homogène

p

de degré

d

sur

V

, il existe une forme

d

-linéaire symétrique

M

sur

V

telle que

p(x) = M(x, \dots, x)

pour tout

x

dans

V

.
24) Soit

x, y \in C(p, a)

. En exprimant

p(x + y)

au moyen de

M

, montrer que

p(x + y) ⩾ (p(x)^(1/d) + p(y)^(1/d))^d.

En déduire que la fonction

x \mapsto p(x)^(1/d)

est concave sur

C(p, a)

.
25) Montrer que l'ensemble des matrices symétriques définies positives à

d

lignes et

d

colonnes est un cône convexe, sur lequel l'application

S \mapsto (detS)^(1/d)

est concave.

VII Inégalités de Weyl

On considère dans cette partie un polynôme homogène

p

sur un espace vectoriel

V

de dimension

n ⩾ 3

. On suppose que

p

est strictement hyperbolique (voir III pour cette notion) dans la direction de

a

, de degré

d ⩾ 2

. Comme on ne considérera pas d'autre direction d'hyperbolicité que a , on notera

λ_r(x)

au lieu de

λ_r(x, a)

. On se donne trois indices

i, j, k \in [ [1, d] ]

vérifiant

j ⩽ i

k + 1 = i + j

. On suppose, jusqu'à la question 30 qu'il existe deux vecteurs

x, y \in V

tels que

λ_k(x + y) < λ_i(x) + λ_j(y).

Montrer que nécessairement, $k ⩾ 2$ .
Montrer qu'il existe $u, v \in V$ satisfaisant

λ_k(u + v) < λ_i(u), λ_r(v) < 0 si r < j, λ_r(v) > 0 si r ⩾ j.

On choisit un élément $λ^*$ de l'intervalle $]λ_k(u + v), λ_i(u)$ [, et on considère les fonctions $φ_r : ℝ \to ℝ$ définies par $φ_r(t) = λ_r(u + tv), r \in [ [1, d] ]$ . En examinant les valeurs de $φ_r$ en $t = 0, t = 1$ et au voisinage de $\pm \infty$ , donner un minorant du nombre de solutions de l'équation $φ_r(t) = λ^*$ . Ce minorant dépend de l'indice $r$ .
a) En déduire que le nombre de racines du polynôme $t \mapsto p(λ^* a - u - tv)$ est minoré par

D =, card([ [j, d] ] \cap [ [1, d + 1 - j] ]); + card([ [1, j - 1] ] \cap [ [d + 2 - j, d] ]); + 2card([ [1, j - 1] ] \cap [ [1, d + 1 - j] ] \cap [ [i, d] ]); + 2card([ [j, d] ] \cap [ [d + 2 - j, d] ] \cap [ [1, k] ]); + 2card([ [j, d] ] \cap [ [1, d + 1 - j] ] \cap [ [i, k] ]).

b) Simplifier cette identité en

D = card([ [j, d + 1 - j] ]) + 2card([ [d + 2 - j, k] ]) + 2card([ [j, d + 1 - j] ] \cap [ [i, k] ]).

Montrer que $D = d + 2$ .
Finalement, en conclure que si des entiers $i, j, ℓ \in [ [1, d] ]$ sont tels que $ℓ ⩾ i + j - 1$ , alors on a

λ_ℓ(x + y) ⩾ λ_i(x) + λ_j(y), \forallx, y \in V.

Cette inégalité est-elle encore vraie lorsque le polynôme hyperbolique $p$ n'est pas strictement hyperbolique?

Corrigé

Préambule

Décomposer P en monômes. On obtient $\sum_(j = 1)^n v_j(\partialP)/(\partialx_j)(v) = dP(v)$ .
$p(ta - x) = \sum_m λ_m(ta_1 - x_1)^(m_1)\dots(ta_n - x_n)^(m_n) = t^d p(a) +$ (termes de degré inférieur). Donc $p(ta - x)$ est de degré $d$ en $t$ ; il admet exactement $d$ racines dans $ℂ$ et on sait qu'elles sont réelles.
$p(ta - x) = p(a)(t - λ_1(x, a))\dots(t - λ_d(x, a))$ donc $p(- x) = (- 1)^d p(a)\prod_(j = 1)^d λ_j(x, a)$ et

p(x) = (- 1)^d p(- x) = p(a)\prod_(j = 1)^d λ_j(x, a)

Pour

s \neq 0

p(a)\prod_j(t - λ_j(sx, a)), = p(ta - sx); = s^d p((t/s)a - x); = s^d p(a)\prod_j((t/s) - λ_j(x, a)); = p(a)\prod_j(t - sλ_j(x, a))

Par identifications des factorisations de

p(ta - x)

, les listes

(λ_j(sx, a))

(sλ_j(x, a))

coïncident à l'ordre près, ce qui donne :

λ_j(sx, a) = sλ_j(x, a) si s > 0, λ_j(sx, a) = sλ_(d + 1 - j)(x, a) si s < 0, λ_j(sx, a) = 0 si s = 0.

On obtient de même

λ_j(x + sa, a) = λ_j(x, a) + s

I Exemples

C'est un polynôme homogène de degré $m$ vu la formule développée du déterminant. Il est hyperbolique dans la direction de I (matrice identité) d'après le théorème spectral.
$q(ta - x) = t^2 q(a) - 2tf(a, x) + q(x)$ où $f$ est la forme bilinéaire symétrique polaire de $q$ . On a des racines réelles si et seulement si le discriminant est positif ou nul, soit $f^2(a, x) ⩾ q(a)q(x)$ .
Soit $a$ tel que $q(a) > 0$ et $H = {x$ tq $f(a, x) = 0}$ . C'est un hyperplan supplémentaire de $⟨a⟩$ (l'espace vectoriel engendré par $a$ ) et on veut entre autres $q(a)q(x) ⩽ 0$ pour tout $x \in H$ . En notant ( $e_1, \dots, e_n$ ) la base canonique de $ℝ^n$ , il est nécessaire que $H ∩ ⟨e_1, …, e_k⟩ = {0}$ . Ces deux espaces sont alors en somme directe ce qui implique par calcul de dimension : $k ⩽ 1$ donc $k = 1$ . Réciproquement, avec $k = 1$ , $q(te_1 - x) = (t - x_1)^2 - (x_2^2 + \dots + χ_n^2)$ admet bien deux racines réelles donc q est hyperbolique dans la direction de $e_1$ .

Pour a tel que

q(a) < 0

, on trouve de même que si

q

est hyperbolique dans la direction de a alors

k + 1 = n

(donc

n ⩾ 2

), et lorsque cette condition est satisfaite,

q

est hyperbolique dans la direction de

e_n

.
En conclusion,

q

est hyperbolique dans une direction convenable si et seulement si

k = 1

k = n - 1

.
6)

q(x) = \sum_(j = 1)^n a_j(\partialp)/(\partialx_j)(x)

est bien un polynôme en

x

homogène de degré

d - 1

, non nul en a (cf. P-1)), et on a par différentiation composée:

q(ta - x) = d/(dt)(p(ta - x))

. Notons

t_1 < \dots < t_k

les racines sans répétition de

t \mapsto p(ta - x)

, de multiplicités

m_1, \dots, m_k

. Avec le théorème de Rolle,

t \mapsto q(ta - x)

admet une racine dans chaque intervalle

]t_i, t_(i + 1)

[, et de plus

t_i

est aussi racine de ce polynôme avec la multiplicité

m_i - 1

lorsque

m_i ⩾ 2

. On a ainsi trouvé

(k - 1) + (m_1 - 1) + \dots + (m_k - 1) = m_1 + \dots + m_k - 1 = d - 1

racines pour

t \mapsto q(ta - x)

, ce qui prouve l'hyperbolicité.
7) Itération de 6) à partir du polynôme

q(x) = x_1\dotsx_n

, manifestement hyperbolique dans la direction de

e

II Continuité des racines

Si $F(x)↛_(x \to x¯)F(x¯)$ on peut trouver $ε > 0$ et une suite ( $x^m$ ) convergeant vers $x¯$ telle que $‖F(x^m) - F(x¯)‖ ⩾ ε$ pour tout $m$ . C'est en contradiction avec l'hypothèse de l'énoncé.
a) $p(ta - x) = t^d p(a) +$ polynôme $(t, x) = t^d p(a)(1 +$ polynôme $(1/t, x))$ .
$x$ variant dans un ensemble borné, il existe $M$ tel que pour tout $x$ et pour tout $t$ avec $|t| ⩾ 1$ , on a

|p(ta - x)| ⩾ |t|^d|p(a)|(1 - M/|t|).

En particulier, pour

|t| ⩾ 1

|t| > M

t

n'est pas racine. Ainsi, pour tout

χ

(dans un ensemble borné) et pour tout

j

, on a

|λ_j(x, a)| ⩽ max(1, M)

.
b) On suppose

χ^m \to χ

et on extrait une sous-suite (

χ^(φ(k))

) telle que pour tout

𝔧

, la suite

λ_j(χ^(φ(k)), a)

est convergente, de limite

μ_j

. Les limites croissent avec

j

comme le font les

λ_j(x^(φ(k)), a)

k

fixé.
Pour

t \in ℝ

fixé on a

p(ta - x^(φ(k))) = p(a)\prod_j(t - λ_j(x^(φ(k)), a)) ⟶ _(k \to \infty)p(a)\prod_j(t - μ_j)

. p est continue car polynomiale, donc cette limite est égale à

p(ta - x)

, ce qui prouve que

μ_j = λ_j(x, a)

pour tout

j

. On peut alors conclure à la continuité de

Λ

avec 8 ).

III Le cône du futur

$λ_1((1 - t)a + tx, a) = 1 - t + λ_1(tx, a) = 1 - t + tλ_1(x, a) > 0$ pour $t \in [0, 1]$ et $x \in C(p, a)$ . Ceci prouve le caractère étoilé par rapport à $a$ . On a vu en I-6) que les racines de $t \mapsto a \cdot \nablap(ta - x)$ sont comprises entre les deux racines extrêmes de $t \mapsto p(ta - x)$ , en particulier elles sont toutes strictement positives si $λ_1(x, a) > 0$ , d'où l'inclusion $C(a \cdot \nablap, a) \supset C(p, a)$ .
Pour $t > 0, λ_j(tb + x, a) = tλ_j(b + x/t, a) = tλ_j(b, a) + o_(t \to + \infty)(t)$ par continuité de $λ_j(., a)$ en $b$ . Donc $φ_j(t)\to-_(t \to + \infty)^ + \infty$ . On montre de même que $φ_j(t)\to-_(t \to - \infty)^⟶ - \infty$ . Par continuité, l'image de $φ_j$ est un intervalle ; c'est $] - \infty, + \infty[$ .
$φ_j(t) = φ_k(t)$ avec $j \neq k$ implique que $tb + x$ soit colinéaire à $a$ , soit $x \in ⟨a, b⟩$ . Réciproquement, si $x = αa + βb$ alors $φ_j(- β) = λ_j(αa, a) = α$ , indépendant de $j$ .
Avec P-3), on a $p(b) = p(a)\prod_(j = 1)^d λ_j(b, a)$ donc $p(b) \neq 0$ . Ensuite, $p(tb + x) = p(a)\prod_(j = 1)^d φ_j(t)$ s'annule à chaque fois qu'une des fonctions $φ_j$ s'annule.
Si $x \notin ⟨a, b⟩$ , les $φ_j$ ont chacune au moins une racine et n'ont pas de racine en commun, donc le polynôme $t \mapsto p(tb + x)$ admet au moins d racines réelles distinctes.
Si $x = αa + βb$ , on a $λ_j(tb + x, a) = λ_j((t + β)b + αa, a) = (t + β)λ_k(b, a) + α$ avec $k = j$ si $t ⩾ β$ et $k = d + 1 - j$ si $t < - β$ . Les racines de $t \mapsto p(tb + x)$ sont donc les réels $- β - α/λ_k(b, a), k \in [ [1, d] ]$ (elles sont toutes du même côté de $- β$ , côté fonction du signe de $α$ ). Elles sont distinctes lorsque $α \neq 0$ et $b \notin ⟨a⟩$ par stricte hyperbolicité de $p$ dans la direction $a$ .
Il reste à étudier les cas $x = βb$ et $x = αa + βb$ avec $b \in ⟨a⟩$ . Dans ces deux cas, $x$ est colinéaire à b et $t \mapsto p(tb + x)$ admet d racines confondues.
En changeant $x$ en $- x$ , on a ainsi prouvé la stricte hyperbolicité de $p$ dans la direction $b$ .
Pour $x \notin ⟨a, b⟩$ , chaque $φ_j$ s'annule exactement une fois (sinon on a trop de racines pour $t \mapsto p(tb + x)$ ). Comme $λ_j(tb + x - sa, a) = φ_j(t) - s$ et $tb + x - sa \notin ⟨a, b⟩$ , chaque $φ_j$ prend exactement une fois la valeur $s$ , et ce pour tout $s \in ℝ$ . Ainsi les $φ_j$ sont des bijections de $ℝ$ sur $ℝ$ . Étant continues, elles sont strictement monotones et vu les limites en $\pm \infty$ elles sont strictement croissantes.
Pour $x = αa + βb$ , on a vu que $φ_j$ est une fonction continue affine par morceaux de coefficients directeurs strictement positifs ; elle est strictement croissante.
Supposons dans un premier temps que $λ_1(y, a) = 0$ : pour $α > 0$ on a $b = y + αa \in C(p, a)$ , donc $t \mapsto λ_1(tb + x, a)$ est strictement croissante comme on l'a vu à la question précédente. Lorsque $α \to 0^+$ , on a $λ_1(tb + x, a) \to λ_1(ty + x, a)$ par continuité de $λ_1$ et donc $t \mapsto λ_1(ty + x, a)$ est croissante au sens large en tant que limite simple de fonctions qui le sont.
Dans le cas général ( $λ_1(y, a)$ quelconque), on peut remplacer $y$ par $y - λ_1(y, a)a$ sans changer la quantité

f(t) = λ_1(ty + x, a) - tλ_1(y, a)

et on est ramené au cas particulier précédent.
Considérons à présent

x, y \in V

t \in [0, 1[

on a :

λ_1((1 - t)x + ty, a), = (1 - t)λ_1(x + ty/(1 - t), a); = (1 - t)f(t/(1 - t)) + tλ_1(y, a); ⩾ (1 - t)f(0) + tλ_1(y, a); ⩾ (1 - t)λ_1(x, a) + tλ_1(y, a)

La concavité de

x \mapsto λ_1(x, a)

et la convexité de

C(p, a)

s'ensuivent.
15)

λ_1(x, b)

est un réel

t

tel qu'il existe

j \in [ [1, d] ]

pour lequel

λ_j(tb - x, a) = 0

. Si l'on suppose

t ⩽ 0

alors

0, = λ_j(tb - x, a); = (t - 1)λ_(d + 1 - j)((- t)/(1 - t)b + 1/(1 - t)x, a); ⩽ (t - 1)((- t)/(1 - t)λ_(d + 1 - j)(b, a) + 1/(1 - t)λ_(d + 1 - j)(x, a)); ⩽ tλ_(d + 1 - j)(b, a) - λ_(d + 1 - j)(x, a); < 0

ce qui est absurde.
16) On vient de voir que

b \in C(p, a) \Rightarrow C(p, a) \subset C(p, b)

Comme

a \in C(p, a)

, on a aussi

b \in C(p, a) \Rightarrow a \in C(p, b) \Rightarrow C(p, b) \subset C(p, a)

IV Le cas général

a) On écrit $R(x, y) = \sum_(i, j)λ_(ij)x^i y^j$ et $Q_0(t) = \sum_i μ_i t^i$ .

Alors

x^m Q_0(y^α/x^β) = \sum_i μ_i x^(m - iβ)y^(iα)

et l'on a

α(m - iβ) + β(iα) = αm

. Il s'agit donc de séparer les termes

λ_(ij)x^i y^j

R(x, y)

selon que

αi + βj = m

αi + βj > m

α, β

sont à déterminer de sorte qu'il n'y ait pas de termes tels que

αi + βj < m

ayant un coefficient non nul. De plus,

R_0

doit contenir au moins un terme

λ_(ij)x^i y^j

tel que

λ_(ij) \neq 0

j > 0

(condition

deg(Q_0) > 0

).
Notons E l'ensemble des points (

i, j

) du plan pour lesquels

λ_(ij) \neq 0

. C'est un ensemble fini, contenant au moins les deux points

(m, 0)

(0, r)

et ne contenant aucun point

(i, 0)

avec

i < m

. Considérons alors une droite variable

D

de pente strictement négative et passant par (

m, 0

) : il existe une et une seule position de D pour laquelle tous les points de E sont au dessus de D et au moins un point autre que (

m, 0

) est sur

D

: le point (

i, j

) en question est tel que la pente

p = (i - m)/(j - 0)

est maximale parmi celles qui sont strictement négatives. On écrit le rationnel

p

sous forme irréductible

p = - α/β

avec

α, β > 0

premiers entre eux, donc D a pour équation cartésienne

αx + βy =

cste et la constante vaut

αm

puisque

(m, 0) \in D

. D étant ainsi choisie, la décomposition de

R(x, y)

s'ensuit et satisfait clairement aux conditions posées. Par ailleurs

Q_0(0) = λ_(m, 0) \neq 0

.
b)

R(zu^α, u^β) = u^(mα)z^m Q_0(1/z^β) + R_1(zu^α, u^β)

On pose

Rˆ(z) = z^m Q_0(1/z^β)

S(z, u) = R_1(zu^α, u^β)/u^(αm + 1) = \sum_(αi + βj > αm)λ_(ij)z^i u^(αi + βj - αm - 1)

R

est bien un polynôme vu la contrainte sur

deg(Q_0)

et il est ni constant ni réduit à un seul monôme, donc il admet une racine complexe non nulle.
c) On applique le lemme de Rouché à

u

fixé avec

P = Rˆ, Q(z) = uS(z, u)

ε ⩽ |ℑω|

choisi de sorte que

Rˆ(z) \neq 0

|z - ω| = ε

. Un tel choix est possible puisque

Rˆ

a un nombre fini de racines. Par continuité et compacité, il existe

M, N > 0

tels que

|Q(z)| ⩽ M|u|

|P(z)| ⩾ N

pour tout

z

tel que

|z - ω| = ε

et tout

u

tel que

|u| ⩽ 1

. Ainsi, pour

|u| < min(1, N/M)

, on a bien

sup|Q| < inf|P|

.
18) a) Sinon on peut appliquer 17c) avec

u

réel non nul et

x = zu^α \notin ℝ

.
b) On pose

z^' = ze^(2iαπ/β)

u^' = ue^(- 2iπ/β)

. Alors

zu^α = z^' u^('α) = x

u^β = u^('β) = y

donc on a les décompositions :

R(x, y), = u^(αm)Rˆ(z) + u^(αm + 1)S(z, u); = u^('αm)Rˆ(z^') + u^('αm + 1)S(z^', u^'); = u^(αm)e^(- 2iα mπ/β)Rˆ(z^') + u^('αm + 1)S(z^', u^')

En simplifiant par

u^(αm)

et en prenant

u = 0 = u^'

, il vient:

Rˆ(z) = e^(- 2iαmπ/β)Rˆ(z^')

, ce qui prouve que l'ensemble des racines de

Rˆ

est invariant par la transformation

z \mapsto z^'

. Il s'agit d'un ensemble de réels non tous nuls ; ceci impose

e^(2iαπ/β) \in ℝ

, soit

β|2α

et comme

α \land β = 1, β

est un diviseur de 2 .
c) Même méthode avec la transformation

z^' = ze^(iαπ/β)

u^' = ue^(- iπ/β)

soit

(zu^α, u^β) = (z^' u^('α), - u^('β))

. On obtient alors que l'ensemble des racines de

Rˆ

est stable par multiplication par

e^(iαπ/β)

, puis que

β|α

, d'où

β|1

.
d) En reprenant les notations de 17a), on a (

0, r) \in E

donc

α0 + βr ⩾ αm

, soit

r ⩾ αm ⩾ m

.
19) a)

p(sa - tb - x) = p((s - s^*_()_x)a + (t^* - t_()_Y)b + (s^* a - t^* b - x)) = R(X, Y)

On a

R(0, 0) = p(s^* a - t^* b - x) = 0

et à

Y

fixé (soit à

t

fixé), les racines de

X \mapsto R(X, Y)

sont toutes réelles. Donc la multiplicité de

X = 0

comme racine de

R(X, 0)

est majorée par celle de

Y = 0

comme racine de

R(0, Y)

. La première multiplicité est le nombre de

j

tels que

λ_j(t^* b + x) = s^*

, d'après la factorisation

p(sa - tb - x) = p(a)\prod_j(s - λ_j(t^* b + x))

; la deuxième est

r

par définition.
b) On a toujours

φ_j

surjective (la démonstration vue en III-11) n'utilisait pas l'hypothèse de stricte hyperbolicité). De plus, d'après la question précédente, la somme des multiplicités des racines réelles de

t \mapsto p(tb - x)

est supérieure ou égale au nombre total de racines pour l'ensemble des

φ_j

, donc supérieure ou égale au nombre de

φ_j

, soit

d

. Ainsi

t \mapsto p(tb - x)

est scindé sur

ℝ

V L'inégalité de Gårding sur le cône $C(p, a)$

a) $p(tb - x) = M(tb - x, \dots, tb - x) = t^d p(b) - dt^(d - 1)M(x, b, \dots, b) + ($ termes de degré $⩽ d - 2)$ . La somme des racines de ce polynôme en $t$ est $\sum_(j = 1)^d λ_j(x, b) = dM(x, b, \dots, b)/p(b)$ .
b) $M(a, b, \dots, b)/p(b) = (1/d)\sum_j λ_j(a, b) ⩾ (\prod_j λ_j(a, b))^(1/d) = (p(a)/p(b))^(1/d)$ . On obtient l'inégalité demandée en supposant $p(b) > 0$ , ou ce qui est équivalent, $p(a) > 0$ . Il y a ici une erreur d'énoncé.
C'est une conséquence de I-6) car a $\cdot \nablap(x) = dM(a, x, \dots, x)$ .
Pour $d = 1$ il y a égalité.

Si l'inégalité est vraie au degré

d - 1

, on l'applique au polynôme

q(x) = M(x^1, x, \dots, x)

en supposant

p(a) > 0

$x^1 \in C(p, a)$ donc $q(x^1) = p(x^1) = p(a)\prod_j λ_j(x^1, a) > 0$ ;
$x^2, \dots, x^d \in C(p, a) = C(p, x^1) \subset C(q, x^1)$ .

Il vient :

M(x^1, x^2, \dots, x^d), ⩾ \prod_(j = 2)^d M(x^1, x^j, \dots, x^j)^(1/(d - 1)); ⩾ \prod_(j = 2)^d(p(x^1)^(1/d)p(x^j)^((d - 1)/d))^(1/(d - 1)); ⩾ p(x^1)^(1/d)\prod_(j = 2)^d p(x^j)^(1/d)

a) On a avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $αβ - B(u, v) ⩾ αβ - \sqrt(q(u))\sqrt(q(v))$ . Il reste donc à prouver que pour $α, β, γ, δ$ réels positifs avec $α > γ$ et $β > δ$ , on a $αβ - γδ ⩾ \sqrt((α^2 - γ^2)(β^2 - δ^2))$ .
Une élévation au carré résout trivialement la question, mais le correcteur tient certainement à que l'on applique plutôt l'inégalité de la question précédente.

On considère donc la forme bilinéaire symétrique sur

ℝ^2

définie par

M(x, y) = x_1 y_1 - x_2 y_2

. La forme quadratique associée est définie par

p(x) = x_1^2 - x_2^2

, polynôme hyperbolique dans la direction de

e_1 = (1, 0)

C(p, e_1) = {x ∈ ℝ^2 tqt ↦ (t − x_1)^2 − χ_2^2

a ses racines strictement positives

} = {χ ∈ ℝ^2 tqx_1 > |x_2|}

, donc les vecteurs

(α, γ)

(β, δ)

appartiennent à

C(p, e_1)

p(e_1) > 0

, et

αβ - γδ = M((α, γ), (β, δ)) ⩾ \sqrt(p((α, γ))p((β, δ))) = \sqrt((α^2 - γ^2)(β^2 - δ^2)).

b) Ici aussi, on obtient trivialement cette inégalité en appliquant l'inégalité arithmético-géométrique à la quantité

per(A)/d!

, et on va présenter une solution plus compliquée mais plus dans l'esprit du sujet.
Posons pour

χ^1, \dots, χ^d \in ℝ^d : M(χ^1, \dots, χ^d) = per([χ^1, \dots, χ^d])

où

[χ^1, \dots, χ^d]

désigne la matrice

d \times d

ayant

χ^1, \dots, χ^d

pour lignes. On a bien une forme d -linéaire symétrique, et le polynôme associé à

M

est défini par

p(x) = d!x_1\dotsx_d

. Il est hyperbolique dans la direction

e = (1, \dots, 1)

avec

p(e) > 0

, et

C(p, e)

est l'ensemble des vecteurs à coordonnées strictement positives. Ainsi, lorsque toutes les coordonnées des vecteurs

χ^1, \dots, χ^d

sont strictement positives, on a

per([x^1, \dots, x^d]) ⩾ \prod_(j = 1)^d(d!\prod_(i = 1)^d x_i^j)^(1/d) = d!(\prod_(1 ⩽ i, j ⩽ d)x_i^j)^(1/d).

Si les vecteurs sont à coordonnées positives ou nulles mais non toutes strictement positives, le produit de droite est nul et l'inégalité est encore vraie.

VI Concavité de $p^(1/d)$ sur le cône $C(p, a)$

On suppose toujours $p(a) > 0$ . On a :

p(x + y), = M(x + y, \dots, x + y); = \sum_(k = 0)^d(d/k)M(x, \dots, x_()_k, y, \dots, y_()_(d - k)); ⩾ \sum_(k = 0)^d(d/k)p(x)^(k/d)p(y)^((d - k)/d); ⩾ (p(x)^(1/d) + p(y)^(1/d))^d

Ensuite, pour

x, y \in C(p, a)

t \in [0, 1]

p((1 - t)x + ty) ⩾ (p((1 - t)x)^(1/d) + p(ty)^(1/d))^d = ((1 - t)p(x)^(1/d) + tp(y)^(1/d))^d

ce qui prouve la concavité de

p^(1/d)

.
25) On prend

p =

det et

a = I

C(p, a)

est l'ensemble des matrices symétriques à valeurs propres strictement positives ; c'est l'ensemble des matrices symétriques définies positives.

VII Inégalités de Weyl

Si $k < 2$ alors $i + j < 3$ donc $i = j = k = 1$ et on contredit la croissance de $t \mapsto λ_1(ty + x) - tλ_1(y)$ vue en III-14).
Si $y$ est colinéaire à $a$ : $y = αa$ alors $λ_k(x + y) = λ_k(x) + α$ et $λ_i(x) + λ_j(y) = λ_i(x) + α$ . Comme $k ⩾ i$ , on a aussi $λ_k(x) ⩾ λ_i(x)$ , soit $λ_k(x + y) ⩾ λ_i(x) + λ_j(y)$ . Ce cas est donc impossible dans la situation envisagée. Ainsi, par stricte hyperbolicité, les nombres $λ_r(y)$ sont distincts. On choisit $α$ strictement compris entre $λ_(j - 1)(y)$ et $λ_j(y)$ (ou $α < λ_1(y)$ si $j = 1$ ) et on pose $u = x, v = y - αa$ . Avec ce choix, $λ_r(v) = λ_r(y) - α$ a le signe voulu en fonction de r . De plus,

λ_k(u + v) - λ_i(u) = λ_k(x + y) - λ_i(x) - α = (λ_k(x + y) - λ_i(x) - λ_j(y))_()_(< 0) + (λ_j(y) - α)_()_(> 0, arbitrairement petit).

On règle

α

pour que cette dernière somme soit strictement négative.
28) On a vu en III-11) :

λ_r(u + tv) = tλ_r(v) + o_(t \to + \infty)(t)

λ_r(u + tv) = tλ_(d + 1 - r)(v) + o_(t \to - \infty)(t)

. Donc

φ_r

a des limites infinies en

\pm \infty

dont les signes dépendent des positions de

r

par rapport à

j

et à

d + 1 - j

. De plus,

φ_r(0) = λ_r(u)

φ_r(1) = λ_r(u + v)

donc on peut comparer

φ_r(0)

φ_r(1)

λ^*

en fonction des positions de

r

par rapport à

i

et à

k

. Il y a ainsi seize cas à considérer :

$- \infty 0 1 + \infty$
$r ⩽ d + 1 - j$	$r < i$	$r ⩽ k$	$r < j$	$- \infty$		-	$- \infty$	$N ⩾ 0$
		$r ⩽ k$	$r ⩾ j$	$- \infty$		-	$+ \infty$	$N ⩾ 1$
		$r > k$	$r < j$	$- \infty$			$- \infty$	$N ⩾ 0$
		$r > k$	$r ⩾ j$	$- \infty$			$+ \infty$	$N ⩾ 1$
	$r ⩾ i$	$r ⩽ k$	$r < j$	$- \infty$	+	-	$- \infty$	$N ⩾ 2$
		$r ⩽ k$	$r ⩾ j$	$- \infty$	+	-	$+ \infty$	$N ⩾ 3$
		$r > k$	$r < j$	$- \infty$	+		$- \infty$	$N ⩾ 2$
		$r > k$	$r ⩾ j$	$- \infty$	+		$+ \infty$	$N ⩾ 1$
$r > d + 1 - j$	$r < i$	$r ⩽ k$	$r < j$	$+ \infty$		-	$- \infty$	$N ⩾ 1$
		$r ⩽ k$	$r ⩾ j$	$+ \infty$		-	$+ \infty$	$N ⩾ 2$
		$r > k$	$r < j$	$+ \infty$			$- \infty$	$N ⩾ 1$
		$r > k$	$r ⩾ j$	$+ \infty$			$+ \infty$	$N ⩾ 0$
	$r ⩾ i$	$r ⩽ k$	$r < j$	$+ \infty$	+	-	$- \infty$	$N ⩾ 1$
		$r ⩽ k$	$r ⩾ j$	$+ \infty$	+	-	$+ \infty$	$N ⩾ 2$
		$r > k$	$r < j$	$+ \infty$	+		$- \infty$	$N ⩾ 1$
		$r > k$	$r ⩾ j$	$+ \infty$	+		$+ \infty$	$N ⩾ 0$

Dans les colonnes 0 et 1 , on a noté + pour

φ_r(t) > λ^*

, - pour

φ_r(t) < λ^*

et rien si l'on ne connaît pas la position de

φ_r(t)

par rapport à

λ^*

. La dernière colonne donne le minorant demandé.
29) a) Le nombre de racines est minoré par le nombre de couples (

r, t

) tels que

φ_r(t) = λ^*

d'après IV-19a). On doit donc calculer card

{r

N ⩾ 1} + 2card{rtqN ⩾ 2} + 3card{rtqN ⩾ 3}

. En écrivant les seize cas du tableau précédent sous forme d'intersections d'intervalles et en regroupant les intersections ayant des facteurs en commun, il vient:

nb. racines ⩾, card([ [1, d + 1 - j] ] \cap [ [1, i - 1] ] \cap [ [j, d] ]); +, card([ [1, d + 1 - j] ] \cap [ [i, d] ] \cap [ [k + 1, d] ] \cap [ [j, d] ]); +, card([ [d + 2 - j, d] ] \cap [ [1, j - 1] ]); +, 2card([ [1, d + 1 - j] ] \cap [ [i, d] ] \cap [ [1, j - 1] ]); +, 2card([ [ d + 2 - j, d] ] \cap [ [1, k] ] \cap [ [j, d] ]); +, 3card([ [1, d + 1 - j] ] \cap [ [i, d] ] \cap [ [1, k] ] \cap [ [j, d] ]).

On divise le 3 en

1 + 2

et on regroupe... cela donne le minorant de l'énoncé.
b) On a

k = i + j - 1 ⩽ d

donc

j ⩽ i ⩽ d + 1 - j

. Ainsi le deuxième cardinal de la formule précédente est nul. Le troisième l'est aussi car

𝔧 ⩽ i

. Le quatrième se simplifie car

[ [𝔧, d] ] \supset [ [d + 2 - 𝔧, d] ]

.
30) On utilise

card([ [a, b] ] = b - a + 1

pour

a ⩽ b

et on distingue les cas

k ⩽ d + 1 - j, k ⩾ d + 2 - j

.
31) Le nombre de racines ne peut dépasser d. La situation envisagée est donc impossible, d'où

λ_ℓ(x + y) ⩾ λ_k(x + y) ⩾ λ_i(x) + λ_j(y)

en supposant

j ⩽ i

. Lorsque

j > i

, on peut permuter

x

y

.
32) Je ne sais pas.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths D ENS MP 2013 (polynômes hyperboliques) ?

Il porte sur les polynômes homogènes à plusieurs variables, les formes multilinéaires symétriques, la réduction des matrices symétriques, la convexité et des arguments d'analyse complexe autour des racines de polynômes.

Les parties du sujet ENS maths D MP 2013 sont-elles indépendantes ?

Les parties s'enchaînent de façon cumulative : la théorie des polynômes hyperboliques construite dans le préambule et les parties I à IV est réutilisée pour démontrer les inégalités de Gårding, la concavité et les inégalités de Weyl dans les parties V à VII.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser la réduction des matrices symétriques réelles, les polynômes à plusieurs variables, les notions de continuité et de convexité, ainsi que des bases d'analyse complexe sur les racines de polynômes.

Ce sujet généralise-t-il la notion de valeurs propres d'une matrice symétrique ?

Oui, les polynômes hyperboliques généralisent le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique : leurs racines ordonnées jouent le rôle de valeurs propres généralisées, ce qui permet d'étendre au cadre abstrait des inégalités classiques comme celles de Weyl.

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École Normale Supérieure

Composition de Mathématiques D - (U)

Polynômes hyperboliques

Préambule

I Exemples

II Continuité des racines

III Le cône du futur

IV Le cas général

V L'inégalité de Gårding sur le cône C(p, a)

VI Concavité de p^(1/d) sur le cône C(p, a)

VII Inégalités de Weyl

Corrigé

Préambule

I Exemples

II Continuité des racines

III Le cône du futur

IV Le cas général

V L'inégalité de Gårding sur le cône C(p, a)

VI Concavité de p^(1/d) sur le cône C(p, a)

VII Inégalités de Weyl

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths D ENS MP 2013 (polynômes hyperboliques) ?

Les parties du sujet ENS maths D MP 2013 sont-elles indépendantes ?

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Ce sujet généralise-t-il la notion de valeurs propres d'une matrice symétrique ?

Commentaires• ENS Mathématiques D MP 2013

Commentaires• ENS Mathématiques D MP 2013

V L'inégalité de Gårding sur le cône $C(p, a)$

VI Concavité de $p^(1/d)$ sur le cône $C(p, a)$

V L'inégalité de Gårding sur le cône $C(p, a)$

VI Concavité de $p^(1/d)$ sur le cône $C(p, a)$