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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES D - (U)

(Durée : 6 heures)

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Notations

On note

ℕ

l'ensemble des entiers naturels et

ℂ

le corps des nombres complexes. Le cardinal d'un ensemble fini

E

est noté

|E|

. Si

i, j \in ℕ

, on note

δ_(i, j)

le symbole de Kronecker défini par

δ_(i, j) = 0

i \neq j

δ_(i, j) = 1

i = j

G

désigne un groupe, on note

[x, y] = xyx^(- 1)y^(- 1)

le commutateur de

x, y \in G

. Si

X, Y

sont des sous-groupes de

G

, on note

[X, Y]

le sous-groupe de

G

formé des produits

[x_1, y_1]^(\pm 1)[x_2, y_2]^(\pm 1)\dots[x_s, y_s]^(\pm 1)

avec

s

entier naturel

\geq 1, x_1, x_2, \dots, x_s \in X

y_1, y_2, \dots, y_s \in Y

Une

ℂ

-algèbre

𝒜

est un

ℂ

-espace vectoriel muni d'une loi de multiplication associative

𝒜 \times 𝒜 \to 𝒜, (a_1, a_2) \mapsto a_1 a_2

, qui est C-bilinéaire, c'est-à-dire satisfaisant

(α_1 a_1 + α_2 a_2)(α_3 a_3 + α_4 a_4) = α_1 α_3 a_1 a_3 + α_1 α_4 a_1 a_4 + α_2 α_3 a_2 a_3 + α_2 α_4 a_2 a_4

pour tous

a_1, a_2, a_3, a_4 \in 𝒜

α_1, α_2, α_3, α_4 \in ℂ

. On dit que

𝒜

est avec unité s'il existe un élément (nécessairement unique)

1_𝒜

satisfaisant

a = 1_𝒜 a = a1_𝒜

pour tout

a \in 𝒜

. Si

𝒜

est à unité, un élément

a \in 𝒜

est inversible s'il existe un élément

a^'

(nécessairement unique) tel que

aa^' = a^' a = 1_𝒜

; on note

𝒜^\times

le groupe des éléments inversibles de

𝒜

où la multiplication est celle induite par

𝒜

𝒜

ℬ

sont des

ℂ

-algèbres avec unité, un homomorphisme

φ : 𝒜 \to ℬ

est une application

ℂ

-linéaire satisfaisant

φ(1_𝒜) = 1_ℬ, φ(x + y) = φ(x) + φ(y)

φ(xy) = φ(x)φ(y)

pour tous

x, y \in 𝒜

. Enfin, on note

Aut(𝒜)

le groupe des automorphismes de la

ℂ

-algèbre

𝒜

, c'est-à-dire le groupe des homomorphismes bijectifs de

𝒜

dans

𝒜

𝒜^'

est une

ℂ

-sous-algèbre avec unité de

𝒜

, on note

Aut(𝒜, 𝒜^')

le sous-groupe de

Aut(𝒜)

formé des automorphismes

φ : 𝒜 \to 𝒜

satisfaisant

φ(𝒜^') = 𝒜^'

Étant donné un entier

n \geq 1

, on note

ℳ_n(ℂ)

l'algèbre des matrices carrées de taille

n

à coefficients dans

ℂ

, et

(E_(i, j))_(i, j = 1, \dots, n)

sa base canonique définie par

E_(k, l) = (δ_(i, k)δ_(j, l))_(i, j = 1, \dots, n)

pour tous

k, l = 1, \dots, n

. On note

I_n = E_(1, 1) + E_(2, 2) + \dots + E_(n, n)

l'unité de

ℳ_n(ℂ)

λ_1, \dots, λ_n \in ℂ

, on note

diag(λ_1, \dots, λ_n)

la matrice diagonale d'entrées

λ_1\dots, λ_n

, c'est-à-dire

diag(λ_1, \dots, λ_n) = λ_1 E_(1, 1) + \dots + λ_n E_(n, n)

A

est un élément de

ℳ_n(ℂ)

, on note

C(A) = {X ∈ ℳ_n(ℂ)|XA = AX}

le commutant de

A

, c'est une sous-algèbre avec unité de

ℳ_n(ℂ)

.
On note

GL_n(ℂ)

le groupe des matrices inversibles de

ℳ_n(ℂ)

.
Si

F

désigne un ensemble fini, on rappelle qu'une partition de

F

est un ensemble fini

P = {P_1, P_2, ⋯, P_s}

de parties de

F

satisfaisant :
(a)

P_i \neq \emptyset

pour tout

i = 1, \dots, s

;
(b)

F = ⋃_(i = 1, \dots, s)P_i

;
(c)

P_i \cap P_j = \emptyset

pour tous

i, j = 1, \dots, s

tels que

i \neq j

On dit qu'une partition

{Q_1, …, Q_t}

F

est plus fine qu'une partition

{P_1, …, P_s}

F

et on note

P \leq Q

si pour tout

i = 1, \dots, s

, on a

P_i = ⋃_(j \in J_i)Q_j

où

J_i

désigne l'ensemble des entiers

j

[1, t]

satisfaisant

P_i \cap Q_j \neq \emptyset

.
Les parties IV, V et VI sont indépendantes de la partie III (en particulier la question III.3) ; les questions VI. 1 et VI. 2 sont indépendantes de V.

I

Soit

n \geq 1

un entier. On note

𝒫_n

l'ensemble des partitions de

Ω_n = {1, …, n} ⊂ ℕ

. On note

P_+

la partition

{{1}, {2}, \dots, {n}}

P_-

la partition

{Ω_n}

Montrer que $P_- \leq P \leq P_+$ pour tout $P \in 𝒫_n$ .
Soient $P, Q \in 𝒫_n$ avec les notations $P = {P_1, …, P_s}$ et $Q = {Q_1, …, Q_t}$ . Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) $P \leq Q$ ;
(ii) Pour tous $i = 1, \dots, s, j = 1, \dots, t, P_i \cap Q_j \neq \emptyset ⟹ Q_j \subset P_i$ .
Établir les faits suivants :
3.a. La relation $\leq$ est une relation d'ordre partiel sur $𝒫_n$ .
3.b. La relation $\leq$ est une relation d'ordre total si et seulement si $n \leq 2$ .
Si $P, Q \in 𝒫_n$ , montrer que le sous-ensemble suivant de $𝒫_n$

{E ∈ 𝒫_n| P ≤ E et Q ≤ E}

admet un plus petit élément.
On note

P \land Q

le plus petit élément de la question I.4.

II

Soit

n \geq 2

un entier.
On note

S_n

le groupe des permutations de l'ensemble

Ω_n = {1, …, n} ⊂ ℕ

. Etant donnés un entier

s \geq 2

et des éléments

m_1, \dots, m_s

Ω_n

distincts deux à deux, on note

c = (m_1, \dots, m_s) \in S_n

le cycle associé défini par

c(m_i) = m_(i + 1)

pour tout

i = 1, \dots, s - 1, c(m_s) = m_1

c(m) = m

pour tout

m ∈ Ω_n∖{m_1, ⋯, m_s}

. L'ensemble

{m_1, ⋯, m_s}

est appelé le support du cycle

c

s

sa longueur. Etant donnée une partition

P = {P_1, P_2…, P_s}

Ω_n

, on note

S_(n, P) = {σ ∈ S_n| σ(P_i) = P_i pour tout i = 1, …, s}.

Soit $P = {P_1, P_2…, P_s}$ une partition de $Ω_n$ .
1.a. Soient $a, b \in Ω_n$ deux éléments distincts. Montrer que la transposition ( $a, b$ ) appartient à $S_(n, P)$ si et seulement s'il existe un entier $i \in [1, s]$ tel que $a, b \in P_i$ .
1.b. Montrer que $S_(n, P)$ est un sous-groupe de $S_n$ et qu'il est isomorphe au groupe produit $S_(|P_1|) \times S_(|P_2|)\dots \times S_(|P_s|)$ .

Le groupe

S_(n, P)

est appelé le sous-groupe parabolique attaché à la partition

P

. On dit qu'un sous-groupe

G

S_n

est parabolique s'il existe

Q \in 𝒫_n

satisfaisant

G = S_(n, Q)

.
2. Soient

P, Q \in 𝒫_n

.
2.a. Montrer que

P \leq Q

si et seulement si

S_(n, Q) \subset S_(n, P)

.
2.b. Montrer que

P = Q

si et seulement si

S_(n, Q) = S_(n, P)

.
3. Soient

P, Q \in 𝒫_n

. Montrer que

S_(n, P \land Q) = S_(n, P) \cap S_(n, Q)

.
4. Montrer qu'une intersection non vide de sous-groupes paraboliques de

S_n

est un sousgroupe parabolique de

S_n

.
5. Soit

H

un sous-groupe de

S_n

.
5.a. Montrer que l'ensemble des sous-groupes paraboliques de

S_n

contenant

H

admet un unique élément minimal (pour l'inclusion). On le note

S_n(H)

.
5.b. On note

P(H)

l'unique partition de

Ω_n

satisfaisant

S_(n, P(H)) = S_n(H)

. Si

P(H) = {P_1, P_2, …, P_s}

, montrer que

H

agit transitivement sur chaque

P_i

, c'est-à-dire que pour chaque

i

et chaque

p \in P_i

, on a

{h(p)|h ∈ H} = P_i

.
5.c. On suppose que

H

est le sous-groupe de

S_n

engendré par un cycle

c

. Exprimer

P(H)

en termes du support de

c

.
6. Soit

σ \in S_n

. On note

H(σ)

le sous-groupe cyclique de

S_n

engendré par

σ

.
6.a. Montrer que

σ

est un cycle de longueur

n

si et seulement si

P(H(σ)) = P_-

.
6.b. Montrer que

σ

se décompose en un produit de cycles

c_1\dotsc_s

à supports disjoints deux à deux.
7. Si

σ \in S_n

, on note

f(σ) \in ℳ_n(ℂ)

la matrice

(δ_(i, σ(j)))_(i, j = 1, \dots, n)

.
7.a. Montrer que

f

définit un homomorphisme injectif de groupes

S_n \to GL_n(ℂ)

.
7.b. Montrer que le composé

ε : S_n \to ^f GL_n(ℂ)\to-^(det)ℂ^\times

est un homomorphisme de groupes et déterminer son image.
8. Soit

σ \in S_n

décomposé en cycles à supports disjoints

c_1 c_2\dotsc_s

de longueurs respectives

l_1, \dots, l_s

.
8.a. Montrer que le polynôme caractéristique de

f(σ)

est égal à

(T - 1)^(n - (l_1 + \dots + l_s))\prod_(i = 1, \dots, s)(T^(l_i) - 1)

et en déduire

ε(σ)

.
8.b. Calculer le polynôme minimal de

f(σ)

III

Soit

n \geq 2

un entier.
Un sous-groupe

H

d'un groupe

G

est dit maximal si

H ⊊ G

et si

H

G

sont les seuls sous-groupes de

G

contenant

H

Soit $G$ un groupe fini satisfaisant $|G| \geq 2$ . Soit $H ⊊ G$ un sous-groupe. Montrer que $H$ est inclus dans un sous-groupe maximal de $G$ .
Soit $P = {P_1, P_2, ⋯, P_s}$ une partition de $Ω_n$ satisfaisant $s \geq 2$ et $|P_1| \geq |P_2| \geq \dots \geq |P_s|$ . On suppose que $S_(n, P)$ est un sous-groupe maximal de $S_n$ .
(a) Montrer que $s = 2$ ;
(b) Si $n \geq 3$ , montrer que $2|P_1| \neq n$ .
Soit $k$ un entier satisfaisant $1 \leq k < n/2$ . On note $Q = {Q_1, Q_2}$ la partition de $Ω_n$ donnée par $Q_1 = {1, 2, …, n − k}$ et $Q_2 = {n − k + 1, n − k + 2, …, n}$ . Montrer que $S_(n, Q)$ est un sous-groupe maximal de $S_n$ [On pourra commencer par le cas $k = 1$ ].

IV

Soit

𝒜

une

ℂ

-algèbre avec unité. Etant donné

C \in 𝒜^\times

, on note

Int(C) : 𝒜 \to 𝒜

l'application

ℂ

-linéaire définie par

Int(C) \cdot X = CXC^(- 1)

pour tout

X \in 𝒜

Soit

n \geq 2

un entier.

Montrer que Int définit un homomorphisme de groupes $𝒜^\times \to Aut(𝒜)$ et décrire son noyau. Discuter le cas de $ℳ_n(ℂ)$ .

Etant donnés

λ = (λ_1, \dots, λ_n) \in (ℂ^\times)^n

σ \in S_n

, on note

g(λ, σ) = diag(λ_1, \dots, λ_n)f(σ) \in GL_n(ℂ)

où

f(σ)

est défini en II.7. On définit le sous-ensemble

G_n

GL_n(ℂ)

par

G_n = {g(λ, σ)|λ ∈ (ℂ^×)^n, σ ∈ S_n}

Montrer les faits suivants:
2.a. La partie $G_n$ est un sous-groupe de $GL_n(ℂ)$ .
2.b. L'application $g : (ℂ^\times)^n \times S_n \to G_n$ (appliquant ( $λ, σ$ ) sur $g(λ, σ)$ ) est bijective.
2.c. L'application $w_n : G_n \to S_n$ définie par $g(λ, σ) \mapsto σ$ est un homomorphisme de groupes.
On pose $𝒟_n = ℂE_(1, 1) \oplus ℂE_(2, 2) \oplus \dots \oplus ℂE_(n, n) \subset ℳ_n(ℂ)$ .
3.a. Montrer que $𝒟_n$ est une sous $ℂ$ -algèbre avec unité de $ℳ_n(ℂ)$ .
3.b. Montrer que

{X ∈ 𝒟_n|X^2 = X et Tr(X) = 1} = {E_(1, 1), E_(2, 2), …, E_(n, n)}.

3.c. On considère le sous-groupe

Aut(ℳ_n(ℂ), 𝒟_n)

Aut(ℳ_n(ℂ))

défini dans les notations préliminaires. Montrer que

G_n = Int^(- 1)(Aut(ℳ_n(ℂ), 𝒟_n))

On pose $ω_n = e^((2iπ)/n) \in ℂ^\times, A = diag(ω_n, ω_n^2, \dots, ω_n^(n - 1), 1), B = f((1, 2\dots, n))$ .
4.a. Montrer que $A^n = I_n, B^n = I_n$ et $AB = ω_n BA$ .
4.b. Montrer que

ℂ ⋅ I_n = {X ∈ ℳ_n(ℂ)|AX = XA et BX = XB}.

Soient $X, Y \in ℳ_n(ℂ)$ satisfaisant $X^n = I_n, Y^n = I_n, XY = ω_n YX$ . Montrer qu'il existe $C \in GL_n(ℂ)$ tel que $A = Int(C).X$ et $B = Int(C).Y$ .
Montrer que le morphisme de groupes Int : $GL_n(ℂ) \to Aut(ℳ_n(ℂ))$ est surjectif.

V

Soient

n, r

des entiers

\geq 1

. On considère la

ℂ

-algèbre produit

𝒜_(n, r) = ℳ_n(ℂ)^r = ℳ_n(ℂ) \times \dots \times ℳ_n(ℂ)

(

r

fois). Pour tout

σ \in S_r

, on définit

h_(n, r)(σ) : 𝒜_(n, r) \to 𝒜_(n, r)

h_(n, r)(σ) \cdot (X_1, \dots, X_r) = (X_(σ^(- 1)(1)), \dots, X_(σ^(- 1)(r)))

pour tous

X_1, \dots, X_r \in ℳ_n(ℂ)

Établir les faits suivants :
1.a. Pour tout $σ \in S_r, h_(n, r)(σ)$ est un automorphisme de la $ℂ$ -algèbre $𝒜_(n, r)$ .
1.b. L'application $h_(n, r) : S_r \to Aut(𝒜_(n, r))$ est un morphisme de groupes.
On suppose dans cette question que $n = 1$ . Pour $j = 1, \dots, r$ , on note $F_j = (δ_(k, j))_(k = 1, .., r) \in ℂ^r$ .
2.a. Montrer que

{X ∈ ℂ^r|X^2 = X} = {∑_(i = 1, …, r)a_i F_i|a_i = 0, 1 pour tout j = 1, …, r}.

2.b. Soit

ψ \in Aut(ℂ^r)

. Montrer qu'il existe une unique permutation

σ \in S_r

telle que

ψ(F_j) = F_(σ(j))

pour tout

j = 1, \dots, r

.
2.c. En déduire que l'application

h_(1, r) : S_r \to Aut(ℂ^r)

est un isomorphisme de groupes.
3. On voit maintenant

ℂ^r = (α_j)_(j = 1, \dots, r)

comme la sous-algèbre de

𝒜_(n, r) = ℳ_n(ℂ)^r

consistant en les

r

-uplets

(α_1 I_n, \dots, α_r I_n)

.
3.a. Montrer que

GL_n(ℂ)^r = 𝒜_(n, r)^\times

.
3.b. Soit

ψ \in Aut(𝒜_(n, r))

. Montrer qu'il existe une unique permutation

σ \in S_r

telle que

ψ(F_j) = F_(σ(j))

pour tout

j = 1, \dots, r

.
3.c. Montrer que l'application

ξ : GL_n(ℂ)^r \times S_r \to Aut(𝒜_(n, r)), (C, σ) \mapsto ξ(C, σ) = Int(C) \circ h_(n, r)(σ)

est surjective [On pourra utiliser les sous-espaces

𝒜_(n, r)F_j

𝒜_(n, r)

pour

j = 1, \dots, r]

.
4. On suppose

r \geq 2

et soit

C = (C_1, \dots, C_r) \in 𝒜_(n, r)^\times

. On considère l'automorphisme

u_C = ξ(C, (1, \dots, r))

de la

ℂ

-algèbre

𝒜_(n, r)

.
4.a. Expliciter

u_C^r = u_C \circ u_C \circ \dots \circ u_C(r

fois

)

et construire un isomorphisme de

ℂ

algèbres entre le commutant (défini dans les préliminaires) du produit

C_r C_(r - 1)\dotsC_1

dans

ℳ_n(ℂ)

et le centralisateur

C_(𝒜_(n, r))(u_C) = {Y ∈ 𝒜_(n, r)|u_C(Y) = Y}.

4.b. Si

u_C

est d'ordre fini (c'est-à-dire s'il existe un entier

m \geq 1

satisfaisant

u_C^m = 1

), montrer qu'il existe

T \in 𝒜_(n, r)^\times

tel que

Int(T) \circ u_C \circ Int(T)^(- 1) = u_(C^')

où

C^' \in 𝒜_(n, r)^\times

est de la forme

C^' = (I_n, \dots, I_n, D)

avec

D \in 𝒟_n

.
4.c. Soit

ψ \in Aut(𝒜_(n, r))

satisfaisant

u_(C^') \circ ψ = ψ \circ u_(C^')

. Montrer que

ψ

se décompose de la façon suivante

ψ = u_(C^')^m \circ Int(M, \dots, M)

où

m

est un entier et

M \in ℳ_n(ℂ)

satisfait

MD = DM

.
Notation. Soient

n_1, n_2, \dots, n_s

r_1, r_2, \dots, r_s

des entiers

\geq 1

satisfaisant

n_1 < n_2 < \dots < n_s

. On considère la

ℂ

-algèbre produit

𝒜 = 𝒜_(n_1, r_1) \times 𝒜_(n_2, r_2) \times \dots \times 𝒜_(n_s, r_s).

On considère le morphisme de groupes

ρ : Aut(𝒜_(n_1, r_1)) \times Aut(𝒜_(n_2, r_2)) \times \dots \times Aut(𝒜_(n_s, r_s)) \to Aut(𝒜), φ = (φ_1, \dots, φ_s) \mapsto ρ(φ)

où

ρ(φ)(Y_1, \dots, Y_s) = (φ_1(Y_1), \dots, φ_s(Y_s))

pour tout

(Y_1, \dots, Y_s) \in 𝒜

.
5. Montrer que

ρ

est surjectif.
6. Soit

G

un sous-groupe abélien fini de

Aut(𝒜)

. Montrer qu'il existe

T \in 𝒜^\times

tel que

Int(T)GInt(T)^(- 1) \subset Aut(𝒜, 𝒟)

où

𝒟 = 𝒟_(n_1)^(r_1) \times 𝒟_(n_2)^(r_2) \times \dots \times 𝒟_(n_s)^(r_s)

désigne la sous-algèbre des matrices diagonales de

𝒜

. [On pourra raisonner par récurrence sur la dimension de

𝒜

en commençant par le cas où

G

contient un automorphisme intérieur (c'est-à-dire de la forme

Int(T)

) non trivial].
7. Soient

n \geq 1

un entier et

H

un sous-groupe fini de

GL_n(ℂ)

satisfaisant

[H, H] \subset ℂ^\times

. Montrer qu'il existe

C \in GL_n(ℂ)

satisfaisant

CHC^(- 1) \subset G_n

VI

Soit

n

un entier,

n \geq 2

. On considère le sous-groupe

G_n \subset GL_n(ℂ)

et le morphisme

w_n : G_n \to S_n

de la partie IV. On note

H_n

le sous-groupe de

GL_n(ℂ)

engendré par les matrices

A

B

de IV.4.

Montrer que $H_n$ est un sous-groupe fini de $G_n$ et que $|H_n| = n^3$ .

On dit qu'un sous-groupe fini

H

GL_n(ℂ)

est anisotrope s'il n'existe aucune décomposition

ℂ^n = V \oplus W

en sous-espaces vectoriels

V \neq 0, W \neq 0

stables par

H

, c'est-à-dire satisfaisant

h(V) \subset V

h(W) \subset W

pour tout

h \in H

.
2. Montrer que

H_n

est un sous-groupe anisotrope de

GL_n(ℂ)

.
3. Soit

H

un sous-groupe fini de

GL_n(ℂ)

satisfaisant

[H, H] \subset ℂ^\times

. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) Le groupe

H

est un sous-groupe anisotrope de

GL_n(ℂ)

;
ii) Pour tout

C \in GL_n(ℂ)

satisfaisant

CHC^(- 1) \subset G_n

, la partition de

Ω_n

attachée en II. 5 au sous-groupe

w_n(CHC^(- 1))

S_n

est la partition minimale

P_-

On suppose désormais que

n = p

est un nombre premier.
4. Soit

H

un sous-groupe fini de

G_p

satisfaisant

[H, H] \subset ℂ^\times

. On suppose que

H

est un sous-groupe anisotrope de

GL_p(ℂ)

.
4.a. Montrer que

w_p(H)

est un sous-groupe cyclique d'ordre

p

S_p

.
4.b. Montrer qu'il existe

C \in G_p

tel que

Int(CH_p C^(- 1)) = Int(H)

.
5. Conclure que si

H

un sous-groupe fini anisotrope de

GL_p(ℂ)

satisfaisant

[H, H] \subset ℂ^\times

, alors il existe

C \in GL_p(ℂ)

tel que

Int(CH_p C^(- 1)) = Int(H)

FIN

Ce sujet porte sur le groupe symétrique

S_n

et sur le groupe des matrices monomiales

G_n

. Dans la partie

V

, on a établi qu'un sous-groupe fini presque commutatif de

GL_n(ℂ)

est conjugué à un sous-groupe de

G_n

, il s'agit d'un cas particulier d'un théorème de Borel-Mostow sur les algèbres de Lie semi-simples. Dans la partie VI, on classifie les sous-groupes d'Heisenberg de

GL_p(ℂ)

pour

p

premier.

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