CCINP Mathématiques 1 MP 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

I.1. On note D = {(x, y) ∈ ℝ^2, x^2 + y^2 ≤ 1}, calculer l'intégrale double ∬_D 1/(1 + x^2 + y^2) dx dy.

a et b étant deux fonctions continues sur ℝ, on note l'équation différentielle

On note S^+l'espace vectoriel des solutions de ( E ) sur l'intervalle I = ]0, + ∞[ et S^−l'espace vectoriel des solutions de ( E ) sur l'intervalle J = ] − ∞, 0 [ .
L'objectif de cet exercice est d'étudier la dimension de l'espace vectoriel S des fonctions y de classe C^2 sur ℝ vérifiant ( E ) sur ℝ tout entier.
II.1. Donner la dimension des espaces vectoriels S^+et S^−.
II.2. On note φ l'application linéaire de S vers S^+ × S^−définie par φ(f) = (f_I, f_J) où f_I désigne la restriction de la fonction f à l'intervalle I et f_J désigne la restriction de la fonction f à l'intervalle J.
Donner le noyau de l'application φ et en déduire que dimS ≤ 4.
II.3. Dans cette question, on considère a(x) = x et b(x) = 0, d'où

Déterminer S^+et S^−.
Déterminer ensuite S et donner sans détails la dimension de S.
II.4. Dans cette question (E) : x^2 y^(′′) − 6xy^′ + 12y = 0.

Déterminer deux solutions sur I de cette équation de la forme x ⟼ x^α ( α réel).
En déduire S^+puis S^−.
Déterminer S et donner la dimension de S.
II.5. Donner un exemple d'équation différentielle du type (E) : x^2 y^(′′) + a(x)y^′ + b(x)y = 0 tel que dimS = 0 (on détaillera).
On pourra, par exemple, s'inspirer de la question précédente.

III.1. On considère une suite de réels ( a_n ), une suite de complexes ( b_n ) et on note pour tout entier naturel n : S_n = ∑_(k = 0)^n a_k b_k et B_n = ∑_(k = 0)^n b_k.
En remarquant que, pour k ≥ 1, b_k = B_k − B_(k − 1), démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,
S_n = ∑_(k = 0)^(n − 1)(a_k − a_(k + 1))B_k + a_n B_n (transformation d'Abel).
III.2. On suppose que la suite ( B_n ) est bornée et que la suite ( a_n ) est décroissante de limite nulle.
III.2.a Démontrer que la série ∑_(k ≥ 0)(a_k − a_(k + 1)) converge.
III.2.b En déduire que la série ∑_(n ≥ 0)a_n b_n converge.
III.2.c En appliquant le résultat précédent au cas où b_n = (− 1)^n, donner une démonstration du théorème des séries alternées, après l'avoir énoncé.
III.3 Exemple.

Dans cette question, θ est un réel différent de 2kπ(k ∈ ℤ) et α ∈ ℝ.
III.3.a Calculer pour n entier naturel non nul, ∑_(k = 1)^n e^(ikθ).
III.3.b Discuter en fonction du réel α la nature de la série ∑_(n ≥ 1)(e^(inθ))/(n^α).
III.4. Soit la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)u_n où pour x réel et n entier naturel non nul, u_n(x) = (sin(nx))/(√n).

Démontrer que cette série de fonctions converge simplement en tout point de ℝ.
On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'une série de complexes ∑u_n converge si et seulement si, les deux séries ayant pour termes généraux les parties réelles et parties imaginaires (c'est-à-dire ∑Re(u_n) et ∑Im(u_n) ) convergent.

On notera U sa fonction somme : pour tout réel x, U(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin(nx))/(√n).

III.5. On considère une suite de réels (a_n) et (f_n) une suite de fonctions définies sur une partie A de ℂ et à valeurs dans ℂ.
On pose, pour tout z ∈ A et pour tout entier naturel n, F_n(z) = ∑_(k = 0)^n f_k(z).
On suppose que la suite ( a_n ) est décroissante de limite nulle et qu'il existe M ∈ ℝ^+, tel que pour tout z ∈ A et tout n ∈ ℕ, |F_n(z)| ≤ M (on dit que la suite (F_n) est uniformément bornée).
III.5.a Démontrer que la suite (a_n F_n) converge uniformément sur A et que la série de fonctions ∑_(k ≥ 0)(a_k − a_(k + 1))F_k converge normalement sur A.
III.5.b A l'aide d'une transformation d'Abel, en déduire que la série de fonctions ∑a_n f_n converge uniformément sur A.

Pour x réel et n entier naturel non nul, u_n(x) = (sin(nx))/(√n).
III.6.a Démontrer que pour x ∈ ℝ, 1 − e^(ix) = − 2isin(x/2)e^(ix/2).

Démontrer que la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)u_n converge uniformément sur tout intervalle [a, 2π − a] où a ∈ ]0, π[.
En déduire que la fonction U est continue sur l'intervalle ]0, 2π[.
III.6.b Pour p entier naturel, on considère la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)v_n où pour x réel et n entier naturel non nul, v_n(x) = (sin(nx)sin(px))/(√n).
Démontrer que, pour tout entier naturel p, la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)v_n converge uniformément sur l'intervalle [0, π].
On pourra, par exemple, utiliser sans démonstration, que :

III.6.c On se propose dans cette question de démontrer que la fonction U n'est pas continue par morceaux sur ℝ.
Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que la fonction U est continue par morceaux sur ℝ.
i. Déterminer alors les coefficients de Fourier de la fonction U.

On pourra utiliser pour p et n entiers naturels non nuls :

ii. En utilisant la formule de Parseval, aboutir à une contradiction.

III.7. Si ∑_(n ≥ 0)a_n z^n est une série entière de la variable complexe de rayon R > 0, rappeler le résultat du cours concernant la convergence uniforme de cette série.
III.8. On considère la série entière de la variable complexe ∑_(n ≥ 1)(z^n)/(√n) de rayon 1 .
III.8.a On note D = {z ∈ ℂ, |z| < 1}.

Démontrer que la série entière de la variable réelle ∑_(n ≥ 1)(x^n)/(√n) ne converge pas uniformément sur ] − 1, 1[ (en particulier la série ∑_(n ≥ 1)(z^n)/(√n) ne converge pas uniformément sur D).
III.8.b On pourra confondre un point de ℝ^2 et son affixe.

Pour α ∈ ]0, π/2[, on note D_α l'ensemble des complexes z, tels que |z| ≤ 1 et dont la partie réelle vérifie Re(z) ≤ cosα.
Représenter géométriquement l'ensemble D_α dans un repère orthonormé du plan.
III.8.c Démontrer que D_α est une partie fermée de ℂ.

On pourra écrire :

et démontrer que D_α est une partie fermée de ℝ^2.
En déduire que D_α est une partie compacte de ℂ.
III.8.d On note pour z ∈ ℂ et n entier naturel, F_n(z) = ∑_(k = 0)^n z^k.

Démontrer que pour tout z ∈ D_α et tout entier naturel n, si x = Re(z) :

III.8.e Démontrer que la série entière ∑_(n ≥ 1)(z^n)/(√n) converge uniformément sur tous les compacts