CCINP Mathématiques 2 MP 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

Soit les suites réelles (u_n), (v_n) et (w_n) définies par :

I.1.a Justifier sans calcul que la matrice A = (1, 3, 0; 3, 1, 4; 0, 4, 1) ∈ M_3(ℝ) est diagonalisable.
I.1.b Diagonaliser la matrice A ∈ M_3(ℝ).
I.1.c Déterminer la matrice A^n pour tout n ∈ ℕ. On pourra utiliser la calculatrice.
I.2. Expliciter les termes u_n, v_n et w_n en fonction de n.

Soit n un entier supérieur à 2 et E un espace vectoriel sur ℝ de dimension n. On appelle projecteur de E, tout endomorphisme p de E vérifiant p ∘ p = p.
II.1. Soit p un projecteur de E.
II.1.a Démontrer que les sous-espaces vectoriels Ker(p) et Im(p) sont supplémentaires dans E.
II.1.b En déduire que la trace de p (notée Tr(p) ) est égale au rang de p (noté rg(p) ).
II.1.c Un endomorphisme u de E vérifiant Tr(u) = rg(u) est-il nécessairement un projecteur de E ?
II.2. Donner un exemple de deux matrices A et B de M_3(ℝ) de rang 1 telles que A soit diagonalisable et B ne soit pas diagonalisable. Justifier la réponse.
II.3. Soit u un endomorphisme de E de rang 1 .
II.3.a Démontrer qu'il existe une base β = (e_1, ⋯, e_n) de E telle que la matrice Mat_β(u) de u dans β soit de la forme :

II.3.b Démontrer que u est diagonalisable si, et seulement si, la trace de u est non nulle.
II.3.c On suppose que Tr(u) = rg(u) = 1. Démontrer que u est un projecteur.
II.3.d Soit la matrice A = (1, 1, − 1; 1, 1, − 1; 1, 1, − 1) ∈ M_3(ℝ). Démontrer que A est la matrice d'un projecteur de ℝ^3 dont on déterminera l'image et le noyau.

Soit n un entier supérieur à 1 . On désigne par diag (α_1, ⋯, α_n) la matrice diagonale de M_n(ℝ) dont les coefficients diagonaux sont les réels α_1, ⋯, α_n dans cet ordre. Si M ∈ M_n(ℝ), on note ^t M sa transposée.
On munit l'espace vectoriel E = ℝ^n du produit scalaire canonique noté ⟨|⟩ et de la norme euclidienne ‖ ‖ associée. On note S(E) le sous-espace des endomorphismes symétriques de E, c'est-à-dire l'ensemble des endomorphismes s de E vérifiant :

Un endomorphisme symétrique s de E est dit symétrique positif (respectivement symétrique défini positif) si :

Une matrice symétrique S de M_n(ℝ) est dite symétrique positive (respectivement symétrique définie positive) si :

On note S_n^+(ℝ) (respectivement S_n^(+ +)(ℝ) ) l'ensemble des matrices symétriques positives (respectivement symétriques définies positives) de M_n(ℝ).

On rappelle qu'un endomorphisme s de E est symétrique (respectivement symétrique positif, symétrique défini positif) si, et seulement si, sa matrice dans toute base orthonormée de E est symétrique (respectivement symétrique positive, symétrique définie positive).

On admet que, pour tous réels positifs a_1, ⋯, a_n,

On se donne une matrice S de S_n^+(ℝ) (ou S_n^(+ +)(ℝ) ) et on étudie le maximum (ou minimum) de la forme linéaire A ↦ Tr(AS) sur des ensembles de matrices.

III.1.a Enoncer (sans démonstration) le théorème de réduction des endomorphismes symétriques de l'espace euclidien E et sa version relative aux matrices symétriques réelles.
III.1.b Toute matrice symétrique à coefficients complexes est-elle nécessairement diagonalisable? On pourra par exemple considérer la matrice de M_2(ℂ) :

III.2. Soit s ∈ S(E), de valeurs propres (réelles) λ_1, ⋯, λ_n rangées dans l'ordre croissant :

Soit β = (ε_1, ⋯, ε_n) une base orthonormée de E telle que, pour tout i ∈ {1, ⋯, n}, ε_i est un vecteur propre associé à la valeur propre λ_i. Pour tout vecteur x de E, on pose :

III.2.a Exprimer R_s(x) à l'aide des λ_i et des coordonnées de x dans la base β.
III.2.b En déduire l'inclusion : R_s(S(0, 1)) ⊂ [λ_1, λ_n] où S(0, 1) désigne la sphère unité de E.

III.3.a On suppose dans cette question que s est symétrique positif (respectivement symétrique défini positif). Démontrer que les valeurs propres de s sont toutes positives (respectivement strictement positives).
III.3.b Soit S = (s_(i, j)) ∈ S_n^+(ℝ), de valeurs propres λ_1, ⋯, λ_n rangées dans l'ordre croissant :

On note s l'endomorphisme de E représenté par S dans la base canonique B = (e_1, ⋯, e_n). Exprimer le terme général s_(i, j) de S comme un produit scalaire et démontrer que :

On note I_n la matrice unité de M_n(ℝ) et O_n(ℝ) le groupe des matrices orthogonales de M_n(ℝ).
III.4. Démontrer que l'application M ↦ ^t MM − I_n est continue de M_n(ℝ) dans M_n(ℝ).
III.5. Justifier que, si A = (a_(i, j)) est une matrice orthogonale, alors :

III.6. En déduire que le groupe orthogonal O_n(ℝ) est une partie compacte de M_n(ℝ).
III.7. Soit S ∈ S_n^+(ℝ), de valeurs propres (positives) λ_1, ⋯, λ_n. On pose Δ = diag(λ_1, ⋯, λ_n). Si A est une matrice orthogonale, on note T(A) le nombre réel T(A) = Tr(AS).
III.7.a Soit A ∈ O_n(ℝ). Démontrer qu'il existe une matrice orthogonale B telle que :

III.7.b Démontrer que l'application T de O_n(ℝ) dans ℝ admet un maximum sur O_n(ℝ), que l'on notera t.
III.7.c Démontrer que, pour toute matrice orthogonale A de O_n(ℝ), T(A) ⩽ Tr(S), puis déterminer le réel t.

Soit S = (s_(i, j)) ∈ S_n^+(ℝ), de valeurs propres (réelles positives) λ_1, ⋯, λ_n rangées dans l'ordre croissant :

III.8. Démontrer l'inégalité valable pour tout S ∈ S_n^+(ℝ) :

III.9. Soit α = (α_1, ⋯, α_n) ∈ ℝ^n, D = diag(α_1, ⋯, α_n) et S_α = ^t DSD. Démontrer que S_α ∈ S_n^+(ℝ) et calculer Tr(S_α).
III.10. Dans cette question, on suppose que les coefficients diagonaux s_(i, i) de S sont strictement positifs et, pour 1 ⩽ i ⩽ n, on pose α_i = 1/(√(s_(i, i))). En utilisant l'inégalité (*), démontrer que :

III.11. Pour tout réel ε > 0, on pose S_ε = S + εI_n. Démontrer que det(S_ε) ⩽ ∏_(i = 1)^n(s_(i, i) + ε), puis conclure que :

Soit S ∈ S_n^(+ +)(ℝ), de valeurs propres 0 < λ_1 ⩽ ⋯ ⩽ λ_n, et Δ = diag(λ_1, ⋯, λ_n). Soit Ω ∈ O_n(ℝ) telle que S = ΩΔ^t Ω. On désigne par U l'ensemble des matrices de S_n^(+ +)(ℝ) de déterminant égal à 1 .
III.12. Démontrer que, pour tout A ∈ U, la matrice B = ^t ΩAΩ est une matrice de U vérifiant :

III.13. Démontrer que {Tr(AS)∖A ∈ U} = {Tr(BΔ)∖B ∈ U}, puis que ces ensembles admettent une borne inférieure que l'on notera m.
III.14. Démontrer que, si B = (b_(i, j)) ∈ U :

III.15. En déduire que, pour B = (b_(i, j)) ∈ U, Tr(BΔ) ⩾ n(det(S))^(1/n).
III.16. Pour tout entier k tel que 1 ⩽ k ⩽ n, on pose μ_k = 1/(λ_k)(det(S))^(1/n) et D = diag(μ_1, ⋯, μ_n). Déterminer le réel m.