CCINP Mathématiques 2 MP 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE I. INFORMATIQUE

Les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code.

Voici, par exemple, un code Python attendu si l'on demande d'écrire une fonction nommée maxi qui calcule le plus grand élément d'un tableau d'entiers :

def maxi(t):
    """Données: t un tableau d'entiers non vide
        Résultat: le maximum des éléments de t"""
    n =len(t) # la longueur du tableau t
    maximum = t[0]
    for k in range(1,n):
        if t[k] > maximum:
            maximum = t[k]
    return maximum

L'instruction maxi (

[4, 5, 6, 2]

) renverra alors 6.
I.1. Donner la décomposition binaire (en base 2) de l'entier 21.

On considère la fonction mystere suivante:

def mystere(n, b):
    """Données: n > 0 un entier et b > 0 un entier
        Résultat: ......."""
    t = [] # tableau vide
    while n > 0:
        c = n % b
        t.append(c)
        n = n // b
    return t

On rappelle que la méthode append rajoute un élément en fin de liste. Si l'on choisit par exemple

t = [4, 5, 6]

, alors, après avoir exécuté

t

.append (12), la liste

t

a pour valeur

[4, 5, 6, 12]

Pour

k \in ℕ^*

, on note

c_k, t_k

n_k

les valeurs prises par les variables c , t et n à la sortie de la

k

-ème itération de la boucle "while".
I.2. Quelle valeur est renvoyée lorsque l'on exécute mystere

(256, 10)

On recopiera et complétera le tableau suivant, en ajoutant les éventuelles colonnes nécessaires pour tracer entièrement l'exécution.

$k$	1	2	$\dots$
$c_k$			$\dots$
$t_k$			$\dots$
$n_k$			$\dots$

I.3. Soit

n > 0

un entier. On exécute mystere (

n, 10

). On pose

n_0 = n

.
I.3.a. Justifier la terminaison de la boucle while.
I.3.b. On note

p

le nombre d'itérations lors de l'exécution de mystere(n, 10). Justifier que pour tout

k \in [ [0, p] ]

, on a

n_k \leq n/(10^k)

. En déduire, une majoration de

p

en fonction de

n

.
I.4. En s'aidant du script de la fonction mystere, écrire une fonction somme_chiffres qui prend en argument un entier naturel et renvoie la somme de ses chiffres. Par exemple, somme_chiffres (256) devra renvoyer 13.
I.5. Ecrire une version récursive de la fonction somme_chiffres, on la nommera somme_rec.

EXERCICE II. PROJECTION ORTHOGONALE

On considère

ℳ_2(ℝ)

l'espace vectoriel euclidien des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels muni du produit scalaire canonique défini pour

A

B

matrices de

ℳ_2(ℝ)

par:

(A|B) = trace(^t AB)

.
II.1. Si

A = (a, b; c, d)

A^' = (a^', b^'; c^', d^')

sont deux matrices de

ℳ_2(ℝ)

, que vaut le réel

(A|A^')

?
II.2. On note

𝒯

le sous-espace vectoriel formé des matrices triangulaires supérieures de

ℳ_2(ℝ)

. Donner, pour le produit scalaire canonique, une base orthonormée de

𝒯

et de son orthogonal

𝒯^⊥

.
II.3. Si

A = (1, 2; 3, 4)

, déterminer le projeté orthogonal de la matrice

A

sur

𝒯

, ainsi que la distance de la matrice

A

𝒯

PROBLEME III.

SURJECTIVITE DE L'APPLICATION EXPONENTIELLE DE $ℳ_n(ℂ)$ VERS GL $_n(ℝ)$

On note, pour

n

entier

n \geq 2, ℳ_n(ℂ)

l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients complexes.

On notera

1 \leq i, j \leq n

pour indiquer que :

1 \leq i \leq n

1 \leq j \leq n

Partie préliminaire

Une norme

‖

‖surl^' espacevectorielℳ_n(ℂ)

est une norme d'algèbre si elle vérifie la propriété :
pour tout couple de matrices

(A, B)

ℳ_n(ℂ), ‖AB‖ \leq ‖A‖‖B‖

.
III.1. On note pour

A = (a_(i, j))

élément de

ℳ_n(ℂ), ‖A‖_\infty = sup_(1 \leq i, j \leq n)|a_(i, j)|

‖A‖ = n‖A‖_\infty

L'application

‖

‖estunenormesurl^' espacevectorielℳ_n(ℂ)

. Démontrer que c'est une norme d'algèbre.

Dans la suite de cette partie préliminaire, on munit

ℳ_n(ℂ)

de cette norme d'algèbre.
III.2. Justifier simplement qu'une série de vecteurs de

ℳ_n(ℂ)

absolument convergente est convergente.
III.3. Si

M

est une matrice de

ℳ_n(ℂ)

, établir que la série de réels positifs

\sum‖1/(k!)M^k‖

converge et en déduire que la série de matrices

\sum1/(k!)M^k

converge.

M

est une matrice de

ℳ_n(ℂ)

, on notera

exp(M) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)1/(k!)M^k

, exponentielle de la matrice

M

Première partie

On pourra utiliser librement le résultat suivant:
si

T

est une matrice triangulaire de

ℳ_n(ℂ)

dont les éléments diagonaux sont

λ_1, λ_2, \dots, λ_n

, alors la matrice

exp(T)

est une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont

e^(λ_1), e^(λ_2), \dots, e^(λ_n)

.
III.4. Si

M

est une matrice de

ℳ_n(ℂ)

, rappeler pourquoi la matrice

M

est trigonalisable et déterminer une relation entre

det(exp(M))

e^(tr(M))

.
III.5. Soit la matrice

A = (3, 6, - 6; - 1, - 9, 11; 0, - 5, 7)

Donner le déterminant de la matrice

A

. En déduire qu'il n'existe aucune matrice

B

à coefficients réels vérifiant

B^2 = A

et qu'il n'existe aucune matrice

M

à coefficients réels vérifiant

exp(M) = A

Objectifs et exemple

Ce paragraphe ne comporte aucune question, il permet de se familiariser avec les objectifs du problème.

A

est une matrice carrée inversible à coefficients réels, nous allons démontrer dans ce problème :

que pour tout entier naturel non nul $p$ , il existe une matrice $B$ de $ℳ_n(ℂ)$ vérifiant $B^p = A$ ,
qu'il existe une matrice $M$ de $ℳ_n(ℂ)$ vérifiant $exp(M) = A$ .

On se limitera dans ce sujet aux matrices carrées de taille 3 .
Le problème a pour objectif de prouver l'existence de ces matrices et de les expliciter.
On commence par un exemple développé dont le candidat pourra s'inspirer notamment pour la troisième partie.

On utilise toujours la matrice

A = (3, 6, - 6; - 1, - 9, 11; 0, - 5, 7)

.
Le polynôme caractéristique de la matrice

A

est

χ_A = (X - 2)^2(X + 3)

.
On cherche le reste dans la division euclidienne du polynôme

X^n

par le polynôme

χ_A

de la forme

aX^2 + bX + c

où

a, b

c

vont dépendre de

n

Pour cela on remplace dans la relation

X^n = χ_A Q + aX^2 + bX + c, X

par -3 , puis par 2. Ensuite, on dérive cette expression et on remplace à nouveau

X

par 2 (

Q

est le quotient).

On obtient le système suivant

{9a − 3b + c = (− 3)^n; 4a + 2b + c = 2^n; 4a + b = n2^(n − 1)

admettant pour unique solution

{a = 1/(25)((− 3)^n − 2^n + 5n2^(n − 1)); b = 1/(25)(− 4.(− 3)^n + 4.2^n + 5n2^(n − 1)); c = 1/(25)(4.(− 3)^n + 21.2^n − 30n2^(n − 1))

.
On déduit du théorème de Cayley-Hamilton que pour tout entier naturel

n

A^n = aA^2 + bA + cI_3

= 1/5(- (- 3)^n + 6.2^n, - 6.(- 3)^n + 6.2^n, 6.(- 3)^n - 6.2^n; 2.(- 3)^n - 2.2^n + 5n2^(n - 1), 12.(- 3)^n - 7.2^n + 5n2^(n - 1), - 12.(- 3)^n + 12.2^n - 5n2^(n - 1); (- 3)^n - 2^n + 5n2^(n - 1), 6.(- 3)^n - 6.2^n + 5n2^(n - 1), - 6.(- 3)^n + 11.2^n - 5n2^(n - 1))

On pose alors, pour tout réel

t

, la matrice

γ(t) \in ℳ_3(ℂ)

γ(t) = 1/5(- 3^t e^(iπt) + 6.2^t, - 6.3^t e^(iπt) + 6.2^t, 6.3^t e^(iπt) - 6.2^t; 2.3^t e^(iπt) - 2.2^t + 5t2^(t - 1), 12.3^t e^(iπt) - 7.2^t + 5t2^(t - 1), - 12.3^t e^(iπt) + 12.2^t - 5t2^(t - 1); 3^t e^(iπt) - 2^t + 5t2^(t - 1), 6.3^t e^(iπt) - 6.2^t + 5t2^(t - 1), - 6.3^t e^(iπt) + 11.2^t - 5t2^(t - 1))

On a les résultats suivants :

$γ(- 1) = A^(- 1)$ ,
pour tout entier naturel $p$ non nul : $(γ(1/p))^p = A$ ,
$exp(γ^'(0)) = A$ .

Par exemple,

B = γ(1/2) = 1/5(- i\sqrt3 + 6\sqrt2, - 6i\sqrt3 + 6\sqrt2, 6i\sqrt3 - 6\sqrt2; 2i\sqrt3 - 2\sqrt2 + 5(\sqrt2)/4, 12i\sqrt3 - 7\sqrt2 + 5(\sqrt2)/4, - 12i\sqrt3 + 12\sqrt2 - 5(\sqrt2)/4; i\sqrt3 - \sqrt2 + 5(\sqrt2)/4, 6i\sqrt3 - 6\sqrt2 + 5(\sqrt2)/4, - 6i\sqrt3 + 11\sqrt2 - 5(\sqrt2)/4)

vérifie

B^2 = A

Deuxième partie

On notera

F

l'espace vectoriel sur le corps

ℂ

des applications de

ℝ

dans

ℂ

combinaisons linéaires d'applications du type

x ⟼ x^k ρ^x e^(iθx)

où

k \in {0, 1, 2}, ρ \in ]0, + \infty[

θ \in ]0, 2π]

.
(Rappel : pour

ρ \in ]0, + \infty[, ρ^x = e^(xlnρ)

III.6.

III.6.a. Déterminer un élément

f

F

vérifiant pour tout entier naturel

n, f(n) = α(- 3)^n + βn^2 2^n

, si

α

β

sont deux constantes complexes.
III.6.b. Si

f

est un élément de

F

et si

x_0

est un réel, expliquer pourquoi

x ⟼ f(x + x_0)

est encore un élément de

F

III.7.

III.7.a. Soit

θ

un réel. Démontrer que la suite de nombres complexes

(n^2(2/3)^n e^(iθn))

converge vers 0.
III.7.b. Soit

k_1 ∈ {0, 1, 2}, ρ_1 ∈ ]0, + ∞[, θ_1 ∈ ]0, 2π], k_2 ∈ {0, 1, 2}, ρ_2 ∈ ]0, + ∞[

θ_2 \in ]0, 2π]

θ_1 \neq θ_2

Démontrer que si

α

β

sont deux constantes complexes vérifiant, pour tout entier naturel

n

αn^(k_1)(ρ_1)^n e^(iθ_1 n) + βn^(k_2)(ρ_2)^n e^(iθ_2 n) = 0

, alors

α = β = 0

.
On pourra, par exemple, supposer

ρ_1 \leq ρ_2

et commencer par examiner les cas

ρ_1 < ρ_2

ρ_1 = ρ_2

.
III.7.c. On admet alors que si

f

est un élément de

F

vérifiant pour tout entier naturel

n, f(n) = 0

, alors

f

est l'application nulle.

Que peut-on dire de deux applications

f

g

F

vérifiant pour tout entier naturel

n, f(n) = g(n)

?
III.8. Dans la suite de cette partie,

A

est une matrice inversible de

ℳ_3(ℝ)

Expliquer pourquoi on peut trouver 9 applications

ω_(i, j)

éléments de

F

telles que, pour tout entier naturel

n, A^n = (ω_(i, j)(n))_(1 \leq i, j \leq 3)

.
Discuter en fonction du nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice

A

.
On ne demande pas de résoudre des systèmes, une explication de la méthode pourra suffire.
III.9. On pose pour tout réel

t

, la matrice

γ(t) = (ω_(i, j)(t))_(1 \leq i, j \leq 3) \in ℳ_3(ℂ)

.
III.9.a. Quelles sont les matrices

γ(0)

γ(1)

?
III.9.b. Justifier que, pour tout couple d'entiers naturels

(n, m)

, on a la relation:

γ(n + m) = γ(n)γ(m).

III.9.c. Pour

x

réel et

m

entier naturel, on pose

f(x) = ω_(i, j)(x + m)

g(x) = \sum_(k = 1)^3 ω_(i, k)(x)ω_(k, j)(m)

Démontrer que l'on a

f = g

et en déduire, pour tout entier naturel

m

, la relation

γ(x + m) = γ(x)γ(m)

.
III.9.d. En déduire que, pour tout couple

(x, y)

de réels,

γ(x + y) = γ(x)γ(y)

.
III.10. Démontrer que

γ(- 1) = A^(- 1)

et que, pour tout entier naturel

p

non nul,

(γ(1/p))^p = A

.
III.11. Justifier que l'application

γ

définie pour tout réel

t

par

γ(t) = (ω_(i, j)(t))_(1 \leq i, j \leq 3)

est dérivable sur

ℝ

et que la fonction

γ

est une solution de l'équation différentielle

é u^'(t) = γ^'(0)u(t) vérifiant u(0) = I_3

où la fonction inconnue

u

vérifie, pour tout réel

t, u(t) \in ℳ_3(ℂ)

.
Trouver la solution sur

ℝ

de l'équation différentielle

u^'(t) = γ^'(0)u(t)

vérifiant

u(0) = I_3

et en déduire que l'on a:

exp(γ^'(0)) = A

Troisième partie : exemple

Soit la matrice

A = (3, 0, 1; 1, - 1, - 2; - 1, 0, 1)

.
III.12. Donner le polynôme caractéristique de la matrice

A

La matrice

A

est-elle diagonalisable?
III.13. Déterminer, par la méthode développée dans ce problème, les éléments suivants :
III.13.a. La matrice

A^(- 1)

.
III.13.b. Une matrice

B

ℳ_3(ℂ)

vérifiant

B^2 = A

.
III.13.c. Une matrice

M

ℳ_3(ℂ)

vérifiant

exp(M) = A

Fin de l'énoncé

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EXERCICE I. INFORMATIQUE

EXERCICE II. PROJECTION ORTHOGONALE

PROBLEME III.

SURJECTIVITE DE L'APPLICATION EXPONENTIELLE DE ℳ_n(ℂ) VERS GL _n(ℝ)

Partie préliminaire

Première partie

Objectifs et exemple

Deuxième partie

III.6.

III.7.

Troisième partie : exemple

Fin de l'énoncé

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SURJECTIVITE DE L'APPLICATION EXPONENTIELLE DE $ℳ_n(ℂ)$ VERS GL $_n(ℝ)$