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CCINP Mathématiques 2 MP 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.

Exercice : points à coordonnées entières sur une hyperbole

On munit le plan d'un repère orthonormé. On considère la conique H d'équation cartésienne :
x^2 − 13y^2 = 1.
  1. Tracer l'allure de l'hyperbole H. On précisera les tangentes aux points d'ordonnée nulle ainsi que les branches infinies.
  2. Ecrire un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d'entiers naturels ( x, y ) vérifiant :
{x^2 − 13y^2 = 1; y ⩽ 200
  1. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d'entiers naturels ( x, y ) solutions du système (I). On ne demande pas d'écrire le programme sur la copie.

Problème : matrices «toutes-puissantes»

Notations et objectifs

Dans tout le texte, 𝕂 désigne le corps ℝ ou ℂ et p un entier naturel non nul.
On note M_p(𝕂) le 𝕂-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans 𝕂 et I_p la matrice unité de M_p(𝕂).
On pourra confondre M_1(𝕂) et 𝕂.
Une matrice N de M_p(𝕂) est dite nilpotente s'il existe un entier naturel r tel que N^r = 0.
Si M_1, …, M_k sont des matrices carrées, la matrice diag(M_1, …, M_k) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M_1, …, M_k.
Si E est un 𝕂-espace vectoriel, on note id_E l'application identité sur E.
Enfin, on note 𝕂[X] la 𝕂-algèbre des polynômes à coefficients dans 𝕂.
On dit qu'une matrice A de M_p(𝕂) est «toute-puissante sur 𝕂 » et on notera en abrégé TPK si, pour tout n ∈ ℕ^∗, il existe une matrice B de M_p(𝕂) telle que A = B^n.
On note T_p(𝕂) l'ensemble des matrices de M_p(𝕂) toutes-puissantes sur 𝕂 :
T_p(𝕂) = {A ∈ M_p(𝕂)| ∀n ∈ ℕ^∗∃B ∈ M_p(𝕂)A = B^n}.
L'objectif principal du sujet est d'établir le résultat suivant :
toute matrice inversible de M_p(ℂ) est TPC.
Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre-exemples.
Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice A est scindé, on peut ramener l'étude au cas des matrices de la forme λI_p + N avec N nilpotente.
Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c'est-à-dire de la forme I_p + N avec N nilpotente et on en déduit le théorème principal.
Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes. La partie III utilise les résultats des parties précédentes.

Partie I : quelques exemples

  1. Le cas de la taille 1
    (a) Démontrer que T_1(ℝ) = [0, + ∞[.
    (b) Soient n ∈ ℕ^∗ et b = re^(iθ) avec r > 0 et θ ∈ ℝ. Donner les racines n-ièmes du nombre complexe b, c'est-à-dire les solutions de l'équation z^n = b d'inconnue z ∈ ℂ.
    (c) En déduire T_1(ℂ).
  2. Une condition nécessaire...
    (a) Démontrer que si A ∈ T_p(𝕂), alors detA ∈ T_1(𝕂).
    (b) En déduire un exemple de matrice de M_2(ℝ) qui n'est pas TPR.
  3. ...mais pas suffisante
Soit A = (− 1, 0; 0, − 2). Démontrer qu'il n'existe aucune matrice B = (a, b; c, d) de M_2(ℝ) telle que A = B^2. En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n'est pas suffisante.
4. Un cas où A est diagonalisable
Soit A = (0, 3, 2; − 2, 5, 2; 2, − 3, 0).
(a) Démontrer que A est diagonalisable sur ℝ (le détail des calculs n'est pas demandé).
(b) Démontrer que la matrice A est TPR .
(c) Pour chacun des cas n = 2 et n = 3, expliciter une matrice B de M_3(ℝ) vérifiant B^n = A (on pourra utiliser la calculatrice).
5. Un exemple de nature géométrique
Soit A = (− 1, 0; 0, − 1).
(a) Justifier que A est la matrice d'une rotation vectorielle dont on précisera une mesure de l'angle.
(b) En déduire que A est TPR.
6. Le cas des matrices nilpotentes
Soit N une matrice nilpotente de M_p(𝕂).
(a) Déterminer le polynôme caractéristique de N, en déduire que N^p = 0.
(b) Démontrer que si N est TPK, alors N est la matrice nulle.

Partie II : le cas où le polynôme caractéristique est scindé

Dans toute cette partie, A désigne une matrice de M_p(𝕂) dont le polynôme caractéristique noté χ_A est scindé sur 𝕂, c'est-à-dire de la forme :
χ_A = (− 1)^p∏_(i = 1)^k(X − λ_i)^(r_i)
avec k, r_1, …, r_k des entiers de ℕ^∗ et λ_1, …, λ_k les valeurs propres de A, éléments de 𝕂.
On note B la base canonique de 𝕂^p et u l'endomorphisme de 𝕂^p dont A est la matrice dans la base B.
Enfin, pour i ∈ {1, …, k}, on note C_i = Ker(u − λ_i id_(𝕂^p))^(r_i) que l'on appelle sous-espace caractéristique de u associé à la valeur propre λ_i.
7. Démontrer que 𝕂^p = C_1 ⊕ ⋯ ⊕ C_k.
8. (a) Soit v un endomorphisme de 𝕂^p qui commute avec u et Q un polynôme à coefficients dans 𝕂. Démontrer que KerQ(u) est stable par v.
(b) En déduire que pour tout i ∈ {1, …, k}, le sous-espace caractéristique C_i est stable par u.
On note ainsi u_(C_i) l'endomorphisme induit par u sur C_i.
9. Soit i ∈ {1, …, k}. Justifier que l'application u_(C_i) − λ_i id_(C_i) est un endomorphisme de C_i nilpotent.
10. En déduire que la matrice A peut s'écrire sous la forme :
A = Pdiag(λ_1 I_(p_1) + N_1, …, λ_k I_(p_k) + N_k)P^(− 1)
avec P une matrice inversible de M_p(𝕂) et pour tout i ∈ {1, …, k}, p_i = dimC_i et N_i est une matrice nilpotente de M_(p_i)(𝕂).
On rappelle que diag(λ_1 I_(p_1) + N_1, …, λ_k I_(p_k) + N_k) désigne la matrice diagonale par blocs de premier bloc λ_1 I_(p_1) + N_1, de deuxième bloc λ_2 I_(p_2) + N_2 et de dernier bloc λ_k I_(p_k) + N_k.
11. Démontrer que, si pour tout i ∈ {1, …, k} la matrice λ_i I_(p_i) + N_i est TPK, alors A est elle-même TPK.

Partie III : le cas des matrices unipotentes

Soit N une matrice nilpotente de M_p(𝕂). Nous allons montrer que la matrice unipotente I_p + N est TPK.
On pourra confondre polynôme et fonction polynôme.
On rappelle que si f est une fonction, la notation f(x) = o(x^p) signifie qu'il existe une fonction ε tendant vers 0 en 0 telle que f(x) = x^p ε(x) au voisinage de 0 .
12. Une application des développements limités
(a) Soit V un polynôme de ℝ[X] tel que V(x) = o(x^p) au voisinage de 0 .
Démontrer, à l'aide d'une division euclidienne, qu'il existe un polynôme Q de ℝ[X] tel que V = X^p × Q.
(b) Soit n ∈ ℕ^∗. Démontrer l'existence d'un polynôme U de ℝ[X] tel que l'on ait, au voisinage de 0 :
1 + x = (U(x))^n + o(x^p)
(on pourra utiliser un développement limité de (1 + x)^α ).
(c) En déduire que, pour tout n ∈ ℕ^∗, il existe un polynôme Q de ℝ[X] tel que :
1 + X = U^n + X^p × Q
  1. Applications
    (a) Démontrer que la matrice unipotente I_p + N est TPK.
    (b) Soit λ ∈ 𝕂 non nul. En déduire que si λ est TPK, alors la matrice λI_p + N est TPK
  2. Le résultat annoncé
    (a) Conclure que toute matrice inversible de M_p(ℂ) est TPC.
    (b) Toute matrice de M_p(ℂ) est-elle TPC?
  3. Donner un exemple de matrice de M_4(ℝ) non diagonalisable et non inversible qui est TPR .

Fin de l'énoncé

Pas de description pour le moment