E3A Mathématiques 1 MP 2001Sujet et corrigé

Un polynôme de ℝ[X] est dit normalisé si le coefficient de son terme de plus haut degré est égal à 1. Si m est un entier naturel, ℝ_m[X] désigne le sous-espace vectoriel de ℝ[X] engendré par les monômes (X^k)_(0 ⩽ k ⩽ m).

Soit A un polynôme de ℝ[X] normalisé de degré 2 , A(X) = X^2 + pX + q, (p, q) ∈ ℝ^2 tel que A(x) > 0 pour tout réel x. L'entier naturel n étant fixé, on lui associe l'équation différentielle :

Pour P ∈ ℝ_(n + 1)[X], on pose u(P) = AP^(′′) − nA^′ P^′.
1^∘. (a) Montrer que l'on définit ainsi un endomorphisme u de ℝ_(n + 1)[X] dont on donnera la représentation matricielle dans la base des monômes (X^k)_(0 ⩽ k ⩽ n + 1). Préciser les éléments diagonaux que l'on notera (λ_0, λ_1, …, λ_(n + 1)) avec λ_0 > λ_1 > … > λ_n = λ_(n + 1).
(b) Démontrer que u est diagonalisable et donner la dimension de chacun des sousespaces propres de u.
(c) Démontrer que pour tout entier naturel k, 0 ⩽ k ⩽ n + 1, il existe un polynôme P_k, normalisé et de degré k, tel que u(P_k) = λ_k P_k. Discuter l'unicité de ces polynômes P_k.
(d) En déduire que toutes les solutions sur ℝ de l'équation ( E_n ) sont des fonctions polynômes.
2^∘. Soit I un intervalle ouvert non vide tel que P_n(x) soit différent de zéro pour tout x de I. On cherche à exprimer une fonction v, solution de l'équation (E_n), sous la forme v = zP_n
où z est une application définie sur I. Démontrer l'existence d'une telle fonction z de classe C^2 et que z^′ est solution d'une équation différentielle du premier ordre que l'on résoudra.
3^∘. Démontrer que la fraction rationnelle (A^n)/(P_n^2) est la dérivée d'une fraction rationnelle que l'on précisera.

Soit C l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, 2π-périodiques, paires, continues et de classe C^1 par morceaux sur ℝ.

À tout élément f de C, on associe l'équation différentielle :

1^∘. (a) Étudier existence et unicité d'une solution y_0 sur ℝ de (E) telle que y_0(0) = 0 et y_0^′(0) = 0.
(b) Exprimer la solution générale sur ℝ de (E) à l'aide de t, y_0, t ↦ ch t et t ↦ sht.
2^∘. (a) Vérifier que t ↦ y_0(− t) définit une solution sur ℝ de (E) et en déduire que y_0 est paire.
(b) Quelles sont les solutions y sur ℝ de (E) telles que y(π) = y(− π) ?
(c) Montrer que l'équation E admet une unique solution F telle que F^′(0) = F^′(π) = 0.
(d) En étudiant l'application t ↦ F(t − 2π) démontrer que F est l'unique solution 2π-périodique sur ℝ de (E) et que cette solution est paire.
3^∘. (a) Vérifier que, pour tout réel x, y_0(x) = ∫_0^x sh(x − t)f(t)dt et en déduire une expression de F. (On pourra utiliser les égalités sh(x − t) = shxcht − chxsht et ch(x − t) = chxcht − shxsht.
(b) Démontrer que, en posant F = T(f) l'on définit ainsi un endomorphisme continu T de l'espace vectoriel C muni de la norme N_∞ de la convergence uniforme.
4^∘. (a) Démontrer que f et F admettent des développements en série de Fourier de la forme

ces séries trigonométriques convergeant normalement sur ℝ.
(b) Exprimer les coefficients b_n en fonction des coefficients a_n.
5^∘. Dans cette question, on choisit f(x) = |sinx|.
(a) Déterminer la restriction de F à l'intervalle [0, π] à l'aide des fonctions sin, ch et sh.
(b) Calculer les coefficients a_n, puis les coefficients b_n.
(c) Donner la valeur de la somme S = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(16n^4 − 1).

On considère le plan affine euclidien E, rapporté à un repère orthonormé direct(O; ı⃗, ȷ⃗). Le nombre réel a strictement positif est donné.

Soit h une application de classe C^1 sur ℝ telle que h(0) = 0. On lui associe l'application M de ℝ^2 dans E définie par :

Pour t réel, Ω_t désigne le point de E défini par la relation OΩ_t^(→−) = h(t)ı⃗ et γ_t désigne l'arc paramétré défini par l'application de ℝ dans E définie par θ ↦ M(θ, t).

Enfin Γ est l'arc paramétré défini par l'application de ℝ dans E définie par t ↦ P(t) = M(t, t).
1^∘. (a) Donner une équation polaire de γ_0 dans le repère (O, − ȷ⃗). Dessiner le support de γ_0.
(b) Plus généralement donner pour t réel une équation polaire de γ_t dans le repère (Ω_t, − ȷ⃗). Déterminer une isométrie transformant le support de γ_0 en celui de γ_t.
2^∘. (a) Déterminer l'application h de telle sorte que, pour tout réel α, on ait la relation :

Interpréter géométriquement cette égalité.
(b) Montrer que, dans ces conditions, si le point Q(α) de paramétre θ = α de γ_0 est un point régulier, il en est de même pour le point P(α) de paramétre t = α de Γ. Comment déduire la tangente à Γ en P de la tangente en Q à γ_0 ?

Dans la suite, Γ désigne l'arc paramétré de E défini pour tout réel θ par :

3^∘. (a) Soient respectivement σ et s des abscisses curvilignes sur γ_0 et Γ. Comparer (ds)/(dθ) et (dσ)/(dθ).
(b) Comparer et calculer la longueur des sous-arcs respectifs de γ_0 et de Γ définis par l'intervalle [0, 2π].
(c) Pour θ ∈ ]0, 2π[, déterminer le repère de Frenet (P(θ); T⃗, N⃗) au point P(θ) de Γ. Calculer le rayon de courbure R en ce point.
(d) Soit C(θ) le point défini par la relation P(θ)C(θ)^(→−) = RN⃗. Calculer les coordonnées de C(θ) dans le repère (O; ı⃗, ȷ⃗).
(e) Soit Γ_1 le lieu des points C(θ). Par quelle transformation affine le support de Γ_1 se déduit-il de celui de Γ ?
4^∘. (a) Expliciter des transformations géométriques simples laissant globalement invariant le support de Γ.
(b) Montrer que le point P(0) est un point singulier de Γ. Préciser l'existence d'une tangente et la nature de la singularité.
(c) Dessiner sur une même figure le support de γ_0, le support du sous-arc de Γ défini par l'intervalle [ − π, 3π], ainsi que le support de γ_θ, le point P(θ) et la tangente au point de contact pour les valeurs θ = π et θ = (3π)/2.