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Sujet Polytechnique Mathématiques 2 MP 2001

Sous-groupes discrets d'un espace euclidien

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Polytechnique Mathématiques 2 MP 2001

Sous-groupes discrets des espaces euclidiens et leurs symétries

Le problème étudie les sous-groupes discrets d'un espace euclidien de dimension finie. La partie I démontre que tout sous-groupe discret de E est isomorphe à un groupe Zʳ. La partie II étudie les groupes finis d'automorphismes linéaires rationnels, montre qu'ils sont conjugués à des matrices entières, et détermine les ordres possibles d'une matrice rationnelle d'ordre fini en dimension 2. La partie III étudie le groupe des isométries affines préservant un sous-groupe discret donné (groupe cristallographique).

  1. 1Première partie : structure des sous-groupes discretsCaractérisation des sous-groupes discrets de R et R², démonstration que tout sous-groupe discret L de E est isomorphe à un groupe Zʳ, via la construction d'une base contenue dans L et d'un ensemble fini de représentants.
  2. 2Deuxième partie : groupes finis d'automorphismes rationnelsDémonstration que tout sous-groupe fini de GL(E) à coefficients rationnels est conjugué à un groupe de matrices entières, puis détermination des ordres possibles (1, 2, 3, 4, 6) d'une matrice rationnelle d'ordre fini en dimension 2, à partir de son polynôme caractéristique.
  3. 3Troisième partie : groupe des isométries préservant un réseauÉtude du groupe des transformations affines orthogonales préservant un sous-groupe discret L engendrant linéairement E, démonstration de la finitude de la partie linéaire de ce groupe, avec un exemple explicite en dimension 2.

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Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte la deuxième composition de mathématiques X MP 2001 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire et la topologie : sous-groupes discrets des espaces euclidiens, groupes finis d'automorphismes, groupes orthogonaux, pour établir la structure des réseaux et de leurs symétries.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

La partie I établit le résultat fondamental (tout sous-groupe discret est isomorphe à Zʳ) qui est réutilisé dans la partie III ; la partie II sur les groupes finis d'automorphismes rationnels est plus autonome mais prépare également certains outils de la partie III.

Qu'est-ce qu'un sous-groupe discret étudié dans ce problème ?

C'est un sous-groupe L de l'espace euclidien R^n dont tout élément est isolé, c'est-à-dire admet un voisinage ne contenant aucun autre point de L. Le sujet montre qu'un tel groupe est toujours isomorphe à un groupe Zʳ, ce qui correspond à la notion mathématique de réseau.

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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
On se propose d'établir quelques propriétés des sous-groupes discrets des espaces euclidiens. Dans tout le problème, on désigne par n un entier strictement positif, par E l'espace R^n, par ( | ) son produit scalaire usuel et par || || la norme correspondante. On rappelle les faits suivants :
a) un sous-ensemble L de E est dit discret si tout élément x de L est isolé, i.e. admet un voisinage V dans E tel que L ∩ V = {x};
b) un groupe abélien G est isomorphe à un groupe Z^m si et seulement s'il admet une Z-base, c'est-à-dire une famille (e_1, …, e_m) telle que tout élément g de G s'écrive d'une façon unique sous la forme g = ∑_(i = 1)^m k_i e_i avec k_i ∈ Z.

Première partie

  1. Démontrer les assertions suivantes:
    a) Un sous-groupe L de E est discret si et seulement si l'élément 0 est isolé.
    b) Tout sous-groupe discret L de E est fermé dans E.
    c) Les sous-groupes discrets de R sont exactement les sous-ensembles de la forme aZ avec a ∈ [0, + ∞[.
  2. On désigne par α un nombre réel > 0 et par L le sous-groupe de R, ensemble des réels m + nα où n, m ∈ Z. Montrer que L est discret si et seulement si α est rationnel.
  3. Construire un sous-groupe discret L de R^2 tel que sa première projection sur R ne soit pas discrète.
  4. On se propose ici de démontrer que tout sous-groupe discret L de E est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe Z^m. On désigne par F le sous-espace vectoriel de E engendré par L, par m sa dimension, par (a_1, …, a_m) une base de F contenue dans L, et par L^′ le sous-groupe de L engendré par cette base. Enfin on pose
P = L ∩ {∑_(i = 1)^m λ_i a_i|λ_i ∈ [0, 1[}
a) Vérifier que P est un ensemble fini.
b) Etant donné un élément x de L, construire un couple (y, z) ∈ L^′ × P tel que l'on ait x = y + z, et démontrer son unicité.
c) Soit encore x un élément de L; écrivant kx = y_k + z_k (pour k entier > 0 ), montrer qu'il existe un entier d > 0 tel que l'on ait dx ∈ L^′.
d) Conclure.
5. Dans cette question, L est un sous-groupe de Z^m; ses éléments seront notés x = (x_1, …, x_m); on posera π(x) = x_m.
a) Montrer qu'il existe un entier k ⩾ 0 et un élément x^∘ de L tel que l'on ait
π(L) = kZ = π(x^∘)Z
b) On suppose ici π(L) non réduit à {0}; étant donné un élément x de L, construire un couple (p, x˜) ∈ Z × L tel que l'on ait x˜_m = 0 et x = px^∘ + x˜; démontrer son unicité.
c) En déduire que tout sous-groupe discret de E est isomorphe à un groupe Z^r.
6. On suppose ici n = 2 et on considère deux Z-bases ( u_1, u_2 ), ( v_1, v_2 ) d'un même sousgroupe discret L de E. Comparer les aires des parallélogrammes construits respectivement sur ( u_1, u_2 ) et ( v_1, v_2 ).

Deuxième partie

  1. Dans cette question, on désigne par B la base canonique de E et par GL(E) le groupe des automorphismes linéaires de E. Pour toute partie X de E, on note L(X) le sous-groupe de E engendré par X.
Soit G un sous-groupe fini de GL(E) tel que les matrices des éléments de G dans la base B soient à coefficients rationnels. On note GB l'ensemble des vecteurs g(x) où g ∈ G et x ∈ B.
a) Montrer qu'il existe un entier d > 0 tel que l'on ait dL(GB) ⊂ L(B).
b) Démontrer l'existence d'une base de E dans laquelle les matrices des éléments de G sont à coefficients entiers.
8. Soit A une matrice à n lignes et n colonnes, à coefficients rationnels, d'ordre fini r (c'est-à-dire que A^r = I et que r est le plus petit entier > 0 ayant cette propriété).
a) Montrer que le polynôme caractéristique de A est à coefficients entiers.
b) On suppose ici n = 2. Montrer que r ne peut prendre que les valeurs 1, 2, 3, 4, 6 et donner, pour chacune de ces valeurs, un exemple de matrice d'ordre r à coefficients entiers.

Troisième partie

On désigne par O(E) le groupe des automorphismes linéaires orthogonaux de E (ensemble des u de GL(E) tels que ‖u(x)‖ = ‖x‖ pour tout x de E), et par AO(E) l'ensemble des transformations de E de la forme
x ↦ g(x) = u(x) + a où u ∈ O(E) et a ∈ E;
on écrit alors g = (u, a). On note e l'élément neutre de O(E).
9. Montrer que O(E) est compact.
10.a) Vérifier que AO(E) est un groupe, écrire sa loi de groupe, préciser son élément neutre, puis l'inverse d'un élément ( u, a ).
b) Calculer (u, a)(e, b)(u, a)^(− 1).
11. On note ρ le morphisme AO(E) → O(E) défini par ρ(u, a) = u. On fixe un sous-groupe discret L de E qui engendre linéairement E et on note G le sous-groupe de AO(E) formé des éléments g tels que g(L) = L.
a) Vérifier que, si un élément (u, a) de AO(E) appartient à G, il en est de même de ( u, 0 ) et (e, a).
b) Montrer que ρ(G) est fini.
c) Déterminer G dans le cas où n = 2 et où L est l'ensemble des couples ( x_1, x_2 ) de E tels que x_1 ∈ 2Z, x_2 ∈ Z.

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