Sujet Polytechnique Mathématiques 2 MP 2001
Sous-groupes discrets d'un espace euclidien
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Présentation du sujet
Polytechnique Mathématiques 2 MP 2001
Sous-groupes discrets des espaces euclidiens et leurs symétries
Le problème étudie les sous-groupes discrets d'un espace euclidien de dimension finie. La partie I démontre que tout sous-groupe discret de E est isomorphe à un groupe Zʳ. La partie II étudie les groupes finis d'automorphismes linéaires rationnels, montre qu'ils sont conjugués à des matrices entières, et détermine les ordres possibles d'une matrice rationnelle d'ordre fini en dimension 2. La partie III étudie le groupe des isométries affines préservant un sous-groupe discret donné (groupe cristallographique).
- 1Première partie : structure des sous-groupes discretsCaractérisation des sous-groupes discrets de R et R², démonstration que tout sous-groupe discret L de E est isomorphe à un groupe Zʳ, via la construction d'une base contenue dans L et d'un ensemble fini de représentants.
- 2Deuxième partie : groupes finis d'automorphismes rationnelsDémonstration que tout sous-groupe fini de GL(E) à coefficients rationnels est conjugué à un groupe de matrices entières, puis détermination des ordres possibles (1, 2, 3, 4, 6) d'une matrice rationnelle d'ordre fini en dimension 2, à partir de son polynôme caractéristique.
- 3Troisième partie : groupe des isométries préservant un réseauÉtude du groupe des transformations affines orthogonales préservant un sous-groupe discret L engendrant linéairement E, démonstration de la finitude de la partie linéaire de ce groupe, avec un exemple explicite en dimension 2.
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Questions fréquentes
Sur quels chapitres porte la deuxième composition de mathématiques X MP 2001 ?
Le sujet porte sur l'algèbre linéaire et la topologie : sous-groupes discrets des espaces euclidiens, groupes finis d'automorphismes, groupes orthogonaux, pour établir la structure des réseaux et de leurs symétries.
Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?
La partie I établit le résultat fondamental (tout sous-groupe discret est isomorphe à Zʳ) qui est réutilisé dans la partie III ; la partie II sur les groupes finis d'automorphismes rationnels est plus autonome mais prépare également certains outils de la partie III.
Qu'est-ce qu'un sous-groupe discret étudié dans ce problème ?
C'est un sous-groupe L de l'espace euclidien R^n dont tout élément est isolé, c'est-à-dire admet un voisinage ne contenant aucun autre point de L. Le sujet montre qu'un tel groupe est toujours isomorphe à un groupe Zʳ, ce qui correspond à la notion mathématique de réseau.
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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
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a) un sous-ensemble
b) un groupe abélien
Première partie
- Démontrer les assertions suivantes:
a) Un sous-groupeL deE est discret si et seulement si l'élément 0 est isolé.
b) Tout sous-groupe discretL deE est fermé dansE .
c) Les sous-groupes discrets deR sont exactement les sous-ensembles de la formeaZ aveca ∈ [0, + ∞[ . - On désigne par
α un nombre réel> 0 et parL le sous-groupe deR , ensemble des réelsm + nα oùn, m ∈ Z . Montrer queL est discret si et seulement siα est rationnel. - Construire un sous-groupe discret
L deR^2 tel que sa première projection surR ne soit pas discrète. - On se propose ici de démontrer que tout sous-groupe discret
L deE est isomorphe à un sous-groupe d'un groupeZ^m . On désigne parF le sous-espace vectoriel deE engendré parL , parm sa dimension, par(a_1, …, a_m) une base deF contenue dansL , et parL^′ le sous-groupe deL engendré par cette base. Enfin on pose
b) Etant donné un élément
c) Soit encore
d) Conclure.
5. Dans cette question,
a) Montrer qu'il existe un entier
c) En déduire que tout sous-groupe discret de
6. On suppose ici
Deuxième partie
- Dans cette question, on désigne par
B la base canonique deE et parGL(E) le groupe des automorphismes linéaires deE . Pour toute partieX deE , on noteL(X) le sous-groupe deE engendré parX .
a) Montrer qu'il existe un entier
b) Démontrer l'existence d'une base de
8. Soit
a) Montrer que le polynôme caractéristique de
b) On suppose ici
Troisième partie
9. Montrer que
10.a) Vérifier que
b) Calculer
11. On note
a) Vérifier que, si un élément
b) Montrer que
c) Déterminer
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