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Sujet Polytechnique Mathématiques 2 MP 2002

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CONCOURS D'ADMISSION 2002

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Dans les trois premières parties, on désigne par
  • n et m des entiers > 0 tels que n ⩽ m;
  • E l'espace euclidien R^n avec son produit scalaire usuel ( ⋅ | ⋅ ) et la norme associée ‖ ⋅ ‖;
  • e_j, j = 1, …, m, des éléments non nuls de E satisfaisant une condition de la forme
∀x ∈ E α‖x‖^2 ⩽ ∑_j(x|e_j)^2
où α est un réel > 0;
  • T l'endomorphisme de E défini par
T(x) = ∑_j(x|e_j)e_j
Si S est un endomorphisme de E, sa norme ‖S‖ est défini par
‖S‖ = sup{‖S(x)‖ : ‖x‖ = 1}

Première partie

  1. Donner un exemple simple de famille ( e_j ) satisfaisant une condition de la forme (1).
  2. Déterminer le sous-espace vectoriel de E engendré par les e_j.
  3. On prend n = 2, m = 3, e_1 = (0, 1), e_2 = (− √3/2, − 1/2), e_3 = (√3/2, − 1/2). Déterminer ∑_j(x|e_j)^2 et T.
  4. Vérifier que T est autoadjoint, inversible et satisfait (T(x)|x) ⩾ α‖x‖^2 pour tout x ∈ E.
  5. Comparer ‖T‖ et sup{(T(x)|x) : ‖x‖ = 1}.
  6. Trouver un réel β tel que (T^(− 1)(x)|x) ⩽ β‖x‖^2 pour tout x ∈ E. Que peut-on dire de ‖T^(− 1)‖?
  7. On suppose que α‖x‖^2 = ∑_j(x|e_j)^2 pour tout x ∈ E. Déterminer T.

Deuxième partie

On note F l'espace euclidien R^m, (f_1, …, f_m) sa base naturelle, (⋅ | ⋅)_F son produit scalaire naturel. On définit une application linéaire Φ : E → F par
Φ(x) = ∑_j(x|e_j)f_j
On pourra admettre qu'il existe une unique application linéaire Ψ : F → E satisfaisant
(Ψ(h)|x) = (h|Φ(x))_F pour tous x ∈ E, h ∈ F.
  1. Vérifier que l'on a Ψ(h) = ∑_j h_j e_j et Ψ ∘ Φ = T.
On pose e~_j = T^(− 1)(e_j) et on définit une application linéaire Φ~ : E → F par
Φ~(x) = ∑_j(x|e~_j)f_j
  1. Vérifier que l'on a F = ImΦ~ ⊕ (ImΦ)^⊥.
  2. Étant donné un élément x de E, déterminer le minimum des nombres ∑_j h_j^2 pour les familles (h_j) vérifiant x = ∑_j h_j e_j, et préciser pour quelles familles (h_j) ce minimum est atteint.
  3. Expliquer ce qui se passe dans chacun des cas suivants:
    a) les e_j forment une base de E;
    b) les e_j forment une base orthonormale de E;
    c) on a α‖x‖^2 = ∑_j(x|e_j)^2 pour tout x ∈ E.

Troisième partie

On se propose, dans cette partie, de résoudre l'équation T(x) = y par une méthode d'itérations successives. On pose
a = inf{(T(x)|x) : ‖x‖ = 1}, b = ‖T‖;
on a donc 0 < a ⩽ b. Pour tout réel s > 0 on pose V_s = id_E − sT.
12. Montrer que l'on a
‖V_s‖ = max(|1 − as|, |1 − bs|),
  1. Déterminer le minimum C de la fonction s ↦ ‖V_s‖, préciser pour quelle valeur s_0 de s il est atteint, et montrer que C ∈ [0, 1]. À quelle condition C est-il égal à 0 ?
    [Il est conseillé de dessiner les courbes représentatives des fonctions s ↦ |1 − as| et s ↦ |1 − bs| ].
    On fixe un élément y de E et on définit une application U de E dans lui-même par
U(x) = x + s_0(y − T(x)).
  1. Étant donné x et x^′ ∈ E, comparer ‖U(x) − U(x^′)‖ et C‖x − x^′‖.
  2. On désigne par x_0 un élément de E et on pose, pour tout entier n > 0, x_n = U^n(x_0). Étudier le comportement de la suite (x_n). Conclure.

Quatrième partie

Dans cette partie, on désigne par
  • E un espace préhilbertien réel;
  • T un endomorphisme continu de E (on ne le suppose pas autoadjoint);
  • x_0 et y_0 des éléments de E.
Pour tout réel s > 0 on définit une application U_s de E dans lui-même par
U_s(x) = x + s(y_0 − T(x))
16.a) Trouver une condition portant sur T suffisante pour que l'on ait une majoration de la forme
‖id_E − sT‖^2 ⩽ 1 − 2as + b^2 s^2
avec a > 0, b réel.
b) Trouver alors une condition portant sur E, impliquant que la suite x_n = U_s^n(x_0) soit convergente pour un s convenable ; préciser dans ce cas la nature (injectif?, surjectif?) de T.

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