Sujet Polytechnique Mathématiques 2 MP 2000

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Cônes à faces dans un espace euclidien

Le problème étudie les cônes à faces, engendrés par une famille finie de vecteurs d'un espace euclidien E de dimension n. Il établit progressivement que tout cône à faces est fermé, que (C+)+ = C, puis que tout cône à faces est intersection d'une famille finie de demi-espaces fermés.

1Première partieExemples et description géométrique de cônes à faces en petite dimension (sous-espaces vectoriels, cas n = r = 2 et n = r = 3).
2Deuxième partieDémonstration que tout cône à faces est fermé dans E, en passant par le cas sans droite vectorielle puis le cas général.
3Troisième partieDémonstration de l'égalité (C+)+ = C à l'aide de la projection sur le cône d'un point de E.
4Quatrième partieDémonstration que tout cône à faces est l'intersection d'une famille finie de demi-espaces fermés, via l'étude des faces et de la frontière du cône.

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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Ce problème a pour objet l'étude de certains cônes dans des espaces euclidiens.
On désigne par

E

l'espace euclidien

R^n(n \geq 1)

, par (.|.) son produit scalaire usuel, et par

‖

. la norme associée. Pour toute partie

X

E

, on note

X^⊥

(resp.

X^+

) l'ensemble des éléments

x

E

satisfaisant

(x|y) = 0(

resp.

(x|y) \geq 0)

pour tout

y

X

Une partie

C

E

sera appelée cône à faces s'il existe une famille finie d'éléments

c_1, \dots, c_r(r > 0)

E

telle que

C

soit l'ensemble des combinaisons linéaires

\sum_(i = 1)^r λ_i c_i

avec

λ_1, \dots, λ_r \geq 0

. On supposera toujours les

c_i

non nuls, et on dira qu'ils engendrent

C

. Enfin on appelle face de

C

toute partie de

C

de la forme

C ∩ {w}^⊥

avec

w \in C^+

La première partie est indépendante des suivantes.

Première partie

Vérifier que tout sous-espace vectoriel non nul de $E$ est un cône à faces.
Supposant $n = r = 2$ , décrire (sans démonstration mais avec des figures) les ensembles $C$ , $C^+$ et donner sous chaque figure la liste des faces de $C$ suivant les diverses positions relatives de $c_1$ et $c_2$ .
Supposant que $n = r = 3$ et que ( $c_1, c_2, c_3$ ) est une base orthogonale de $E$ , décrire sans démonstration $C, C^+$ et les faces de $C$ .

Deuxième partie

On se propose, dans cette partie, de démontrer que tout cône à faces est fermé dans

E

.
4.a) Soit

K

une partie compacte de

E

ne contenant pas 0 . Montrer que l'ensemble des éléments de la forme

λx

, où

λ \in R_+

x \in K

, est fermé dans

E

.
b) Ce résultat subsiste-t-il si l'on suppose

K

seulement fermé, ou si

K

, compact, contient 0?
5. On considère maintenant un cône à faces

C

engendré par des éléments

c_1, \dots, c_r

.
a) Montrer que

C

est fermé lorsqu'il ne contient aucune droite vectorielle. [On pourra introduire l'ensemble

K

des éléments

\sum_(i = 1)^r λ_i c_i

avec

λ_i \in R_+

\sum_(i = 1)^r λ_i = 1

.]
b) Soit

V

un sous-espace vectoriel de

E

(éventuellement réduit à 0 ) contenu dans

C

et distinct de

C

. On note

P

le projecteur orthogonal de

E

sur

V^⊥

. Vérifier que

P(C)

est un cône à faces contenu dans

C

.
c) Supposant que

P(C)

contient une droite vectorielle, construire un sous-espace vectoriel de

E

contenu dans

C

et contenant strictement

V

.
d) Montrer que

C

est fermé dans

E

Troisième partie

On se propose ici de démontrer que tout cône à faces $C$ vérifie $(C^+)^+ = C$ .
a) Soit $a$ un élément de $E$ . Montrer que la fonction réelle définie sur $C$ par $c \mapsto ‖c - a‖$ atteint sa borne inférieure en un point unique de $C$ . On le notera $p(a)$ .
b) Déterminer le signe de $(p(a) - a|c)$ lorsque $c \in C$ , ainsi que la valeur de $(p(a) - a|p(a))$ .
c) Conclure.

Quatrième partie

On souhaite maintenant démontrer que tout cône à faces est l'intersection d'une famille finie de demi-espaces fermés (on appelle demi-espace fermé tout sous-ensemble de

E

de la forme

{a}^+

avec

a \in E, a \neq 0)

.
7. Démontrer l'équivalence des conditions suivantes relatives à un cône à faces

C

:
(a) le sous-espace vectoriel de

E

engendré par

C

est égal à

E

;
(

β

) l'intérieur de

C

est non vide.
8. On suppose dans cette question les conditions de la question 7. satisfaites pour un cône à faces

C

.
a) Démontrer l'équivalence des conditions suivantes relatives à un élément

x

C

(α^') x

est un point frontière de

C

;
(

β^'

)

x

appartient à une face de

C

distincte de

C

.
b) Que subsisterait-il de ce résultat si l'on ne supposait pas satisfaites les conditions de la question 7.?
c) Soit

x

un point de

E

n'appartenant pas à

C

. Construire une face

F

C

, distincte de

C

et ayant la propriété suivante : pour tout

w \in C^+

tel que

F = C ∩ {w}^⊥

, on a

(x|w) < 0

.
[On pourra considérer le segment de droite joignant

x

à un point

x_0

de l'intérieur de

C

].
9.a) Montrer que l'ensemble des faces d'un cône à faces est fini.
b) Montrer que tout cône à faces est l'intersection d'une famille finie de demi-espaces fermés.
10. Déduire de ce qui précède que, si

C

est un cône à faces, il en est de même de

C^+

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 MP de l'X 2000 ?

Il porte sur la géométrie des espaces euclidiens de dimension finie : cônes engendrés par des familles finies de vecteurs, projection orthogonale, parties fermées et compacité.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

L'énoncé précise que la première partie est indépendante des suivantes. Les deuxième, troisième et quatrième parties s'enchaînent et réutilisent la notion de cône à faces et ses propriétés démontrées auparavant.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Les notions de sous-espace vectoriel, de produit scalaire et de norme euclidienne, de projection orthogonale sur un sous-espace, ainsi que les propriétés des compacts et des fermés en dimension finie.

Faut-il connaître un cours d'algèbre bilinéaire avancé pour ce sujet ?

Non, le sujet reste dans le cadre du programme d'espaces euclidiens standard : orthogonalité, projection et topologie de la dimension finie suffisent, sans notion hors programme.

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