Sujet Polytechnique Mathématiques 2 MP 2000

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Ce problème a pour objet l'étude de certains cônes dans des espaces euclidiens.
On désigne par E l'espace euclidien R^n(n ≥ 1), par (.|.) son produit scalaire usuel, et par ‖. la norme associée. Pour toute partie X de E, on note X^⊥ (resp. X^+) l'ensemble des éléments x de E satisfaisant (x|y) = 0( resp. (x|y) ≥ 0) pour tout y de X.

Une partie C de E sera appelée cône à faces s'il existe une famille finie d'éléments c_1, …, c_r(r > 0) de E telle que C soit l'ensemble des combinaisons linéaires ∑_(i = 1)^r λ_i c_i avec λ_1, …, λ_r ≥ 0. On supposera toujours les c_i non nuls, et on dira qu'ils engendrent C. Enfin on appelle face de C toute partie de C de la forme C ∩ {w}^⊥ avec w ∈ C^+.

La première partie est indépendante des suivantes.

On se propose, dans cette partie, de démontrer que tout cône à faces est fermé dans E.
4.a) Soit K une partie compacte de E ne contenant pas 0 . Montrer que l'ensemble des éléments de la forme λx, où λ ∈ R_+et x ∈ K, est fermé dans E.
b) Ce résultat subsiste-t-il si l'on suppose K seulement fermé, ou si K, compact, contient 0?
5. On considère maintenant un cône à faces C engendré par des éléments c_1, …, c_r.
a) Montrer que C est fermé lorsqu'il ne contient aucune droite vectorielle. [On pourra introduire l'ensemble K des éléments ∑_(i = 1)^r λ_i c_i avec λ_i ∈ R_+et ∑_(i = 1)^r λ_i = 1.]
b) Soit V un sous-espace vectoriel de E (éventuellement réduit à 0 ) contenu dans C et distinct de C. On note P le projecteur orthogonal de E sur V^⊥. Vérifier que P(C) est un cône à faces contenu dans C.
c) Supposant que P(C) contient une droite vectorielle, construire un sous-espace vectoriel de E contenu dans C et contenant strictement V.
d) Montrer que C est fermé dans E.

On souhaite maintenant démontrer que tout cône à faces est l'intersection d'une famille finie de demi-espaces fermés (on appelle demi-espace fermé tout sous-ensemble de E de la forme {a}^+ avec a ∈ E, a ≠ 0).
7. Démontrer l'équivalence des conditions suivantes relatives à un cône à faces C :
(a) le sous-espace vectoriel de E engendré par C est égal à E;
( β ) l'intérieur de C est non vide.
8. On suppose dans cette question les conditions de la question 7. satisfaites pour un cône à faces C.
a) Démontrer l'équivalence des conditions suivantes relatives à un élément x de C :
(α^′) x est un point frontière de C;
( β^′ ) x appartient à une face de C distincte de C.
b) Que subsisterait-il de ce résultat si l'on ne supposait pas satisfaites les conditions de la question 7.?
c) Soit x un point de E n'appartenant pas à C. Construire une face F de C, distincte de C et ayant la propriété suivante : pour tout w ∈ C^+tel que F = C ∩ {w}^⊥, on a (x|w) < 0.
[On pourra considérer le segment de droite joignant x à un point x_0 de l'intérieur de C ].
9.a) Montrer que l'ensemble des faces d'un cône à faces est fini.
b) Montrer que tout cône à faces est l'intersection d'une famille finie de demi-espaces fermés.
10. Déduire de ce qui précède que, si C est un cône à faces, il en est de même de C^+.