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Centrale Mathématiques 1 MP 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes réels
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Le problème étudie la méthode de Newton appliquée aux polynômes réels. La première partie définit la suite de Newton d'un réel et étudie ses points fixes attractifs. La deuxième partie mène une étude algébrique sur les polynômes et leurs dérivées. La troisième partie applique ces résultats au cas particulier des polynômes cubiques réels.

  1. 1Partie I : la méthode de Newton pour les polynômes réelsÉtude des points fixes de l'application de Newton associée à un polynôme, existence et convergence de la suite de Newton d'un réel.
  2. 2Partie II : étude algébriqueÉtude des relations entre un polynôme, sa dérivée et d'autres polynômes associés, notamment via le théorème de Rolle.
  3. 3Partie III : étude analytique du cas cubique réelApplication des résultats précédents à l'étude des suites de Newton pour une famille de polynômes cubiques réels dépendant d'un paramètre.

Difficile. Le rapport indique que dans la plupart des copies, les questions abordées dans l'ordre n'ont guère dépassé la question III.B.1, et que seul 1% des copies allait au-delà de cette question.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème du point fixe hors programme invoqué à tort · Question centrale au très mauvais rendement · Rédaction confuse sur une question pourtant facile
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Le problème était long et délicat par endroits. Les questions calculatoires ont découragé les candidats et les questions délicates ont donné lieu, lorsqu'elles ont été abordées, à de longs développements sans les justifications attendues. Le jury constate que les candidats ne maîtrisaient pas les outils de base, pourtant peu nombreux, intervenant dans le problème.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème du point fixe hors programme invoqué à tortI.D.1

    De nombreux candidats appliquent, sans s'assurer de la stabilité du voisinage, le théorème du point fixe, qui est hors programme en MP.

    « le th éorème du point fixe... qui est hors programme MP, les approfondissements du programme MP* ne faisant pas partie du programme du concours »
  2. 2
    Question centrale au très mauvais rendementI.D.1

    Le fait que les zéros du polynôme dérivé soient isolés n'est vu que dans un quart des copies.

  3. 3
    Rédaction confuse sur une question pourtant facileI.E.1

    Une question relativement facile est rédigée la plupart du temps de façon obscure, sans que les idées directrices soient dégagées.

    « Cette question relativement facile est rédigée la plupart du temps de façon obscure »
  4. 4
    Réciproque non démontréeII.B

    La réciproque étudiée en II.B n'a pratiquement connu aucun succès parmi les candidats.

    « La réciproque de A n’a pratiquement connu aucun succès »
  5. 5
    Convergence affirmée sans démonstrationIII.B.1

    De nombreux candidats affirment la convergence de la suite de Newton vers l'unique réel solution, sans exploiter le tableau de variations pour l'établir.

    « De nombreux candidats affirment que la suite de NEWTON de tout nombre réel »
  6. 6
    Copies mal rédigées et mal présentées

    Les correcteurs dénombrent, comme les années précédentes, un trop grand nombre de copies mal rédigées, mal présentées et mal orthographiées.

    « un trop grand nombre de copies mal rédigées »

Ce qui a été bien réussi

  • Quelques candidats ont su tirer parti du théorème de Rolle et de la question I.F pour traiter de façon parfaite la question I.G.
  • De nombreux candidats parviennent à étudier le cas des trinômes du second degré en s'appuyant sur l'écriture canonique.
  • Pratiquement toutes les copies fournissent les trois zéros réels demandés en III.B.3.

Conseils du jury

  • Ne pas invoquer de résultats hors programme, comme le théorème du point fixe en MP.
  • Dégager clairement les idées directrices d'une question avant de rédiger, même lorsqu'elle paraît facile.
  • Justifier rigoureusement une convergence en exploitant les outils disponibles (tableau de variations) plutôt que de l'affirmer.
  • Soigner la rédaction, la présentation et l'orthographe des copies.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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MATHÉMATIQUES I

Définitions

Si f est une fonction de classe C^∞ définie sur un ouvert Ω ⊂ ℝ et à valeurs réelles, on notera, pour p ≥ 1, f^p = f of.. of p fois, fonction définie sur le sousdomaine de Ω défini par {x ∈ Ω|f(x) ∈ Ω, f^2(x) ∈ Ω, …, f^(p − 1)(x) ∈ Ω}. On appelle p-cycle de f un ensemble de p éléments {x_0, …x_(p − 1)} ⊂ Ω tel que f(x_0) = x_1, …, f(x_(p − 2)) = x_(p − 1), f(x_(p − 1)) = x_0. On appelle multiplicateur du cycle la quantité
(f^p)^′(x_0) = f^′(x_0)f^′(x_1)…f^′(x_(p − 1)).
Un point x ∈ Ω est dit p-périodique s'il est élément d'un p-cycle ; un point 1 - périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d'un point périodique x_0 est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n'est autre que le multiplicateur de x_0 comme point fixe de f^p. Le cycle (ou le point p-périodique) sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à 1 , égale à 0 , égale à 1 ou strictement supérieure à 1 .
On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dans ℝ^2.
On pourra alors admettre le résultat suivant :
Théorème : Soit Ω un ouvert de ℝ^2, F : Ω → ℝ une fonction de classe C^1, et ( x_0, y_0 ) un point de Ω, tels que
F(x_0, y_0) = 0, (∂F)/(∂y)(x_0, y_0) ≠ 0.
Alors il existe ε, η > 0 tels que si on pose I = ]x_0 − ε, x_0 + ε[, J = ]y_0 − η, y_0 + η[, l'ouvert V = I × J est inclus dans Ω et il existe une fonction g : ]x_0 − ε, x_0 + ε[ → ]y_0 − η, y_0 + η[ de classe C^1 telle que :
∀(x, y) ∈ V, F(x, y) = 0 ⇔ y = g(x)
Le thème général du problème est l'étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes.

Filière MP

Partie I - La méthode de Newton pour les polynômes réels

Soit P : ℝ → ℝ une fonction polynomiale non constante et Ω = {x ∈ ℝ|P^′(x) ≠ 0}. Si x ∈ Ω, on définit N_P(x) comme étant l'abscisse de l'intersection de la tangente en ( x, P(x) ) au graphe de P avec l'axe des x.
I.A - Montrer que :
∀x ∈ Ω, N_P(x) = x − (P(x))/(P^′(x)).

I.B -

I.B.1) Si x ∈ Ω, calculer N^′_P(x).
I.B.2) Soit a un nombre réel.
Montrer que si P(a) = 0, P^′(a) ≠ 0 alors a est un point fixe super attractif de N_P. Si a est un zéro d'ordre p ≥ 2 de P montrer que N_P peut se prolonger par continuité en a qui devient un point fixe attractif de N_P de multiplicateur 1-1/p . Si x ∈ Ω, on dira que la suite de Newton de x par P est bien définie si l'on peut définir une suite ( x_n ) telle que x_0 = x et :
∀n ∈ ℕ, x_n ∈ Ω et x_(n + 1) = N_P(x_n).
Dans ce cas, cette suite ( x_n ) sera la suite de Newton de x par P.
I.C - Montrer que si la suite de Newton de x par P est bien définie et converge vers a ∈ ℝ alors P(a) = 0.
I.D - Soit réciproquement a ∈ ℝ un zéro de P.
I.D.1) Montrer l'existence de ε > 0 tel que si |y − a| < ε alors la suite de Newton de y par P est bien définie et converge vers a.
On appelle I(a) le plus grand intervalle contenant a et formé de points dont la suite de Newton par P converge vers a.
I.D.2) Montrer que c'est un intervalle ouvert ; on l'appelle le bassin immédiat de a.

I.E -

I.E.1) On suppose que P a au moins deux racines réelles. Soit a^−le plus petit zéro de P; on suppose que ξ, le plus petit zéro de P^′ vérifie ξ > a^−et que P^(′′) ne s'annule pas sur ] − ∞, ξ[. Montrer que le bassin immédiat de a^−est égal à ] − ∞, ξ[.
I.E.2) On suppose que le bassin immédiat du zéro a de P est de la forme ]α, β[, α, β ∈ ℝ.
Montrer successivement que N_P(]α, β[) ⊂ ]α, β[, que P(α)P^′(α)P(β)P^′(β) ≠ 0, et enfin que N_P(α) = β, N_P(β) = α. Ce 2 - cycle peut-il être attractif ?
I.F - Les hypothèses de la question I.E. 2 étant toujours vérifiées, montrer que le bassin immédiat de a contient un zéro de P^(′′).
I.G - On suppose P de degré d ≥ 2 possédant d zéros distincts. Montrer que N_P attire tout zéro de P^(′′) vers un zéro de P.

Partie II - Étude algébrique

Soit P un polynôme de ℂ[X] de degré d (on note d^∘(P) = d ). Dans cette partie la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou plus généralement des fractions rationnelles et N_P est la fraction rationnelle
N_P(X) = X − (P(X))/(P^′(X))
II.A - Montrer que si P a d zéros distincts alors R = N_P vérifie
R = Q/S, Q, S ∈ ℂ[X], PGCD(Q, S) = 1, d^∘(Q) = d, d^∘(S) = d − 1
et R possède d points fixes super attractifs
(Un point fixe super attractif de R est un point z ∈ ℂ tel que R(z) = z, R^′(z) = 0 ).
II.B - Soit réciproquement R une fraction rationnelle vérifiant (*). Montrer qu'il existe P ∈ ℂ[X], de degré d, possédant d zéros distincts, tel que R = N_P.
II.C - Deux fractions rationnelles f, g sont dites semblables s'il existe une similitude T(z) = az + b(a, b ∈ ℂ, a ≠ 0) telle que si D, D^′ désignent les domaines de définition de f, g (c'est-à-dire le complémentaire dans ℂ de l'ensemble des pôles) alors T(D) = D^′ et
∀z ∈ D^′, f(z) = T^(− 1) ∘ g ∘ T(z).
Si a, b ∈ ℂ, a ≠ 0 et si T(z) = az + b montrer que N_(PoT) est semblable à N_P.
II.D - Déterminer N_P pour P(X) = X^2, P(X) = X^2 − 1 : montrer que si P est un polynôme de degré 2 alors N_P est semblable à z ↦ z/2 ou bien à z ↦ z/2 + 1/(2z).
II.E - Pour m ∈ ℂ on définit
P_m(z) = z^3 + (m − 1)z − m = (z − 1)(z^2 + z + m), N_m(z) = N_(P_m)(z)
Montrer que si P est un polynôme de degré 3 alors soit N_P est semblable à z ↦ (2z)/3 soit il existe m ∈ ℂ tel que N_P est semblable à N_m.
II.F - Quel est l'intérêt des résultats des deux questions précédentes pour l'étude des suites de Newton par les polynômes de degré ≤ 3 ?

Partie III - Étude analytique du cas cubique réel

Dans cette partie on suppose m ∈ ℝ, on garde les notations du II.E et on s'intéresse au comportement des suites de Newton des nombres réels par P_m.

III.A -

III.A.1) Montrer que P_m a trois zéros (complexes) distincts si et seulement si m ≠ − 2, m ≠ 1/4.
III.A.2) On suppose m > 1 : montrer que la suite de Newton de tout réel x par P_m est définie et converge vers un réel à préciser.

III.B -

III.B.1) Montrer que si m^′ < 1/4, m^′ ≠ − 2 alors P_(m^′) possède trois zéros réels distincts, soient :
1, a_(m^′) = (− 1 + √(1 − 4m^′))/2, b_(m^′) = (− 1 − √(1 − 4m^′))/2.
Si de plus m^′ < 0, montrer qu'il existe m ∈ ]0, 1/4[ tel que N_(m^′) soit semblable à N_m.
III.B.2) On supposera désormais dans cette partie que m ∈ [0, 1/4[. P_m possède alors trois zéros réels distincts, soient :
1, a_m = (− 1 + √(1 − 4m))/2, b_m = (− 1 − √(1 − 4m))/2.
III.B.3) On pose x_0^± = ± √((1 − m)/3) et on désigne par ]α(m), β(m) [ le bassin immédiat de a_m. Montrer que la fonction x ↦ |N^′_m(x)| est strictement décroissante sur ]x_0^−, a_m[ et strictement croissante sur ]0, x_0^+[.
III.B.4) Montrer que la fonction M_m = N_m ∘ N_m est définie sur un intervalle ]x_1^−, x_1^+[ ⊂ ]x_0^−, x_0^+[où N_m(x_1^−) = x_0^+, N_m(x_1^+) = x_0^−.
On désigne par ξ^−, ξ^+le plus petit et le plus grand zéro de M^′_m. Montrer que la fonction M^′_m est strictement décroissante sur ]x_1^−, ξ^−[et strictement croissante sur ]ξ^+, x_1^+[.
III.B.5) Montrer que l'intervalle [ξ^−, ξ^+]est inclus dans le bassin immédiat de a_m.
III.B.6) Déduire de III.B. 4 et III.B. 5 que {α(m), β(m)} est le seul 2 - cycle de N_m.
III.B.7) Montrer que α(0) = − β(0) et en déduire que α(0) = − 1/(√5).
III.B.8) On pose F(m, x) = M_m(x) − x. Si u est un réel, un développement limité à l'ordre 1 de la fonction
m ↦ F(m, − 1/(√5) + um)
peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel. On trouve :
35u + (25 − 7√5)/2m + o(m).
En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité à l'ordre 1 de α en 0 .

III.C -

III.C.1) Montrer qu'il existe une et une seule valeur m_0 de m ∈ ℝ telle que 0 soit 2 -périodique pour N_m. Donner une valeur approchée à 10^(− 3) près par défaut de m_0 en indiquant l'algorithme utilisé.
III.C.2) Montrer qu'il existe η > 0 tel que si |m − m_0| < η alors N_m admet un cycle attractif d'ordre 2 qui attire 0.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques I Centrale MP 2000 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques I Centrale MP 2000 ?

Le sujet porte sur la méthode de Newton appliquée aux polynômes réels : suites numériques et points fixes, étude de fonctions, et propriétés algébriques des polynômes via le théorème de Rolle.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale maths 1 MP 2000 ?

Le jury relève l'invocation à tort du théorème du point fixe hors programme, des convergences affirmées sans démonstration rigoureuse, et une rédaction souvent confuse même sur des questions faciles.

Ce sujet Centrale maths 1 MP 2000 est-il long ?

Oui, le rapport indique que dans la plupart des copies, les questions n'ont guère dépassé la question III.B.1, et que seul 1% des copies allait significativement plus loin.

Ce sujet Centrale maths 1 MP 2000 est-il bien réussi par les candidats ?

Non, le jury constate que les candidats ne maîtrisaient pas les outils de base du problème, pourtant peu nombreux, et que les questions délicates n'ont généralement pas donné lieu aux justifications attendues.

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