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EPREUVE DE MATHEMATIQUE I - (4 H)

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L'énoncé original contient quelques erreurs qui ont été corrigées ici.
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1. On note L(E) l'ensembles des endomorphismes de E et GL(E) le groupe des endomorphismes bijectifs de E.
Pour f ∈ L(E), une partie A de E est dite stable par f si f(A) ⊂ A.
Un polynôme non nul de C[X] est dit unitaire si son coefficient dominant vaut 1 .
On note Π_f le polynôme minimal de f et P_f(X) = det(Xid − f) son polynôme caractéristique.
Un endomorphisme f ∈ L(E) est dit cyclique s'il existe un entier naturel non nul p et un vecteur a ∈ E tels que :
C_a^p = {a, f(a), …, f^(p − 1)(a)}
soit une partie génératrice de E de cardinal p, stable par f, c'est à dire :
{C_a^p possède p éléments deux à deux distincts,; f(C_a^p) ⊂ C_a^p.
Une telle partie C_a^p est nommée cycle de f et on dit alors que f est cyclique d'ordre p.

PARTIE I

  1. Pour quel(s) entier(s) n un projecteur h peut-il être cyclique ? Comment s'écrit alors un cycle de h ?
  2. On considère B = (e_1, …, e_n) la base canonique de C^n.
    a. Soit f l'endomorphisme de C^n dont la matrice dans la base canonique est :
A = (0, …, 0, 0, 0; 1, ⋱, ⋮, ⋮, 0; 0, ⋱, 0, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, 1, 0, 0; 0, …, 0, 1, 1).
Montrer que f est cyclique et expliciter un cycle de f.
Déterminer le rang de f. L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?
b. Mêmes questions avec l'endorphisme g de C^n de matrice :
B = (0, …, 0, 0, − 1; 1, ⋱, ⋮, ⋮, − 1; 0, ⋱, 0, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, 1, 0, − 1; 0, …, 0, 1, − 1)
  1. Soit f ∈ L(E) cyclique d'ordre p.
    a. Justifier que p ≥ n.
    b. Montrer que f est au moins de rang n − 1.
  2. Soit f ∈ L(E) un endomorphisme cyclique et C_a^p un cycle de f.
Soit m le plus grand entier tel que la famille F = (a, f(a), …, f^(m − 1)(a)) soit libre.
a. Prouver que ∀k ≥ m, f^k(a) ∈ Vect(F).
b. En déduire que la famille (a, f(a), …, f^(n − 1)(a)) est une base de E.
c. Montrer que Π_f = P_f.
5. Montrer que si f est bijectif et si C_a^p est un cycle de f, alors f^p(a) = a.
6. Soit (a, b) ∈ C^2 et f l'endomorphisme de C^2 de matrice dans la base canonique :
A = (0, a; 1, b)
On suppose que 1 n'est pas valeur propre de f.
Déterminer les valeurs (si elles existent) de a et b pour que f soit cyclique d'ordre 2 .
7. Soit θ ∈ ℝ∖πZ. Soit g l'endomorphisme de C^2 de matrice dans la base canonique :
B = (cosθ, − sinθ; sinθ, cosθ)
Montrer que r est cyclique si et seulement si θ ∈ 2πQ.

PARTIE II

Dans cette partie on se propose de caractériser les endomorphismes cycliques inversibles.
  1. Soit f ∈ GL(E) un endomrphisme cyclique et C_a^p un cycle de f.
    a. Montrer que f^p = id et en déduire que f est diagonalisable.
    b. Montrer que le polynôme P_f(= Π_f d'après I.4c.) divise X^p − 1 et que p est le plus petit entier k non nul tel que P_f divise X^k − 1.
  2. Réciproquement, on considère un endomorphisme bijectif f ∈ GL(E) tel que P_f divise X^p − 1 et p soit le plus petit entier k non nul tel que P_f divise X^k − 1.
    a. Montrer que Π_f = P_f. (On pourra utiliser la décomposition en facteurs irréductibles de Π_f et P_f.)
    b. Montrer que f est diagonalisable.
    c. Soit V = (v_1, …, v_n) une base de vecteurs propres de f et x = ∑_(i = 1)^n x_i v_i un vecteur de E tel que ∀i, x_i ≠ 0.
    Montrer que la famille ( x, f(x), …, f^(n − 1)(x) ) est libre.
    d. Montrer que f est cyclique et que C_x^p est un cycle.
  3. Soit f l'endomorphisme de C^3 canoniquement associé à la matrice :
A = (0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0)
a. Trouver un polynôme anulateur de degré 2 de f.
b. f est-il cyclique ?

PARTIE III

Dans cette partie on se propose de caractériser les endomorphismes cycliques non inversibles.
  1. Soit f cyclique d'ordre p non inversible et C_a^p un cycle de f.
    a. Vérifier que dimKerf = 1.
    b. Montrer que f^p(a) ≠ a.
Soit j ∈ [ [1; p − 1] ] tel que f^p(a) = f^j(a).
c. Montrer que f^p = f^j.
d. Montrer que P_f(= Π_f d'après I.4.c.) est de la forme X^j Q(X) où Q est un polynôme qui divise X^(p − j) − 1.
Réciproquement, soit f un endomorphisme de E et j un entier non nul tel que :
Π_f = P_f = X^j Q
où Q est un polynôme qui divise X^q − 1 et aucun des polynômes X^k − 1 pour 1 ≤ k < q.
2. Montrer que si Q est un polynôme constant, alors f est cyclique.
On suppose désormais que degré Q ≥ 1.
3.a. Montrer que E = Ker(f^j) ⊕ Ker(f^q − id).
b. Justifier que les sous-espaces E_1 = Ker(f^j) et E_2 = Ker(f^q − id) sont stables par f.
On note f_1 et f_2 les endomorphismes induits par f sur E_1 et E_2.
4.a. Prouver que f_2 est cyclique d'ordre q. Soit C_(a_2)^q un cycle de f_2.
b. Prouver que {f^j(a_2), …, f^(j + q − 1)(a_2)} engendre E_2.
5.a. Montrer que P_f = P_(f_1)P_(f_2) et en déduire que dimE_1 = j.
b. Montrer que f_1^(j − 1) ≠ 0.
c. En déduire qu'il existe a_1 ∈ E_1 tel que (a_1, f(a_1), …, f^(j − 1)(a)) est une base de E_1.
6. Soit a = a_1 + a_2; montrer que C_a^(j + q − 1) est un cycle de f.
7. Soit f l'endomorphisme de C^3 canoniquement associé à la matrice :
A = (1, 1, 0; − 1, − 1, 0; 1, 1, j)
où j = exp(2iπ)/3. Montrer que f est cyclique et déterminer un cycle.
∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗

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