WikiPrépaLivrets

ENSAI Mathématiques 2 MP 2000Sujet et corrigé

Pas encore noté
Logo concours ENSAI

Explorer les annales

BanqueAutresAnnée2000FilièreMPMatièreMathématiques
Annales Autres MP MathématiquesAutres MP 2000MP MathématiquesMathématiques 2000

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

concours d'élève titulaire de I'ENSAI concours externe d'attaché de I'INSEE

MAI 2000
Option A. - MATHÉMATIQUES

deuxième composition de mathématiques
Durée : 4 heures
L'usage des calculatrices est interdit
Le sujet comprend 4 pages (y compris celle-ci)
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les différentes parties sont dans une large mesure indépendantes.
L'objet du problème est l'étude d'une transformation qui, à certaines fonctions, associe une fonction numérique définie par une intégrale.
La première partie a pour objet l'étude de divers cas particuliers.
Dans la seconde partie, on étudie le cas particulier de fonctions périodiques, ce qui conduit à étendre la définition de la transformation.
Dans la troisième partie, on prouve le caractère C^∞ de la transformée.
Dans la dernière partie, on étudie le comportement en 0 de la transformée en fonction de diverses hypothèses faites sur la fonction d'origine.
Dans tout le problème on désigne par E l'ensemble des fonctions f telles que :
  • f est continue sur ℝ_+^∗,
  • t ↦ tf(t) est intégrable sur ]0, 1],
  • t ↦ (f(t))/t est intégrable sur [1, + ∞[.

PARTIE I

  1. Soit f un élément de E et x un réel strictement positif; prouver que la fonction t ↦ (tf(t))/(x^2 + t^2) est intégrable sur ]0, + ∞[.
    On définit pour x > 0 et f ∈ E, la fonction F par:
F(x) = ∫_0^(+ ∞)(tf(t))/(x^2 + t^2) dt
  1. Déterminer si les fonctions suivantes sont dans E :
    a. f_1 : t ↦ 1/(ln(1 + t));
    b. f_2 : t ↦ (ln(1 + t))/t.
  2. Dans cette question, on considère la fonction f(t) = (Arctant)/(t^2).
    a. Justifier que f ∈ E et que ∀x > 0, F(x) = 1/(x^2)∫_0^(+ ∞)(Arctan(xt))/(t(1 + t^2))dt.
On pose G(x) = ∫_0^(+ ∞)(Arctan(xt))/(t(1 + t^2))dt.
b. Montrer que G est de classe C^1 sur ℝ_+.
c. Calculer G^′(x) pour x ⩾ 0.
d. En déduire F(x).
e. Montrer que la fonction t ↦ ((Arctant)/t)^2 est intégrable sur ℝ_+^∗, et en utilisant les questions précédentes, calculer l'intégrale :
∫_0^(+ ∞)((Arctant)/t)^2 dt
  1. Dans cette question, on considère f(t) = (cost)/t.
    a. Justifier que f ∈ E.
Pour x > 0, on pose φ(x) = xF(x).
b. Montrer que lim_(n → + ∞)φ(1/n) = π/2. (On pourra utiliser le changement de variable t = u/n.)
c. Montrer que φ est bornée sur ℝ_+^∗.
d. Prouver que sur (ℝ_+^∗)^2 on a :
(∂^2)/(∂x^2)(t/(x^2 + t^2)) + (∂^2)/(∂t^2)(t/(x^2 + t^2)) = 0
En déduire que φ est solution d'une équation différentielle linéaire du second ordre que l'on déterminera.
e. Déterminer explicitement φ puis F.

PARTIE II

Dans cette partie, f est une fonction non nulle définie sur ℝ, continue, périodique de période T.
  1. Étudier la convergence de la série de terme général :
u_k = ∫_(kT)^((k + 1)T)(|f(t)|)/t dt, k ≥ 1
  1. En déduire que f ∉ E.
  2. On pose h(y) = ∫_0^y f(t)dt et m = 1/T∫_0^T f(t)dt.
Prouver que si m ≠ 0, on a, au voisinage de + ∞, h(y) ∼ my.
4. Prouver que si m ≠ 0, l'intégrale :
∫_0^A(tf(t))/(x^2 + t^2) dt
n 'a pas de limite finie lorsque A tend vers + ∞. (On pourra effectuer une intégration par parties.)
5. Prouver en revanche que si m = 0, cette limite existe.

PARTIE III

  1. Déterminer deux nombres complexes α et β tels que, pour tout couple de réels (x, t) ≠ (0, 0) :
t/(x^2 + t^2) = α/(x − it) + β/(x + it).
En déduire que pour tout couple de réels (x, t) ≠ (0, 0), on a pour tout k ∈ ℕ^∗ :
|(∂^k)/(∂x^k)(t/(x^2 + t^2))| ⩽ (k!)/((x^2 + t^2)^((k + 1)/2)).
  1. Prouver que, pour toute fonction f de E, la fonction F définie au I.1. est de classe C^∞ et que l'on a pour tout entier k > 0 :
F^((k))(x) = ∫_0^(+ ∞)(∂^k)/(∂x^k)(t/(x^2 + t^2))f(t)dt
  1. Pour f ∈ E, on note Φ la fonction définie sur ℝ_+par :
Φ(x) = ∫_1^(+ ∞)(tf(t))/(x^2 + t^2) dt
Montrer que Φ est continue sur ℝ_+.
2. Dans cette question, f désigne une fonction de classe C^l sur ℝ_+telle que f(0) ≠ 0 et dont la restriction à ℝ_+^∗ est un élément de E.
Trouver un équivalent simple de F(x) lorsque x tend vers 0^+. (On pourra intégrer par parties l'intégrale ∫_0^1(tf(t))/(x^2 + t^2) dt.)
3. Dans cette question, f désigne un élément de E tel qu'on ait en 0 : f(t) ∼ 1/t.
a. Calculer ∫_0^1 x/(x^2 + t^2) dt.
b. En déduire que lim_(x → 0)xF(x) = π/2.

Pas de description pour le moment