ENSAI Mathématiques 2 MP 2001Sujet et corrigé

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concours d'élève titulaire de I'ENSAI concours externe d'attaché de I'INSEE

AVRIL 2001

Option A. - MATHÉMATIQUES

deuxième composition de mathématiques

Durée : 4 heures

L'usage des calculatrices est interdit

Le sujet comprend 3 pages (y compris celle-ci).

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Soit une suite de nombres réels

(u_n)_(n \in ℕ)

. On lui associe la suite

(U_n)_(n \in ℕ)

des sommes partielles,

U_n = \sum_(k = 0)^n u_k

et les deux fonctions

u

U

définies par :

u(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)u_n(x^n)/(n!) et U(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)U_n(x^n)/(n!).

On dira que la suite

(u_n)

est B -sommable si la fonction

U

est définie sur

ℝ

et si

lim_(x \to + \infty)e^(- x)U(x)

appartient à

ℝ

. Si

(u_n)

est B-sommable, on pose alors :

S_B(u) = lim_(x \to + \infty)e^(- x)U(x)

On dira que la suite (

u_n

) est C -sommable si la fonction

u

est définie sur

ℝ

et si

lim_(Y \to + \infty)\int_0^Y e^(- x)u(x)dx

existe dans

ℝ

. Si

(u_n)

est C-sommable, on pose alors :

S_C(u) = lim_(Y \to + \infty)\int_0^Y e^(- s)u(x)dx

, limite qu'on notera «de manière impropre»

\int_0^(+ \infty)e^(- x)u(x)dx

PARTIE I

On considère la suite $(u_n)$ telle que $u_n = (- 1)^n$ pour tout $n ⩾ 0$ .
a. La suite ( $u_n$ ) est-elle B-sommable ?
b. La suite ( $u_n$ ) est-elle C -sommable ?
Soit a un réel non nul. On considère la suite ( $u_n$ ) définie par : $u_n = a^n, \foralln ⩾ 0$ .
$a$ . Étudier suivant les valeurs de $a$ la B -sommabilité de la suite $(u_n)$ . Pour les valeurs de $a$ telles que la suite ( $u_n$ ) est B-sommable, calculer $S_B(u)$ .
b. Étudier suivant les valeurs de $a$ la C -sommabilité de la suite $(u_n)$ . Pour les valeurs de $a$ telles que la suite ( $u_n$ ) est C -sommable, calculer $S_C(u)$ .

PARTIE II

Si la suite (

U_n

) est convergente, on pose :

U = limU_n

On considère une suite ( $u_n$ ) bornée. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $u$ .
On considère une suite $(u_n)$ telle que la série $\sum_(n = 0)^(+ \infty)u_n$ est convergente. Déterminer l'ensemble de définition
des fonctions $u$ et $U$ .
On suppose que la série ( $\sumu_n$ ) est convergente, de somme $U$ . Prouver que l'on a $S_B(u) = U$ . On pourra commencer par le cas $U = 0$ .
Dans le cas où ( $\sum_(u_n)$ ) est une série absolument convergente, montrer que : $S_C(u) = U$ .
Donner un exemple d'une suite ( $u_n$ ) qui est C -sommable et telle que la série ( $\sumu_n$ ) diverge.
Dans cette question, on suppose que la série ( $\sumu_n$ ) est convergente. On pose :

U_(- 1) = 0 et B(x) = e^(- r)\sum_(n = 0)^(+ \infty)(U_(n - 1)x^n)/(n!).

a. Montrer que

B

est définie et dérivable sur

ℝ

.
b. En déduire que

\forallx \in ℝ

on a:

B(x) = \int_0^x e^(- t)\sum_(n = 0)^(+ \infty)(u_n t^n)/(n!)dt

.
c. Prouver l'égalité

S_C(u) = U

.
7. Soit

f(x)

la somme de la série entière

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

de rayon de convergence

R > 0

Montrer que la série entière

\sum_(n = 0)^(+ \infty)(a_n x^n)/(n!)

a pour rayon de convergence

+ \infty

.
On notera

G(x)

sa somme, et l'on pose

F(x) = \int_0^(+ \infty)e^(- t)G(xt)dt

.
8. Montrer que pour tout

x

tel que

|x| < R

alors

\int_0^(+ \infty)e^(- t)G(xt)dt = f(x)

PARTIE III

On note

H(x) = (1 - cos(x))/(x^2)

pour

x \neq 0

H(0) = 1/2

.
1.a. Montrer que la fonction

H

est développable en série entière au voisinagc de 0 .
b. Soit

\sum_(n = 0)^\inftya_n x^n

son développement en série entière. Préciser son rayon de convergence.
2.a. Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum_0^(+ \infty)n!a_n x^(n + 1)

.
b. Exprimer la somme

h(x)

de cette série entière à l'aide de fonctions usuelles.
3.a. Montrer que pour

x \in ] - 1, 1[

h(x) = \int_0^(+ \infty)e^(- t)H(xt)dt

b. Montrer que

\forallx \in ]0, 1[

xh(x) = \int_0^(+ \infty)e^(- u/x)H(u)du

On note $ψ(x) = \int_0^(+ \infty)e^(- u/x)H(u)du$ .

Montrer que :

lim_(x \to + \infty)ψ(x) = \int_0^(+ \infty)H(u)du

5.a. Montrer que la fonction

ψ

est de classe

𝒞^2

sur

]0, + \infty[

, et qu'elle est solution de l'équation différentielle:

(E) xy^('') + 2y^' = 1/(1 + x^2)

b. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (

E

) sur

]0, + \infty[

.
c. En déduirc la valcur de

\int_0^(+ \infty)(1 - cos(u))/(u^2)du

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