Centrale Mathématiques 2 MP 2001Sujet, corrigé et rapport du jury

Le but du problème est d'établir quelques propriétés des cônes et coniques dans le cadre de la théorie des formes quadratiques.
Dans tout le problème, le corps de base est IR. Si E est un espace vectoriel réel, on désigne par Q(E) l'espace vectoriel réel des formes quadratiques définies sur E. Si q ∈ Q(E), on désigne par C_q le cône isotrope de q, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs x ∈ E tels que q(x) = 0.
Les parties sont largement indépendantes et de difficulté croissante. La résolution des questions préliminaires A et B n'est pas indispensable pour la suite du problème.

Soit E_2 un plan vectoriel réel et q ∈ Q(E_2) − {0}; en vue de décrire C_q on introduit une base B = (i, j) de E_2 et on désigne par

la matrice de q relativement à B .
Quelle est la signature de q ? Montrer que C_q est réduit à {0} ou est la réunion d'un ensemble fini de droites, dont on précisera le cardinal. On utilisera pour toute cette question une décomposition de Gauss et la discussion portera entre autres sur le signe de rt − s^2.

On rapporte l'espace vectoriel euclidien IR^3 muni de son produit scalaire canonique < ., > à sa base orthonormale canonique B_c = (i, j, k) et on considère deux vecteurs e et e^′ de composantes respectives ( a, b, c ) et ( a^′, b^′, c^′ ), avec abca' b^′ c^′ ≠ 0. On note Q_(e, e^′) l'ensemble des formes quadratiques q ∈ Q(I^3^3) telles que C_q contienne i, j, k, e et e^′; Q_(e, e^′) est un sous-espace vectoriel de Q(IR^3) (on ne demande pas de le vérifier).
I.A - Soit q ∈ Q(I^3^3); donner une condition nécessaire et suffisante portant sur la matrice de q relativement à B_c pour que C_q contienne i; en déduire que C_q contient i, j et k si, et seulement si, il existe α, β, γ réels tels que:

I.B - On désigne par I et I' les formes linéaires sur IR^3 qui à un triplet τ = (α, β, γ) associent respectivement: I(τ) = αbc + βca + γab
et I^′(τ) = αb^′ c^′ + βc^′ a^′ + γa^′ b^′.
I.B.1) Donner une relation entrele rang de la famille ( I, I^′ ) et la dimension de Q_(ee^′).
I.B.2) Lorsque cette dimension vaut 1, montrer que tous les éléments non nuls de Q_(ee^′) ont le même cône isotrope.
I.B.3) À l'aide de Vect(e,e'), interpréter la condition (2) suivante:

On suppose (2) vérifiée. Déterminer une base de Q_(ee_e). Déterminer le rang des formes quadratiques non nulles de Q_(e_(e^′)). Montrer que les éléments de Q_(e_(e^′)) ont une signature différente de (3, 0). Quelles sont les valeurs possibles de cette signature?
Dans la suite on sera amené à envisager des propriétés affines de IR ^3 dont les éléments seront alors considérés comme des points. En particulier le point 0 sera le vecteur (0, 0, 0).

Dans toute la suite du problème, on désigne par P_0 et P_1 les plans d'équations respectives x + y + z = 0 et x + y + z = 1 et, pour tout triplet τ = (α, β, γ) ∈ ℝ^3, on désigne par q_τ la forme quadratique qui à M = (x, y, z) ∈ ℝ^3 associe αyz + βzx + γxy.

Déterminer les éléments communs aux cônes isotropes de toutes les formes quadratiques du type q_τ.
On fixe maintenant, pour toute la partie II, le triplet τ = (α, β, γ) non nul et on désigne pour simplifier par C_τ le cône isotrope de q_τ.

J ustifier l'existence d'une base B_0 = (I, J) de P_0 qui soit une famille orthonormale pour le produit scalaire canonique de IR^3 et telle que la restriction q_τ|_(P_0) ait dans B_0 une matrice de la forme:

Discuter selon α^′ et β^′ la nature de C_τ ∩ P_0.
II.B - Étude de C_τ ∩ P_1
II.B.1) Soit B_0 comme en II.A, et B = (I, J, K) qui la complète en une base orthonormale de IR^3. Dans cette base, les coordonnées du point courant M de IR^3 seront désignées par X, Y et Z.
a) Montrer que, relativement au repère ( O; B ), P_1 a une équation de la forme Z = z_0 où z_0 prend l'une ou l'autre de deux valeurs que l'on précisera.
b) De quelle forme est la matrice de q_τ relativement à B ? En conclure que si (α^′, β^′) = (0, 0), alors rg(q_τ) ≤ 2. En déduire que (α^′, β^′) = (0, 0) ⇒ αβγ = 0.
On supposera désormais que αβγ ≠ 0, de sorte que (α^′, β^′) ≠ (0, 0).
c) Montrer que, relativement au repère ( O; B ) , C_τ ∩ P_1 est définie par un système du type :

En déduire que C_τ ∩ P_1 est une conique dont on précisera le genre en fonction de α^′ et β^′.
II.B.2) Mettre en relation le genre de C_τ ∩ P_1 et la nature de C_τ ∩ P_0.

Soient a, b, c des scalaires non nuls, Π_0 et Π_1 les plans d'équations respectives

Soit τ un triplet non nul et q_τ la forme quadratique qui lui est associée; C_τ en désigne le cône isotrope ; q_0 désigne enfin l'application carré scalaire canonique dans IR^3.
III.A - Montrer quesi a, b, c, α, β, γ vérifient

il existe λ ∈ IR^∗ et I ∈ L(IR^3, IR) tel que

Dans ce cas, montrer que C_τ ∩ Π_1 est inclus dans une sphère. En conclure que C_τ ∩ Π_1 est un cercle. Que représente-t-il pour les points A(a, 0, 0), B(0, b, 0) et C(0, 0, c) ?

On admettra que les relations (3) constituent une condition nécessaire et suffisante pour que C_τ ∩ Π_1 soit un cerde
III.B - Montrer que pour tout point M(x, y, z) ∈ Π_1, il existe (x^′, y^′, z^′) ∈ ℝ^3 tel que x^′ + y^′ + z^′ = 1 et que M soit le barycentre de A, B et C affectés des masses respectives x^′, y^′ et z^′. Si τ est tel que C_τ ∩ Π_1 soit un cerde, donner une expression simple de q_τ(x, y, z) à l'aide de λ, x^′, y^′, z^′ et des carrés des distances ‖BC‖^2, ‖CA‖^2, ‖AB‖^2.

Dans cette partie, on note pour simplifier C_0 le cône d'équation yz + zx + xy = 0. Pour la suite, a désigne un réel donné.
IV.A - Soit Ω_a le point de coordonnées (a, a, a). Montrer qu'il existe un réel d_a ≥ 0 tel que, pour tout M ∈ C_0∖{O}, la distance de Ω_a à la droite ( OM ) soit égale à d_a. En déduire la nature de C_0.
IV.B - On suppose désormais a ≠ 0. Soit P_a le plan d'équation x + y + z = a; comment se déduit-il de P_1 ? Pour λ ∈ IR, on désigne par Φ_λ l'application qui à M de coordonnées ( x, y, z ) dans I^3 associe (x + y + z − a)^2 + λ(yz + zx + xy).
Montrer que pour un unique λ_0 ∈ IR, Φ_(λ_0)(M) = 0 est l'équation d'une sphère Σ_a. En donner le centre et le rayon et la situer par rapport à C_0.

IV.C.1) Soit Π un plan non parallèle à P_a; montrer qu'il existe une droite D incluse dans Π et un scalaire μ tels que:

où d(M, D) désigne la distance de M à D.
Indication : on pourra s'intéresser à la relation x + y + z − a = 0; un croquis pourra être utile.
IV.C.2) On suppose, de plus, que Π est tangent à Σ_a en un point F . Pour tout M ∈ Π, exprimer Φ_(λ_0)(M) à l'aide de ‖FM‖.
IV.D - Conclure de ce qui précède que C_0 ∩ Π est une conique de foyer F et de directrice D . Faireun croquis d'ensemble sans nécessairement chercher à repré senter le repère canonique.

Dans cettepartie, on considère q ∈ Q(IR^3), dont on désignepar f la formepolaire.
V.A - Soient E^′ et E^(′′) deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans I^3 et soit s ∈ L(ℝ^3) la symétrie qui à X = X^′ + X^(′′), où (X^′, X^(′′)) ∈ E^′ × E^(′′), associe s(X) = X^′ − X^(′′). Pour (X^′, X^(′′)) ∈ E^′ × E^(′′), exprimer q(X^′ + X^(′′)) − q(X^′ − X^(′′)) à l'aide de f. En déduire que:

On suppose q non dégénérée; on ne demande pas de prouver l'existence et l'unicité de u automorphisme de IR^3 tel que

V. B - Si V est un élément non nul de IR^3, on pose H = {X ∈ IR^3|<V, X>=0}.

Soit F un sous-espace vectoriel de IR^3; montrer que:

V.C - En déduire que l'hyperplan H possède un supplémentaire F vérifiant :

si et seulement si ⟨u^(− 1)(V), V⟩ ≠ 0. Montrer que F est alors unique et en donner une description.
On choisit maintenant V = (1, 1, 1), de sorte que H = P_0. Soit τ = (α, β, γ), avec αβγ ≠ 0; on choisit q = q_τ, on lui associe u comme ci-dessus et on appelle M la matrice de q relativement à la base canonique.
V.D - Déterminer la comatrice de M. Montrer que:

V.E - Si < u^(− 1)(V), V>≠0, on définit F comme ci-dessus, puis s à partir de la décomposition en somme directe IR^3 = F ⊕ P_0. Décomposer alors un vecteur X ∈ I^3 ainsi que son image s(X) sur la somme directe F ⊕ P_0. En déduire que
s laisse stable P_1. En déduire que C_q ∩ P_1 possède un centre de symétrie dont on donnera les coordonnées.
V.F - On suppose au contraire que ⟨u^(− 1)(V), V⟩ = 0.
V.F.1) Quelle est la nature de C_q ∩ P_1 ? On pourra utiliser II.B.2.
V.F.2) On définit une base orthonormale B = (I, J, K) de IR^3 telle que J soit colinéaire à u^(− 1)(V) et K directement colinéaire à V. Étudier soigneusement la forme de la matrice de q relativement à B et retrouver la nature de C_q ∩ P_1. Que représente la direction de J pour cette conique?