Centrale Physique Chimie MP 2001Sujet et rapport du jury

PHYSIQUE-CHIMIE

Partiel - Chimie: quelques propriétés del'aluminium

Données:

I.A - Étude de la configuration électronique de l'aluminium

• n* est le nombre quantique effectif dont la valeur est fonction de n :

• Z^∗ est la charge nucléaire effective, définiepar Z^∗ = Z − σ ( σ est la constante d'écran appliquée à l'électron considérédans une orbitale caractérisée par un couple ( n, l )).

Filière MP

I.B - Étude du réseau cristallin cubique à faces centrées (c.f.c.)

I.C - Les ions de l'aluminium en solution aqueuse

I.C.2) Le graphe C1 représente les variations des x_i en fonction du pH. Identifier les différentes courbes en justifiant vos choix.
I.C.3) On ajoute progressivement de la soude suffisamment concentrée (le volume reste pratiquement constant) à une solution de chlorure d'aluminium de concentration

c_0 = 0, 5 mol ⋅ L^(− 1).
a) Un précipité apparaît pour pH_1 et disparaît pour pH_2. Interpréter ce phénomène et déterminer pH_1 et pH_2. J ustifier les approximations éventuelles à l'aide du graphe C1.
b) Déterminer la valeur pH_3 pour laquelle la quantité de précipité est la plus grande.
c) Montrer que si c_0 est inférieure à une limite s_m que l'on calculera, il est impossible de former le précipité.

I.D - La corrosion de l'aluminium

Données:

Partie II - Physique: à propos du rayonnement du corps noir

II.A - Pression cinétique

• le gaz est homogène ; on note n = N/V la densité moléculaire.
• Ia distribution des vitesses des molécules est homogène et isotrope. Elle n'a pas besoin d'être connue: on écrira simplement que la probabilité pour qu'une molécule ait la vitesse v⃗ de coordonnées ( v_x, v_y, v_z ) à ( dv_x, dv_y, dv_z ) près est: dP_r = Af(v^2)dv_x dv_y dv_z où f(v^2) est unefonction inconnueet A une constante de normalisation qu'il est inutile de connaître.
• Ia pesanteur est négligée.
  II.A.1) Pourquoi la fonction f qui, a priori, dépend de ( v_x, v_y, v_z ) ne dépendelle, en fait, que de v^2 ?
  II.A.2) Soit une surface d'aire dS de la paroi (l'axe Ox est normal à la paroi et dirigé vers l'extérieur de l'enceinte). Écrire le nombre dN de molécules qui frappent dS pendant la durée dt, tout en ayant une vitesse de coordonnées (v_x, v_y, v_z) à (dv_x, dv_y, dv_z) près (on écrira ce nombre en fonction de N, V, dP_r, v_x, dS et dt ).
  II.A.3) On suppose que les molécules rebondissent sur la paroi symétriquement par rapport à la normale, selon les lois du choc élastique. Déterminer la quantité de mouvement d^2 वे transférée à l'élément de surface dS par ces molécules pendant la durée dt.
  

  

  
  II.A.4) En tenant compte de toutes les vitesses v_x possibles, exprimer la quantité de mouvement totale dq transférée à dS pendant la durée dt en fonction de n, m, dS, dt et v_x^2^– (où v_x^2^– = ∫_(v_x = − ∞)^(+ ∞)v_x^2 dP_r ).
  En déduire la force exercée par les molécules sur dS puis la pression p exercée sur la paroi, pression quel'on exprimera en fonction de n, m, et v¯_x^2 puis en fonction de n, m, et v^(∗2) ( v^∗ étant la vitesse quadratique moyenne définie par

II.B - Pression de radiation

• Quelles sont les conditions aux limites que doivent satisfaire le champ électrique et le champ magnétique à la surface du miroir ? En déduire l'existence d'une onde réfléchie ( E⃗_r_–, B⃗_r_– ) que l'on explicitera.
• Exprimer alors les champs résultants réels E⃗ et B⃗. Déterminer la densité volumique moyenne d'énergie électromagnétique u de l'onde résultante en fonction de E_0. En déduire le nombre moyen n de photons par unité de volume. Comment ce nombre est-il relié au nombre n_0 de photons que transporte l'onde incidente par unité de volume?
  c) Combien y-a-t-il de photons qui frappent S pendant dt ? En déduirela quantité de mouvement transférée au miroir pendant dt (on rappelle qu'un photon de fréquence v se déplaçant selon Ox a pour quantité de mouvement q→ = (hv/c)u_x^(→−)).
  Déterminer alors la pression (pression de radiation) exercée par l'onde sur le miroir ; on exprimera cette pression en fonction de la densité volumique u d'énergie électromagnétique de l'onde résultante puis en fonction de ε_0 et E_0.
  d) On veut retrouver ce résultat par un raisonnement purement électromagnétique. Pour cela le miroir est assimilé à un métal de conductivité électrique γ. On rappelle que le métal de conductivité γ est considéré comme un milieu de constantes ε_0 et μ_0, sans charges ( ρ = 0 ) mais avec une densité volumique de courant vérifiant

• Écrire les équations de Maxwell dans le métal. Montrer que lechamp électrique E⃗ vérifie une équation de propagation de la forme

• où A et B sont deux constantes que l'on exprimera en fonction de ε_0, μ_0 et γ. Dans toute la suite de cette partie on supposera que γ»ε_0 ω et on fera les approximations qui en découlent. On cherche une solution à ces équations correspondant à une propagation vers les x positifs, où le champ E⃗ s'écrit

• Montrer que, ω étant un réel, ceci n'est possible que si K est un complexe quel'on écrira K = α − αi et dont on explicitera α. Déterminer alors l'expression du champ magnétique B⃗_– en fonction de K, E_2 et ω.
• Lorsque l'onde plane incidente rencontre le miroir métallique elle donne naissance à une onde réfléchie dont le champ électrique est d'amplitude E_1 et à une onde transmise du type précédent. On admettra que les composantes tangentielles des champs, tant électrique que magnétique, sont continues à la traversée d'une telle interface. Déterminer alors E_2 en fonction de E_0 dans l'approximation suggérée. Expliciter les champs réels transmis E⃗_t et B⃗_t en fonction de E_0, ω, α et c.
  En^– déduire la densité volumique de courant j⃗ existant dans le métal.
• On considère, à l'intérieur du métal, un petit parallélépipède de longueur dx et de base de surface dS parallèle à l'interface. Déterminer la force moyenne qui s'exerce dessus. En déduire la force totale s'exerçant sur tout le métal s'appuyant sur dS .
  Montrer que l'on retrouve alors la pression de radiation calculée au c) même si γ devient infini.
  II.B.2) Trois dimensions

On considère à présent le rayonnement enfermé dans une enceinte de volume V et on supposera pour simplifier qu'il y a en permanence N photons, tous de fré

quence v, à l'intérieur de l'enceinte, formant ainsi un «gaz de photons» homogène. On cherche encore à relier la pression qu'exercent ces photons sur les parois à la densité volumique d'énergie.
a) On suppose les parois parfaitement réfléchissantes. Par exemple, par un raisonnement calqué sur celui du II.A, montrer que la pression est reliée à la densité volumique d'énergie par p = u/3.
b) Les photons n'ont plus à présent tous la même fréquence ; on peut alors définir une densité spectrale d'énergie u_v telle que u = ∫_0^∞u_v dv. J ustifier que le résultat précédent reste encore valable.

II.B.3) Thermodynamique du gaz de photons

Nous postulerons que la densité volumique d'énergie ne dépend que de la température T du gaz ; par ailleurs on a toujours p = u/3.
a) Écrire la différentielle de l'entropie S en fonction de dU et dV puis en fonction de u, (du)/(dT), T, V, dV et dT. Sachant que l'entropie est une fonction d'état, en déduire une équation différentielle vérifiée par u(T). Montrer que u est de la forme u(T) = aT^4. Comment s'écrit la densité volumique d'entropie s(T) ?
b) On veut calculer la puissance reçue par un élément de surface d'aire d Σ de la paroi. On pourra procéder comme suit :
on considère les photons de fréquence v (à dv près), dont on note dn(v) le nombre par unité de volume, frappant dΣ pendant dt tout en ayant une vitesse orientée dans une direction faisant un angle θ (à d θ près) avec la normale. Déterminer leur nombre dN_v^θ et en déduire le nombre total d N_v de photons de fréquence v frappant dΣ pendant dt. Quelle est l'énergie correspondante dW_v reçue par dΣ pen-

dant dt ? Quelle est l'énergie totale dW, que l'on exprimera en fonction de c, u, dΣ et dt reçuepar dΣ pendant dt ? En déduire que la puissance reçue par l'élément de surface dΣ de la paroi limitant le gaz s'écrit dP = σT^4 dΣ où σ est constante que l'on explicitera en fonction de a et de c.
c) On rappelle qu'un corps noir est un corps en équilibre thermodynamique avec le gaz de photons. Déterminer la température apparente T_s du soleil en considérant celui-ci comme un corps noir de température T_s.
On donne: σ (constante de Stefan) = 5, 67 × 10^(− 8) W ⋅ m^2 ⋅ K^(− 4) puissance reçue sur terre de la part du soleil (sur 1 m^2 de surface perpendiculaire aux rayons du soleil) : 1, 3 kW ⋅ m^(− 2). Le soleil s'est formé par contraction gravitationnelle d'un nuage de particules supposé initialement très diffus. On veut déterminer l'énergie libérée lors de cette contraction. Pour cela on considère le soleil comme une sphère homogène de masse M_s et dont le rayon r a cru progressivement de 0 à R. Pour faire passer le rayon de r à r + dr, on amène une masse dm de l'infini jusqu'à r; déterminer le travail des forces de gravitation
au cours de cette phase. En déduire l'énergie gravitationnelle totale libérée au cours de la contraction. Supposant que toute cette énergie soit rayonnée, déterminer le temps pendant lequel le soleil rayonnerait de la lumière. Conclusion (on estime l'âge du soleil à environ 5 milliards d'années) ?
II.B.4) Diverses expressions envisageables pour u_v
a) Diverses considérations physiques laissent à penser que u_v ne peut dépendre, au moins dans certains cas, que des paramètres v, T (via k_B T ) et c. Considérant que u_v est un monôme, déterminer par une analyse dimensionnelle l'expression de u_v. Cette expression est-elle complètement déterminée? Prend-elle la forme prévue par Wien : u_v = T^3 f(v/T) ?
Aurait-on pu envisager d'autres paramètres significatifs que ceux utilisés ? Montrer que dans ces conditions, on retrouve l'expression de la densité volumique totale u d'énergie: u = a T^4 ? Conclusion?
b) Wien proposa pour u_v la forme suivante: u_v = (8πhv^3)/(c^3)exp(− (hv)/(k_B T)).

• Montrer que les deux lois précédentes sont des cas particuliers dans des domaines de fréquence que l'on précisera. Peut-on interpréter le choix des paramètres significatifs du II.B. 4 a) à la lumière de la loi de Planck?
• Montrer que l'on retrouve bien u = aT^4 avec la bonne valeur de a

• Quelle est la loi donnant u_λ (densité spectrale d'énergie par unité de longueur d'onde) en fonction de λ ?
• La courbe de la fonction

• Une antenne détectrice pointée vers le ciel a permis de mesurer un rayonnement isotrope de densité spectrale u_λ = Ky . Le maximum est obtenu à la longueur d'onde de 1, 1 mm. Que peut-on en déduire? Les théories actuelles montrent que le rayonnement créé

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Le satellite COBE emportait avec lui, pour l'étude du spectre du rayonnement fossile, un interféromètre de Michelson ; nous allons étudier le principe d'une telle expérience de spectrométrie. Un interféromètre de

Michelson (figure 4) dont les miroirs M_1 et M_2 sont perpendiculaires entre eux et respectivement perpendiculaires aux axes OO_1 et OO_2 de l'appareil est éclairé par une source ponctuelle S placée au foyer d'une lentille convergente. On néglige tous les
effets d'absorption ou de réflexions multiples sur la compensatrice (non repré sentée) et sur la séparatrice.
Le miroir M_1 est mobile et se déplace à vitesse constante à partir de la position x = 0 correspondant à une différence de marche nulle.Un détecteur D est placé au foyer image d'une deuxième lentille et délivre un signal proportionnel à l'intensité lumineuse qu'il recueille.
a) Quelle est, en fonction du déplacement x du miroir M_1, la différence de marche δ entre les deux faisceaux, au niveau du détecteur?
b) La source S émet un rayonnement monochromatique de longueur d'onde λ_0 (et de nombre d'onde σ_0 = 1/λ_0 ); on note I_0 l'intensité recueillie en D Iorsque I'un des miroirs est masqué. Déterminer, en fonction de δ, I_0 et σ_0, l'intensité lumineuse I recueillie par D.
c) La source S émet un rayonnement formé de deux radiations monochromatiques également intenses, de nombres d'onde σ_0 et σ_0 + Δσ (on supposera Δσ«σ_0 ). Déterminer l'intensité I en fonction de δ. Exprimer la visibilité des franges