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Centrale Mathématiques 1 MP 2001Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Mathématiques I Centrale MP : répartition des zéros des polynômes de Taylor de l'exponentielle
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Le problème étudie la répartition des zéros des polynômes de Taylor de la fonction exponentielle au point 0, à travers l'étude d'une fonction filtre. Il comporte quatre parties quasiment indépendantes balayant largement le programme : étude d'une courbe plane, modules des racines, répartition des arguments des racines, puis racines de partie réelle positive.

  1. 1Partie I : étude d'une courbe planeÉtude d'une courbe plane associée aux polynômes de Taylor de l'exponentielle.
  2. 2Partie II : étude des modules des racinesÉtude des modules des racines des polynômes de Taylor, avec leur comportement asymptotique.
  3. 3Partie III : répartition des argumentsÉtude de la répartition et de l'équirépartition des arguments des racines.
  4. 4Partie IV : racines de partie réelle positiveÉtude des racines des polynômes de Taylor dont la partie réelle est positive.

Difficile. Le rapport parle de médiocrité des résultats obtenus, imputable à des définitions de base et des théorèmes fondamentaux non connus, et signale un faible rendement des parties I, II et de certaines questions de la partie III qui correspondaient pourtant aux trois quarts du barème.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Définitions de base non connues · Théorèmes fondamentaux mal appliqués · Techniques de base non assimilées
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La médiocrité des résultats est imputable à plusieurs facteurs : des définitions de base non connues, des théorèmes fondamentaux mal appliqués, des techniques de base non assimilées et des règles de logique non respectées. Ces insuffisances expliquent le faible rendement de parties pourtant largement accessibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définitions de base non connues

    Les définitions d'homéomorphisme croissant, de difféomorphisme et de fonction de classe C1 par morceaux ne sont pas connues.

  2. 2
    Théorèmes fondamentaux mal appliqués

    La caractérisation des fonctions strictement croissantes, la formule de Taylor avec reste intégral, le théorème de convergence dominée et le théorème de convergence d'une série entière sur son intervalle de convergence sont mal maîtrisés.

  3. 3
    Techniques de base non assimilées

    La manipulation des inégalités, la division par une expression éventuellement nulle, le calcul de dérivée, le développement limité et la manipulation des équivalents posent problème.

  4. 4
    Règles de logique non respectées

    Les candidats ont des difficultés à nier une assertion, à quantifier un résultat à établir, et confondent condition nécessaire, condition suffisante et condition nécessaire et suffisante.

Conseils du jury

  • Réviser précisément les définitions de base (homéomorphisme, difféomorphisme, fonction de classe C1 par morceaux) avant l'épreuve.
  • S'entraîner à quantifier correctement un résultat à établir et à nier une assertion avec rigueur.
  • Traiter en priorité les parties I, II et le début de la partie III, largement accessibles et représentant les trois quarts du barème.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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MATHÉMATIQUES I

Pour tout entier naturel non nul n, on notera P_n le polynôme de Taylor d'ordre n del'exponentielle au point 0 :
P_n(X) = ∑_(k = 0)^n(x^k)/(k!)
On notera : [λ_(n, 1), λ_(n, 2), …, λ_(n, n)] un système de racines complexes de P_n. On remarquera qu'en posant
pour tout n ∈ ℕ^∗, z_(n, k) = (λ_(n, k))/n,
le système [z_(n, k)]_(1 ≤ k ≤ n) est un système de racines du polynôme
Π_n = P_n(nX).
Le but de ce problème est d'établir les deux résultats suivants, auxquels on donnera un sens précis et dont la preuve fera l'objet des parties II et III du problème, qu'on peut conjecturer à l'aide d'un logiciel de calcul formel :
Lorsque n → ∞, les nombres complexes ξ_(n, k) = z_(n, k)e^(− z_(n, k)) tendent à "s'accumuler" sur le cercle de centre 0 et de rayon 1/e.
Les nombres complexes ξ_(n, k) tendent à se répartir "régulièrement" sur le cercle précédent. Dans la dernière partie on applique ce résultat à l'obtention d'un équival ent du nombre de racines de P_n dont la partie réelle est positive. Enfin quelques rappels dont la preuve n'est pas demandée.
1- Une suite extraite (ou sous suite) d'une suite ( z_n ) de nombres complexes est une suite de la forme ( z_(p_n) ) où ( p_n ) est une suite strictement croissante d'entiers [ on pourra noter p_n, p(n) si l'on préfère].
2- De toute suite bornée de nombres réels ou complexes on peut extraire une suite convergente.
3- (Convergence dominée pour les séries) Soit (u_(n, k))_((n, k) ∈ IN × IN), une suite double de nombres complexes. On suppose qu'existe une suite ( v_k ) de réels positifs telle que :
Pour tout couple ( n, k ), |u_(n, k)| ≤ v_k.
Pour tout entier k, la suite n a u_(n, k) admet une limite l_k.
La série de terme général v_k converge.

Filière MP

Alors pour tout n ∈ IN la série
∑_(k ≥ 0)u_(n, k) converge et la série ∑_(k ≥ 0)l_k converge
et I'on a: lim_(n → ∞)∑_(k = 0)^∞u_(n, k) = ∑_(k = 0)^∞I_k
Les trois premières parties sont indépendantes entre el les sauf les questions II.E. 3 et III.C.1.

Partiel - Étuded'une courbe plane

I.A - Soit z = ρe^(iθ) un nombre complexe ( ρ ∈ I_+^∗ et θ ∈ IR ). Déterminer, en fonction de ρ et de θ une forme trigonométrique du nombre complexe ξ = ze^(− z).
I.B - Démontrer que la fonction u , définie sur ] 0,1 ] par :
u(t) = (1 + lnt)/t
est un homéomorphisme croissant de ] 0,1 ] sur ] - ∞, 1 ] dont la fonction réciproque est de classe C^1 sur ] − ∞, 1[.
I.C - En déduire l'existence d'une fonction θ a r(θ) de IR dans IR telle que pour tout réel θ, r(θ) ∈ ]0, 1] et :
r(θ)e^(− r(θ)cosθ) = 1/e
I.D - Exprimer de manière simple r(0), r(π/2). Donner une valeur approchée à 10^(− 6) près, en justifiant l'algorithme utilisé, de la constante r(π).
I.E - Montrer que r est une fonction continue, 2π-périodique et paire; démontrer qu'elle est de classe C^1 sur ]0, 2π[ et que, pour tout θ ∈ ]0, 2π[ :
(dr)/(dθ) = (r^2 sinθ)/(rcosθ − 1)
I.F - Donner un équivalent simple en h de la fonction v définie par ha v(h) = 1 − u(1 − h) lorsque h → 0 par valeurs supérieures (u est défini au I.B). Grâce à une expression de 1 − cosθ à l'aide de u(r(θ)), en déduire que, lorsque θ → 0 par valeurs supérieures :
r(θ) = 1 − θ + o(θ)
Prouver que θ a r(θ) est de classe C^1 par morceaux sur IR .
I.G - Un plan affine euclidien orienté est rapporté à un repère orthonormé direct ; dessiner sommairement la courbe Γ dont une équation polaire est ρ = r(θ). Quelle est l'image de Γ par la transformation complexe za ze^(− z) ?

Partiell - Étude des modules des racines

n désigne toujours un entier naturel non nul.
II.A - Prouver que, pour k ∈ [ [1, n] ], les λ_(n, k) sont deux à deux distincts. Il en est donc de même des z_(n, k).
II.B - Pour p entier naturel, on pose:
q_(n, p) = (n!)/(n^p(n − p)!) = ∏_(j = 0)^(p − 1)1 − j/n si 1 ≤ p ≤ n si p > n
On considère le polynôme Q_n défini par :
Q_n(X) = (n!)/(n^n)X^n Π_n 1/X
où Π_n a été défini par la formule (1). Montrer que
Q_n(X) = ∑_(p = 0)^n q_(n, p)X^p = ∑_(p = 0)^∞q_(n, p)X^p
Exprimer les racines de Q_n à l'aide des z_(n, k).

II.C -

II.C.1) Soit r un réel tel que 0 < r < 1. Montrer que, pour tout nombre complexe z tel que |z| ≤ r :
|1/(1 − z) − Q_n(z)| ≤ ∑_(p = 0)^∞(1 − q_(n, p))r^p
Déterminer :
lim_(n → ∞)sup_(|z| ≤ r)|1/(1 − z) − Q_n(z)|
11.C.2) En déduire que, pour n assez grand, toute racine z de Q_n satisfait |z| > r puis que pour tout R > 1, il existe un entier naturel N tel que pour tout entier naturel n > N, on ait:
∀k ∈ {1, 2, …, n}, |z_(n, k)| < R
II.D - On considère une suite ( z_p ) de nombres complexes qui converge vers un complexe z tel que |z| ≤ 1.
II.D.1) Déterminer la limite de la suite (z_p e^(− z_p)) si Re(z) = 1.
II.D.2) On suppose Re(z) ≠ 1, déterminer la limite des suites de terme général :
α_p = ∫_0^p 1 − t/p^p e^(z_p t)dt et β_p = (p^p)/(p!)^(1/(p + 1))
puis la limite de la suite de terme général :
|(p^p)/(p!)∫_0^p 1 − t/pe^(z_p t)dt|^(1/(p + 1))

II.E - Comportement asymptotique des |ξ_(n, k)|

II.E.1) Soit z une racine complexe du polynôme Π_p. Prouver la relation:
− z = (ze^(− z))^(p + 1)(p^p)/(p!)∫_0^p 1 − t/p^p e^(zt)dt
(on pourra utiliser uneformule deTaylor)
II.E.2) Soit ( p_n ) une suite strictement croissante d'entiers naturels et ( z_(p_n) ) une suite de complexes telle que, pour chaque entier n, z_(p_n) soit une racine de Π_(p_n). On suppose de plus que cette suite converge vers un nombre complexe z. Montrer que |z| ≤ 1 et en déduire, à l'aide de la formule (2), que |ze^(− z)| = 1/e.
II.E.3) Démontrer qu'en posant ξ_(n, k) = z_(n, k)e^(− z_(n, k)) :
lim_(n → ∞)max_(1 ≤ k ≤ n)||ξ_(n, k)| − 1/e| = 0
(on pourra raisonner par l'absurdeet utiliser la question précédente).

Partielll - Répartition des arguments

Dans toute cette partie, n est un entier naturel non nul. On pose, pour p ∈ IN, non nul :
s_(n, p) = ∑_(k = 1)^n z_(n, k)^p; s_(n, p) = ∑_(k = 1)^n ξ_(n, k)^p(toujours avec ξ_(n, k) = z_(n, k)e^(− z_(n, k)))
On note ρ_(n, k) le module de ξ_(n, k) et φ_(n, k) ∈ IR l'un quel conque de ses arguments, de sorte que :
ξ_(n, k) = ρ_(n, k)e^(iφ_(n, k))
Enfin on rappelle que le polynôme Q_n et les q_(n, p) ont été définis à la question II.B.
III.A - Démontrer, que la fonction f_n de la variable réelle x :
xa − (Q_n^′(x))/(Q_n(x))
est développable en série entière au voisinage de 0 et que:
f_n(x) = ∑_(p = 0)^∞s_(n, p + 1)x^p

III.B - Majoration des S_(n, p)

III.B.1) Établir, pour n ≥ 1, et p ≥ 0, la relation:
− (p + 1)q_(n, p + 1) = ∑_(i = 0)^p q_(n, i)s_(n, p + 1 − i)
III.B.2) Calculer s_(n, 1). Prouver, par récurrence sur l'entier p, que, pour tout n ≥ 1 et pour tout p ≥ 1 :
|s_(n, p)| ≤ 3^p
en déduire:
|S_(n, p)| ≤ 3^p e^(3p)

III.C - Équirépartition des φ_(n, k)

III.C.1) Soit p ∈ ℤ non nul. Prouver que:
lim_(n → ∞)1/n∑_(k = 1)^n e^(ipφ_(n, k)) = 0
III.C.2) En déduire que, si f est une fonction 2π-périodique, continue, de classe C^1 par morceaux sur IR, à valeurs complexes:
lim_(n → ∞)1/n∑_(k = 1)^n f(φ_(n, k)) = 1/(2π)∫_(− π)^π f(φ)dφ

Partie IV - Étude des racines de partie rédle positive

IV.A - Notons r_(n, k) le module de z_(n, k) et θ_(n, k) son argument tel que − π ≤ θ_(n, k) < π. Démontrer que:
lim_(n → ∞)(max_(1 ≤ k ≤ n)|r_(n, k) − r(θ_(n, k))|)
(on pourra raisonner commeà la question II.E.3).
Comment interpréter ce résultat qualitativement ?
IV.B - Déduire de la question III.C. 2 et de la précédente que, si f est unefonction 2π-périodique, continue, de classe C^1 par morceaux sur IR, à valeurs complexes :
lim_(n → ∞)1/n∑_(k = 1)^n f[θ_(n, k) − r(θ_(n, k))sinθ_(n, k)] = 1/(2π)∫_(− π)^π f(φ)dφ
IV.C - On note N_n le nombres de racines de P_n dont la partie réelle est positive. Démontrer que lorsque n → ∞ :
N_n ∼ 1/2 − 1/(eπ)n

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte Mathématiques I Centrale MP 2001 ?
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Sur quels chapitres porte Mathématiques I Centrale MP 2001 ?

Le sujet porte sur l'étude des zéros des polynômes de Taylor de l'exponentielle, mobilisant les séries entières, la formule de Taylor avec reste intégral, le théorème de convergence dominée et des notions de logique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à Mathématiques I Centrale MP 2001 ?

Des définitions de base non connues (homéomorphisme, difféomorphisme), des théorèmes fondamentaux mal appliqués, des techniques de calcul non assimilées et des règles de logique non respectées, notamment pour nier une assertion ou la quantifier.

Mathématiques I Centrale MP 2001 est-il difficile ?

Le rapport parle de médiocrité des résultats obtenus, avec un faible rendement même sur les parties largement accessibles qui représentaient les trois quarts du barème.

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