Centrale Mathématiques 1 MP 2002Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Polynômes de Tchebychev et caractérisation des fonctions indéfiniment dérivables et analytiques sur [-1,1]

Le problème, inspiré des idées de S. Bernstein, utilise les polynômes de Tchebychev pour montrer que les fonctions indéfiniment dérivables sur [-1,1] sont exactement celles dont la meilleure approximation par des polynômes décroît rapidement, puis relie les fonctions approchées à décroissance exponentielle aux fonctions analytiques. Il s'appuie notamment sur les séries de Fourier.

1Partie I : polynômes de Tchebychevpremière annéeÉtablir les premières propriétés des polynômes de Tchebychev, calculer des normes et l'équation différentielle qu'ils vérifient.
2Partie II : application des polynômes de Tchebychev à la majoration des polynômes et de leurs dérivéesUtiliser l'interpolation de Lagrange et les polynômes de Tchebychev pour majorer un polynôme et ses dérivées successives.
3Partie III : détermination de l'ensemble F∞Étudier les coefficients de Fourier d'une fonction et son développement en série de Tchebychev pour caractériser les fonctions de classe C∞.
4Partie IV : étude de l'ensemble EexpCaractériser les fonctions dont le développement en série de Tchebychev décroît exponentiellement et les relier aux fonctions développables en série entière.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le problème, malgré sa longueur, a été facile à corriger, et que les deux premières parties ne mobilisaient que des notions de première année, mais que très peu de candidats ont traité sérieusement la partie IV.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Récurrence utilisant un résultat non encore établi · Convergence normale des séries de fonctions mal connue · Fonction C∞ supposée développable en série entière

Les questions ont été abordées dans l'ordre du sujet et les deux premières parties, accessibles, ont été largement traitées, mais le jury déplore un manque récurrent de rigueur et des lacunes sur des techniques de base pourtant rappelées d'année en année.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Récurrence utilisant un résultat non encore établiI.A.1
Beaucoup de candidats établissent la question I.A.1 à l'aide de la formule à trois termes de la question I.A.3, ce qui les conduit à une récurrence dont l'initialisation faisait partie de la question I.A.2.
2
Convergence normale des séries de fonctions mal connue
La notion de convergence normale d'une série de fonctions n'est pas connue de la quasi-totalité des candidats, qui appliquent le théorème de dérivation terme à terme dès que la série converge uniformément.
3
Fonction C∞ supposée développable en série entière
Pour un très grand nombre de candidats, une fonction indéfiniment dérivable est considérée comme ipso facto développable en série entière.
4
Confusion entre le polynôme et la fonction polynomiale associéeI.C
De nombreux candidats s'étonnent que l'on calcule une expression avec le polynôme alors que le texte précise que la fonction polynomiale associée porte la même notation.

Ce qui a été bien réussi

Le thème des polynômes de Tchebychev, déjà rencontré en exercice pendant la préparation, n'a pas laissé les candidats en terrain inconnu.
Les deux premières parties, n'utilisant que des notions de première année, ont été largement abordées.

Conseils du jury

Maîtriser précisément les quantificateurs, en particulier dans les questions de préliminaire.
Revoir les techniques de base : manipulation des inégalités, modules des nombres complexes, dérivation des fonctions composées, équivalents et développements limités.
Ne pas conclure qu'une fonction C∞ est développable en série entière sans démonstration.
Rédiger un raisonnement par récurrence complet plutôt que d'invoquer « de proche en proche ».

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Mathématiques I

Préliminaires et objectif du problème

On rappelle que

ℕ^∗ = ℕ∖{0}

et que

ℤ^∗ = ℤ∖{0}

.
Pour tout entier

n \in ℕ

on note

ℂ_n[X]

le sous-espace vectoriel de

ℂ[X]

constitué par les polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à

n

.
On munit l'algèbre

C([ - 1, 1], ℂ)

des fonctions à valeurs complexes continues sur le segment

[ - 1, 1]

de la norme

‖‖_\infty

de la convergence uniforme, définie par

(\forallf \in C([ - 1, 1], ℂ)), ‖f‖_\infty = sup_(x \in [ - 1, 1])|f(x)|

Tout polynôme de

ℂ[X]

est identifié à la fonction polynomiale qu'il induit sur

[ - 1, 1]

Soit

(λ_n)_(n \in ℕ)

une suite de réels positifs.

On dit que cette suite $(λ_n)_(n \in ℕ)$ est à décroissance rapide si pour tout entier $k \in ℕ$ elle est dominée par la suite $(n^(- k))_(n \in ℕ^*)$ , c'est-à-dire si

(\forallk \in ℕ)(\existsM_k \in ℝ_+)(\foralln \in ℕ^*), λ_n \leq (M_k)/(n^k).

On note

F_\infty

l'ensemble des fonctions

f \in C([ - 1, 1], ℂ)

pour lesquelles il existe une suite

(Q_n)_(n \in ℕ)

de polynômes telle que:

$\foralln \in ℕ, Q_n \in ℂ_n[X]$
la suite $(‖f - Q_n‖_\infty)_(n \in ℕ)$ est à décroissance rapide.
On dit que cette suite $(λ_n)_(n \in ℕ)$ est à décroissance exponentielle si, pour un certain réel $r \in ]0, 1[$ , elle est dominée par la suite géométrique $(r^n)_(n \in ℕ)$ , c'est-à-dire si

(\existsr \in ]0, 1[), (\existsM \in ℝ_+), (\foralln \in ℕ), λ_n \leq Mr^n

On note

F_(exp)

l'ensemble des fonctions

f \in C([ - 1, 1], ℂ)

pour lesquelles il existe une suite

(Q_n)_(n \in ℕ)

de polynômes telle que:

$\foralln \in ℕ, Q_n \in ℂ_n[X]$
la suite $(‖f - Q_n‖_\infty)_(n \in ℕ)$ est à décroissance exponentielle.

Filière MP

Remarque : Une suite à décroissance rapide (resp. exponentielle) converge vers 0 mais n'est pas forcément décroissante.
L'objectif du problème est de montrer, en utilisant les propriétés des polynômes de Tchebychev établies en Partie I, que les fonctions de l'ensemble

F_\infty

sont exactement les fonctions de classe

C^\infty

sur

[ - 1, 1]

et de relier les fonctions

f

de l'ensemble

E_(exp)

aux fonctions

f

dont la série de Taylor

\sum_(n \geq 0)(f^((n))(a))/(n!)(x - a)^n

en tout point

a \in [ - 1, 1]

converge vers

f(x)

sur un voisinage de

a

.
a) Vérifier que si une suite est à décroissance exponentielle alors elle est à décroissance rapide.
b) Vérifier que les ensembles

F_\infty

F_(exp)

sont des sous-espaces vectoriels de

C([ - 1, 1], ℂ)

. Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre ces deux sous-espaces ?
c)
i) Soit

f

une fonction de classe

C^\infty

sur

[ - 1, 1]

dont toutes les dérivées sont bornées sur

[ - 1, 1]

par un même réel

M

. Montrer que

f \in F_(exp)

.
ii) Donner des exemples de fonctions de

F_(exp)

Partie I - Polynômes de Tchebychev

Pour tout entier

n \in ℕ

on pose :

(\forallx \in [ - 1, 1]), T_n(x) = cos(narccosx)

I.A - Premières propriétés des $T_n$

I.A.1) Montrer que

T_n

est une fonction polynomiale à coefficients entiers. Le polynôme associé est encore noté

T_n

et s'appelle le

n

-ième polynôme de Tchebychev.
I.A.2) Expliciter

T_1, T_2, T_3

T_4

.
I.A.3)

Montrer que pour tout

n \in ℕ, T_(n + 2)(x) = 2xT_(n + 1)(x) - T_n(x)

.
I.A.4) En déduire la parité, le degré et le coefficient dominant de

T_n

.
I.A.5) Écrire un algorithme pour calculer

T_n(X)

On pourra employer le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé ou un langage naturel non ambigu.
I.A.6) Montrer que, pour tout

t \in [0, π]

, on a :

T_n(cost) = cosnt

I.B - Calcul de normes

I.B.1) Calculer

‖T_n‖_\infty

.
I.B.2) Montrer que

(\foralln \in ℕ) (\forallu \in ℝ), |sinnu| \leq n|sinu|

.
I.B.3) En déduire que

‖T_n^'‖_\infty = n^2

.
I.C - Encadrement de

T_n(x)

sur

[1, + \infty[

I.C.1) Montrer que

(\forallr \in ℝ^*), T_n((r + r^(- 1))/2) = (r^n + r^(- n))/2

I.C.2) Soit un réel

x \in [1, + \infty[

.
a) Montrer qu'il existe

r \in ℝ^*

, tel que

x = (r + r^(- 1))/2

.
b) En déduire que

1 \leq T_n(x) \leq (x + \sqrt(x^2 - 1))^n

I.D - Équation différentielle vérifiée sur IR par $T_n$

I.D.1) En dérivant l'égalité

T_n(cost) = cosnt

valable pour tout réel

t \in [0, π]

, trouver une équation différentielle linéaire homogène du second ordre vérifiée sur IR par

T_n

.
I.D.2) Soit

k \in ℕ, k \leq n

. Déduire de la question I.D. 1 que

T_n^((k))(1) = n/(n + k)((n + k)!)/((n - k)!)(2^k k!)/((2k)!)

Montrer que

T_n^((k))(- 1) = (- 1)^(n + k)T_n^((k))(1)

Partie II - Application des polynômes de Tchebychev à la majoration des polynômes et de leurs dérivées

On introduit la subdivision

σ = (a_0, a_1, \dots, a_n)

du segment [

- 1, 1

] définie par :

\forallj \in [0, n], a_j = cos[(1 - j/n)π]

Par ailleurs, pour tout

i \in [0, n]

on appelle

E_i = [0, n]∖{i}

l'ensemble des entiers naturels autres que

i

qui sont inférieurs ou égaux à

n

.
Enfin, pour tout

i \in [0, n]

on note

L_i(X) = (\prod_(j \in E_i)(X - a_j))/(\prod_(j \in E_i)(a_i - a_j))

i

-ème polynôme élémentaire de Lagrange associé à la subdivision

σ

II.A - Majoration d'un polynôme sur $[1, + \infty[$

II.A.1) Résoudre sur

[ - 1, 1]

l'équation

|T_n(x)| = 1

et calculer

T_n^'(a_j)

pour

j = n

, pour

j = 0

puis pour

j \in [1, n - 1]

.
II.A.2) Montrer que

T_n(X) = \sum_(i = 0)^n(- 1)^(n - i)L_i(X)

II.A.3) On suppose que

x \in [1, + \infty[

. Montrer que

T_n(x) = \sum_(i = 0)^n|L_i(x)|

II.A.4) Soit

P(X)

un polynôme appartenant à

ℂ_n[X]

. Montrer que

(\forallx \in [1, + \infty[), |P(x)| \leq ‖P‖_\infty(x + \sqrt(x^2 - 1))^n

II.B - Majoration des dérivées successives d'un polynôme sur [ $1, + \infty$ [

II.B.1) On suppose que

x \in [1, + \infty[

. Montrer que :

(\forallk \in [1, n]), T_n^((k))(x) = \sum_(i = 0)^n|L_i^((k))(x)|.

II.B.2) Soit

P(X)

un polynôme appartenant à

ℂ_n[X]

. Montrer que :

(\forallk \in [1, n]), (\forallx \in [1, + \infty[), |P^((k))(x)| \leq ‖P‖_\inftyT_n^((k))(x).

II.C - Majoration des dérivées successives d'un polynôme sur

[ - 1, 1]

Soit

P \in ℂ_n(X)

. On considère un entier

k \in [1, n]

.
II.C.1) On pose

(\forallλ \in [ - 1, 1]), P_λ(X) = P((λ + ε)/2X + (λ - ε)/2) avec; ε = 1 si λ \in [0, 1] et ε = - 1 si λ \in [ - 1, 0[

Montrer que :

|P_λ^((k))(1)| = ((|λ| + 1)/2)^k|P^((k))(λ)|.

II.C.2) En déduire que

‖P^((k))‖_\infty \leq 2^k T_n^((k))(1)‖P‖_\infty

.
II.C.3) Montrer que :

‖P^((k))‖_\infty \leq 2^(2k)(k!)/((2k)!)((n + k)!)/((n - k)!)‖P‖_\infty

et que, si

k = 1

, on a la majoration plus fine

‖P^'‖_\infty \leq 2n^2‖P‖_\infty

Partie III - Détermination de l'ensemble $E_\infty$

On note

C_(2π)

l'algèbre des fonctions

2π

-périodiques et continues sur

ℝ

, à valeurs complexes. On munit

C_(2π)

de deux normes, la norme quadratique

N_2

définie pour

φ \in C_(2π)

, par

N_2(φ) = (1/(2π)\int_(- π)^π|φ(t)|^2 dt)^(1/2) induite par le produit scalaire hermitien :; (φ|ψ) = 1/(2π)\int_(- π)^π φ(t)^-ψ(t)dt

et la norme

N_\infty

de la convergence uniforme définie par

N_\infty(φ) = sup_(t \in [ - π, π])|φ(t)|.

Pour tout entier

k \in ℤ

on pose

e_k : t \mapsto e^(ikt)

. On rappelle que la famille

(e_k)_(k \in ℤ)

est une famille orthonormale de l'espace préhilbertien (

C_(2π), N_2

) et que, pour tout

k \in ℤ

, le

k

-ième coefficient de Fourier d'une fonction

φ \in C_(2π)

est le complexe

c_k(φ) = (e_k|φ) = 1/(2π)\int_(- π)^π φ(t)e^(- ikt)dt.

Pour tout entier

n \in ℕ

on note

τ_n

le sous-espace vectoriel de

C_(2π)

engendré par les fonctions

e_k

où

k \in [ - n, n]

τ_n = vect(e_(- n), \dots, e_0, \dots, e_n); dim(τ_n) = 2n + 1.

Soit

φ \in C_(2π)

. Pour tout entier

n \in ℕ

, on note

è ô é S_n(φ) = \sum_(k = - n)^n c_k(φ)e_k le n-ième polynôme trigonométrique de Fourier de φ.

III.A - Propriétés liées aux normes $N_2$ et $N_\infty$

III.A.1) On suppose que la série

\sum_(n \geq 1)(|c_n(φ)| + |c_(- n)(φ)|) converge.

Montrer que la suite

(S_n(φ))_(n \in ℕ)

converge uniformément sur

ℝ

vers

φ

.
III.A.2) Soit

φ \in C_(2π)

muni de la norme quadratique

N_2

. On rappelle que

S_n(φ)

est la projection orthogonale de

φ

sur

τ_n

. En déduire que :

(∀ω ∈ τ_n∖{S_n(φ)}), N_2(φ − ω) > N_2(φ − S_n(φ)).

III.A.3) On suppose que la fonction

φ \in C_(2π)

est de classe

C^p

sur

ℝ

, avec

p \geq 1

. Montrer que :

(\forallk \in ℤ^*), |c_k(φ)| \leq (N_\infty(φ^((p))))/(|k|^p).

III.B - Étude d'une application linéaire

On rappelle que

C([ - 1, 1], ℂ)

est muni de la norme

‖‖_\infty

. On note

L

l'application linéaire qui à toute fonction

f

C([ - 1, 1], ℂ)

, associe la fonction

Lf

C_(2π)

définie par

\forallt \in ℝ Lf(t) = f(cost)

.
Montrer que

L

est injective et calculer la norme subordonnée

‖|L|‖_\infty

L

lorsque l'on munit

C_(2π)

de la norme

N_\infty

puis la norme subordonnée

‖L‖_2

L

lorsque l'on munit

C_(2π)

de la norme

N_2

III.C - Propriétés liées aux coefficients de Fourier d'une fonction $Lf$

Dans cette section on considère une fonction

f

fixée dans

C([ - 1, 1], ℂ)

.
III.C.1) Vérifier que

c_(- k)(Lf) = c_k(Lf)

.
III.C.2) Soit

(Q_n)_(n \in ℕ)

une suite de polynômes telle que pour tout

n \in ℕ

on ait

Q_n \in ℂ_n[X]

. Montrer que :

(\forallk \geq 2), |c_k(Lf)| \leq 1/(\sqrt2)‖f - Q_(k - 1)‖_\infty.

III.C.3) Pour tout entier

n \in ℕ

on pose:

(\forallx \in [ - 1, 1]), U_n(f)(x) = S_n(Lf)(arccosx)

Montrer que :

U_n(f) = c_0(Lf) + 2\sum_(k = 1)^n c_k(Lf)T_k

III.C.4) On suppose que la série

\sum_(k \geq 1)|c_k(Lf)|

converge. Montrer que :

‖f - U_n(f)‖_\infty \leq 2\sum_(k = n + 1)^(+ \infty)|c_k(Lf)|.

III.D - Développement en série de Tchebychev d'une fonction $f$ de $F_\infty$

On suppose dans cette question que

f

est une fonction de l'ensemble

F_\infty

.
III.D.1) Montrer que la suite

(|c_n(Lf)|)_(n \in ℕ)

est à décroissance rapide.
III.D.2) Montrer que :

(\forallx \in [ - 1, 1]), f(x) = c_0(Lf) + 2\sum_(n = 1)^(+ \infty)c_n(Lf)T_n(x)

et que la série de fonctions converge normalement sur

[ - 1, 1]

.
III.D.3) En déduire que

f

est de classe

C^\infty

sur

[ - 1, 1]

et que :

(\forallk \in ℕ), (\forallx \in [ - 1, 1]), f^((k))(x) = 2\sum_(n = 1)^(+ \infty)c_n(Lf)T_n^((k))(x)

III.E - Achèvement de la détermination de l'ensemble $F_\infty$

On suppose dans cette question que

f

est une fonction de classe

C^\infty

sur

[ - 1, 1]

.
III.E.1) Montrer que la suite

(|c_n(Lf)|)_(n \in ℕ)

est à décroissance rapide.
III.E.2) En déduire que

f \in F_\infty

Partie IV - Étude de l'ensemble $E_(exp)$

IV.A - Caractérisation des éléments de l'ensemble $E_(exp)$

IV.A.1) Soit

f

une fonction de

C([ - 1, 1], ℂ)

. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
a)

f \in E_(exp)

.
b) La suite

(|c_n(Lf)|)_(n \in ℕ)

est à décroissance exponentielle.

IV.B - Développement en série de Tchebychev d'une fonction $f$ de $E_(exp)$

On suppose dans cette question que

f

est une fonction de l'ensemble

F_(exp)

. Il existe donc un réel

r \in ]0, 1[

tel que :

(\existsM \in ℝ_+), (\foralln \in ℕ), |c_n(Lf)| \leq Mr^n.

IV.B.1) Justifier le fait que :

(\forallx \in [ - 1, 1]), f(x) = c_0(Lf) + 2\sum_(n = 1)^(+ \infty)c_n(Lf)T_n(x),

que la série de fonctions converge normalement sur

[ - 1, 1]

, que

f

est de classe

C^\infty

sur

[ - 1, 1]

et que :

(\forallk \in ℕ), (\forallx \in [ - 1, 1]), f^((k))(x) = 2\sum_(n = 1)^(+ \infty)c_n(Lf)T_n^((k))(x)

IV.B.2) En déduire que

(\forallk \in ℕ), ‖f^((k))‖_\infty \leq (2M)/(1 - r) \cdot (k!)/([λ(r)]^k), avec λ(r) = ((1 - r)^2)/(4r).

IV.C - Développement en série de Taylor au voisinage de tout point

a \in [ - 1, 1]

d'une fonction

f

F_(exp)

On conserve les mêmes hypothèses qu'à la question précédente pour

f

. Soit un point

a \in [ - 1, 1]

Montrer que la série de Taylor :

\sum_(n \geq 0)(f^((n))(a))/(n!)(x - a)^n

f

au point

a

converge vers

f(x)

sur le voisinage

[ - 1, 1] \cap ]a - λ(r), a + λ(r)[

du point

a

.
IV.D - Inclusion stricte entre

E_(exp)

E_\infty

Montrer que la fonction

f

définie par

(∀x ∈ [ − 1, 1]∖{0}), f(x) = exp(− 1/(x^2)) et f(0) = 0

appartient à

F_\infty

mais n'appartient pas à

E_(exp)

IV.E - Réciproque partielle concernant la détermination de l'ensemble $E_(exp)$

Soit

f

une fonction à valeurs réelles ou complexes développable en série entière sur un intervalle ouvert

] - ρ, ρ[

, avec

ρ > 1

. Montrer que la restriction de

f

au segment

[ - 1, 1]

appartient à

E_(exp)

- FIN •••

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale MP 2002 ?

Le sujet porte sur les polynômes de Tchebychev, l'interpolation de Lagrange, les séries de Fourier et les séries entières, pour caractériser les fonctions indéfiniment dérivables et analytiques sur [-1,1].

Le sujet de maths 1 Centrale MP 2002 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme facile à corriger malgré sa longueur, les deux premières parties étant accessibles avec des notions de première année, mais la partie IV a été très peu traitée.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 Centrale MP 2002 ?

Le jury signale une méconnaissance de la convergence normale des séries de fonctions et l'idée fausse selon laquelle toute fonction C∞ serait développable en série entière.

Faut-il bien connaître les polynômes de Tchebychev pour ce sujet de maths 1 Centrale MP 2002 ?

Le sujet les redéfinit et en établit les propriétés dès la partie I, ce qui le rend accessible même sans connaissance préalable approfondie.

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Ce qui a été bien réussi

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Mathématiques I

Préliminaires et objectif du problème

Filière MP

Partie I - Polynômes de Tchebychev

I.A - Premières propriétés des T_n

I.B - Calcul de normes

I.D - Équation différentielle vérifiée sur IR par T_n

Partie II - Application des polynômes de Tchebychev à la majoration des polynômes et de leurs dérivées

II.A - Majoration d'un polynôme sur [1, + ∞[

II.B - Majoration des dérivées successives d'un polynôme sur [ 1, + ∞ [

Partie III - Détermination de l'ensemble E_∞

III.A - Propriétés liées aux normes N_2 et N_∞

III.B - Étude d'une application linéaire

III.C - Propriétés liées aux coefficients de Fourier d'une fonction Lf

III.D - Développement en série de Tchebychev d'une fonction f de F_∞

III.E - Achèvement de la détermination de l'ensemble F_∞

Partie IV - Étude de l'ensemble E_(exp)

IV.A - Caractérisation des éléments de l'ensemble E_(exp)

IV.B - Développement en série de Tchebychev d'une fonction f de E_(exp)

IV.E - Réciproque partielle concernant la détermination de l'ensemble E_(exp)

- FIN •••

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale MP 2002 ?

Le sujet de maths 1 Centrale MP 2002 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 Centrale MP 2002 ?

Faut-il bien connaître les polynômes de Tchebychev pour ce sujet de maths 1 Centrale MP 2002 ?

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 MP 2002

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 MP 2002

I.A - Premières propriétés des $T_n$

I.D - Équation différentielle vérifiée sur IR par $T_n$

II.A - Majoration d'un polynôme sur $[1, + \infty[$

II.B - Majoration des dérivées successives d'un polynôme sur [ $1, + \infty$ [

Partie III - Détermination de l'ensemble $E_\infty$

III.A - Propriétés liées aux normes $N_2$ et $N_\infty$

III.C - Propriétés liées aux coefficients de Fourier d'une fonction $Lf$

III.D - Développement en série de Tchebychev d'une fonction $f$ de $F_\infty$

III.E - Achèvement de la détermination de l'ensemble $F_\infty$

Partie IV - Étude de l'ensemble $E_(exp)$

IV.A - Caractérisation des éléments de l'ensemble $E_(exp)$

IV.B - Développement en série de Tchebychev d'une fonction $f$ de $E_(exp)$

IV.E - Réciproque partielle concernant la détermination de l'ensemble $E_(exp)$