Centrale Mathématiques 1 MP 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: La partie I de Centrale maths 1 MP 2004 est-elle faisable ?

Elle ne demande que des connaissances de base sur les séries de Fourier, les séries entières et les intégrales, mais le jury note qu'elle a été très mal traitée.

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Transformée de Mellin de t ↦ ln t · ln(1-t) / t : étude locale, développements en série et prolongement

Le sujet de mathématiques 1 MP 2004 de Centrale-Supélec étudie la fonction F(z), intégrale sur ]0,1[ de t^(-z) ln t ln(1-t) / t, qui est une transformée de Mellin. Une partie élémentaire calcule d'abord la somme d'une série à l'aide d'une série de Fourier, d'une série entière et d'une intégrale. Le problème étudie ensuite les propriétés locales de F sur son domaine de définition, puis cherche à la prolonger par des développements en série.

1Partie I : calcul de la somme d'une sérieCoefficients de Fourier d'un créneau impair, somme d'une série entière, calcul d'une intégrale et décomposition en éléments simples pour obtenir S3.
2Partie II : étude locale de FDomaine de définition Re z < 1, limites, régularité, dérivées partielles, dérivabilité complexe et développement en série entière au voisinage de 0.
3Partie III : développements en sérieÉcriture de F comme somme d'une série, intégrabilité sur l'axe imaginaire, convergence d'une série double et prolongement de F.

Difficulté moyenne. Le rapport estime que le texte comporte peu de difficultés majeures, hormis la dérivabilité de F et deux questions ouvertes, mais que même la partie élémentaire a été très mal traitée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Séries de Fourier sans hypothèses · Rayon de convergence éludé · Intégrabilité oubliée

Le jury se dit déçu : les candidats abordent les questions de façon formelle, utilisent mal les théorèmes du cours et ignorent souvent les propriétés des fonctions de référence. La partie I, qui ne demande que des connaissances de base, a un rendement étonnamment faible, et la suite du problème est à son image. Même la recherche du domaine de définition de F est rarement correcte.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Séries de Fourier sans hypothèsesI.A
L'hypothèse assurant l'existence des coefficients n'est jamais citée, le théorème de Dirichlet est mal appliqué et un candidat sur deux n'utilise pas Parseval pour calculer S1.
« Le théorème de DIRICHLET est fort mal connu et son application est parfois surprenante. »
2
Rayon de convergence éludéI.B
Le rayon de convergence de la série entière est souvent éludé ou obtenu par un usage abusif de la règle de d'Alembert, et la valeur L(0) est rarement trouvée.
3
Intégrabilité oubliéeI.B.2
Presque personne ne vérifie l'intégrabilité avant de calculer l'intégrale I ; les intégrations par parties sont souvent abandonnées.
« quasiment aucun candidat ne se préoccupe de lʼintégrabilité de la fonction »
4
Intégration terme à terme injustifiéeI.B.2 et I.B.3
La convergence uniforme est invoquée sur un intervalle où elle ne permet pas de conclure, et le calcul mène à S2 au lieu de l'intégrale demandée.
« seul un très petit nombre de candidats sait justifier lʼintégration terme à terme dʼune série »
5
Décomposition en éléments simples absenteI.B.4
La convergence de la série S3 est rarement montrée et la décomposition de la fraction rationnelle, remplacée par des combinaisons devinées de S1 et S2.
« rares sont ceux qui décomposent la fraction rationnelle »
6
Théorèmes hors programme
Les résultats hors programme ne rapportent pas de points ; une utilisation pertinente des théorèmes fondamentaux est préférable.
« lʼutilisation des thèorèmes hors programme nʼest pas pris en compte dans lʼétablissement de la note »

Ce qui a été bien réussi

Un assez grand nombre de copies sont présentées de façon agréable.

Conseils du jury

Citer systématiquement les hypothèses des théorèmes utilisés, notamment pour les séries de Fourier et l'intégration terme à terme.
Vérifier l'intégrabilité d'une fonction avant de calculer son intégrale.
Maîtriser les propriétés élémentaires des fonctions de référence et les outils de base comme la décomposition en éléments simples.
Soigner la lisibilité de la copie : les copies difficiles à déchiffrer subissent des points de minoration.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES I

Avertissement
Les trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit une valeur particulière de la fonction

F

étudiée dans les parties II et III.

Partie I - Calcul de la somme d'une série

I.A -

I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier de la fonction

2π

-périodique impaire

f : ℝ \to ℝ

, nulle en 0 et

π

, et égale à 1 sur

]0, π[

. Pour tout entier

n \geq 0

, expliciter la somme partielle de Fourier

S_n f

f

.
I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions (

S_n f

) ? En déduire la valeur de

S = \sum_(n = 0)^\infty((- 1)^n)/(2n + 1)

I.A.3) Calculer

S_1 = \sum_(n = 0)^\infty1/((2n + 1)^2)

I.B -

I.B.1) Préciser le domaine d'existence dans

ℝ

L(x) = \sum_(n = 0)^\infty(x^(2n))/(n + 1)

Exprimer

L(x)

à l'aide de fonctions usuelles.
I.B.2) Calculer l'intégrale

I = \int_0^1(ln(1 - x^2))/(x^2)dx

I.B.3) En déduire la valeur de

S_2 = \sum_(n = 0)^\infty1/((2n + 1)(n + 1))

Filière MP

I.B.4) Exprimer

S_3 = \sum_(n = 1)^\infty1/(n(n - 1/2)^2)

en fonction de

S_1

S_2

. En déduire la valeur de

S_3

Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent:

Pour tout réel $t > 0, lnt$ désigne le logarithme népérien de $t$ .
Si $t$ est un réel strictement positif et si $z = x + iy$ , où $(x, y) \in ℝ^2$ , est un complexe, on note $t^z = exp(zlnt)$ .
On définit la fonction $p : ]0, 1[ \to ℝ$ par

p(t) = (lnt \cdot ln(1 - t))/t.

Pour tout

z

complexe tel que la fonction

t \mapsto t^(- z)p(t)

est intégrable sur

]0, 1[

, on pose

F(z) = \int_0^1 t^(- z)p(t)dt

On définit ainsi une fonction

F

de la variable complexe

z

; on notera encore, par extension,

F

la fonction de deux variables réelles associée.
Ainsi, pour

(x, y) \in ℝ^2, F(x, y) = F(x + iy)

.
Le but du problème est d'étudier la fonction

F

Partie II - Étude locale de F

II.A - Montrer que le domaine de définition de

F

est

Ω = {z/z \in ℂ, Re(z) < 1}

. On pose

I = Ω \cap ℝ = ] - \infty, 1[

.
II.B - Déterminer la limite de

F(z)

quand la partie réelle de

z

tend vers

- \infty

II.C -

II.C.1) Déterminer la limite de

F(x)

quand le réel

x \in I

tend vers 1.
II.C.2) Pour tout

x \in I

, on pose

G(x) = \int_0^1 t^(- x)|lnt|dt. Calculer G(x)

II.C.3) Prouver que la limite de

F(x) - G(x)

, quand

x \in I

tend vers 1 , existe et est finie.
II.C.4) En déduire la limite de

(F(x))/(G(x))

quand

x \in I

tend vers 1 .
II.D - Montrer que la restriction de

F

I

est

C^\infty

. Pour tout

x \in I

, donner l'expression de la dérivée

k

-ième

F^((k))(x)

sous forme intégrale.

II.E -

II.E.1) Établir que

F

est de classe

C^\infty

sur

Ω

. Si

k

l

sont deux entiers

\geq 0

et si

z \in Ω

, exprimer la dérivée partielle

é (\partial^(k + l)F)/(\partialx^k\partialy^l)(z) sous la forme d'une intégrale.

II.E.2) Comparer

(\partialF)/(\partialx)

(\partialF)/(\partialy)

.
II.E.3) Évaluer

(\partial^2 F)/(\partialx^2) + (\partial^2 F)/(\partialy^2)

II.F -

II.F.1) Soient

z \in Ω

(z_n)

une suite de points de

Ω

, distincts de

z

, qui converge vers

z

. Prouver l'existence de

lim_(n \to \infty)(F(z_n) - F(z))/(z_n - z).

On pourra utiliser la continuité de

(\partialF)/(\partialx)

et de

(\partialF)/(\partialy)

, ainsi que le résultat de II.E.2.
On observera que cette limite ne dépend que de

z

, et non de la suite

(z_n)

.
Par la suite, on note

DF(z)

cette limite.
On définit ainsi une application

DF : Ω \to ℂ

.
II.F.2) Pour tout entier

k \geq 2

, démontrer l'existence de l'application

D^k F = D(D^(k - 1)F) : Ω \to ℂ

. On convient que

D^1 F = DF

II.G -

II.G.1) Pour tout réel

t > 0

, développer en série entière de

u

la fonction

u \in ℂ \to t^(- u)

. Préciser le rayon de convergence.
II.G.2) Établir qu'au voisinage de 0 ,

ù F(z) = \sum_(k = 0)^\inftyc_k z^k où c_k = 1/(k!)\int_0^1(- lnt)^k p(t)dt

II.G.3) Quel est le rayon de convergence

R

de la série entière (1) ?

II.H -

II.H.1) Déterminer un équivalent de

c_k

quand

k \to \infty

.
II.H.2) Quelle est la nature de la série (1) quand

|z| = R

Partie III - Développements en série

III.A -

III.A.1) Développer en série entière de

t \in ℝ

la fonction

t \to (ln(1 - t))/t

. Préciser le rayon de convergence.
III.A.2) Pour tout entier

n \geq 0

et tout

z \in Ω

, calculer

u_n(z) = \int_0^1 t^(n - z)lntdt

III.A.3) Démontrer que

F(z) = \sum_(n = 1)^\infty1/(n(n - z)^2)

.
III.B -

III.B -

III.B.1) Pour tout

x \in I

, exprimer

φ(x) = \int_(- \infty)^x F(u)du

sous forme d'une série ne faisant plus intervenir d'intégrale. Préciser

φ(0)

.
III.B.2) Déterminer un équivalent de

φ(x)

quand

x \in I

tend vers 1.

III.C -

III.C.1) Si

y \in ℝ

, on pose

H(y) = F(iy)

. Les fonctions

|H|

|H|^2

sont-elles intégrables sur

ℝ

? Préciser la valeur de

\int_(- \infty)^\inftyH(y)dy

III.C.2) Pour quelles valeurs des réels

α

β

, la somme

S(α, β) = \sum_(m, n \geq 1)(mn)^(- α)(m + n)^(- β) est-elle finie ?

III.C.3) Si

K_(m, n) = \int_(- \infty)^\infty(y + im)^(- 2)(y - in)^(- 2)dy

où

m

n

sont des entiers

\geq 1

, calculer

K_(m, n)

. En déduire la valeur de

1/(4π)\int_(- \infty)^\infty|H(y)|^2 dy sous la forme S(α, β)

III.D -

III.D.1) Démontrer que la série de fonctions obtenue en III.A. 3 converge sur un domaine

Ω~

ℂ

que l'on précisera. On note encore

F

le prolongement de

F

Ω~

. Prouver que

F

est de classe

C^\infty

sur

Ω~

.
III.D.2) Soient

p

un réel,

n_0

un entier

> 0, z

z^'

deux complexes dont les parties réelles sont majorées par

n_0

. Pour tout entier

n > n_0

, majorer

|(z^' - n)^(- p) - (z - n)^(- p)|

en fonction de

n, n_0, p

|z^' - z|

.
III.D.3) Avec les notations de II.F. 1 et II.F.2, pour tout entier

k \geq 1

et tout

z \in Ω~

, établir l'existence de

D^k F(z)

qu'on exprimera sous forme de somme d'une série.

III.E -

III.E.1) Pour tout entier

k \geq 0

, évaluer

c_k

, défini en II.G.2, sous forme de somme d'une série numérique.
III.E.2) Retrouver, à l'aide du III.E.1, le résultat obtenu en II.H.1.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale MP 2004 ?

Il mobilise les séries de Fourier, les séries entières, les intégrales à paramètre, l'intégration terme à terme et les séries numériques, autour de la transformée de Mellin d'une fonction.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Centrale MP 2004 ?

Le jury relève des hypothèses de théorèmes jamais citées, un théorème de Dirichlet mal connu, l'intégrabilité non vérifiée et une intégration terme à terme presque jamais justifiée.

Quelles sont les questions difficiles du sujet Centrale maths 1 MP 2004 ?

Selon le rapport, la dérivabilité de F dans le demi-plan Re z < 1 et de son prolongement, ainsi que deux questions ouvertes : l'équivalent de c_k et le domaine de convergence d'une série double.

La partie I de Centrale maths 1 MP 2004 est-elle faisable ?

Elle ne demande que des connaissances de base sur les séries de Fourier, les séries entières et les intégrales, mais le jury note qu'elle a été très mal traitée.

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