Centrale Mathématiques 1 MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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MATHÉMATIQUES I

Notations et objectifs du problème

On rappelle qu'une ellipse d'un plan affine euclidien, de demi-axes $a$ et $b(a > b > 0)$ , notée ( $E_(a, b)$ ) admet, dans un certain repère orthonormé, une représentation paramétrique de la forme :

{x = acost; y = bsint

(

t

décrit un segment de longueur

2π

$𝒞_(2π)$ désigne le $C$ -espace vectoriel des fonctions continues sur $ℝ, 2π$ - périodiques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini par:

(f|g) = 1/(2π)\int_(- π)^π f(t)^-g(t)dt

Pour $k \in ℤ, n \in ℕ$ et $f \in 𝒞_(2π)$ on rappelle les expressions des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques de $f$ , utiles dans le problème :

c_k(f) = 1/(2π)\int_(- π)^π f(t)e^(- kit)dt, a_n(f) = 1/π\int_(- π)^π f(t)cos(nt)dt.

Dans tout le problème $r$ désignera un nombre réel appartenant à l'intervalle ouvert $]0, 1[$ et $f_r$ l'élément de $𝒞_(2π)$ défini par : $t \mapsto |1 - re^(it)|$
On désignera aussi par $𝒮_r$ l'ensemble des suites réelles $(a_n)_(n \geq 0)$ vérifiant, pour tout entier naturel non nul $n$ , la relation :

r(2n + 3)a_(n + 1) - (1 + r^2)2na_n + r(2n - 3)a_(n - 1) = 0

ℬ_r

le sous-ensemble de

𝒮_r

constitué des suites (

a_n

) telles que le rayon de convergence de la série entière de terme général

a_n z^n

soit au moins égal à 1 .

Dans tout le problème $(α_n)_(n \geq 0)$ sera la suite réelle définie par:

α_n = (- ((2n)/n))/(4^n(2n - 1)) pour tout n \in ℕ

(Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noter

C_(2n)^n

le coefficient binomial).

La partie entière du réel $x$ est notée $[x]$ .

Filière MP

L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation $\sqrtz$ ne sera prise en considération que lorsque $z$ est un nombre réel positif.
L'objectif du problème est l'étude de quelques problèmes asymptotiques relatifs à la longueur, notée $L(a, b)$ , de l'ellipse ( $E_(a, b)$ ).

Partie I - Préliminaires

I.A - Préciser sur un dessin la signification géométrique du paramètre

t

intervenant dans le paramétrage (1).
I.B - Prouver rapidement que

𝒮_r

ℬ_r

sont des

R

- espaces vectoriels et préciser la dimension de

𝒮_r

.
I.C - Donner sans démonstration l'énoncé précis du théorème de Parseval relatif à un élément

f \in 𝒞_(2π)

(les coefficients de Fourier intervenant dans la formule seront les coefficients exponentiels).
Si

f

g

sont deux éléments de

𝒞_(2π)

, prouver, en justifiant d'abord la convergence absolue de la série, la formule :

(f|g) = c_0(f)^-c_0(g) + \sum_(n = 1)^\infty(c_n(f)^-c_n(g) + c_(- n)(f)^-c_(- n)(g)).

I.D - Soit

n

un entier naturel. Exprimer

a_n(f_r)

à l'aide de

c_n(f_r)

.
I.E - Soient

a

b

deux réels vérifiant

a > b > 0

. On pose

r = (a - b)/(a + b)

Exprimer, en fonction de

a, b

et de constantes, le réel

(L(a, b))/(a_0(f_r))

Partie II - .Comportement asymptotique de la suite ( $a_n(f_r)$ )

II.A - Déterminer le rayon de convergence

R

de la série entière de terme général

α_n z^n

. On notera

f(z)

sa somme dans le disque ouvert complexe de centre 0 et de rayon

R

.
II.B - Soit

x

un réel appartenant à l'intervalle ouvert

] - R, R[

. Donner une relation entre

(1 - x)f^'(x)

f(x)

. En déduire une expression simple de la restriction de

f

à l'intervalle ouvert

] - R, R[

.
II.C - On choisit maintenant un complexe

z

tel que

|z| < R

. Déterminer une expression très simple de

f(z)^2

.
II.D - Prouver, pour

r \in ]0, 1[

t \in ℝ

, la relation :

|f(re^(it))|^2 = f_r(t)

.
II.E - Soit

n

un entier naturel. En utilisant la question I.C et la précédente, prouver l'égalité :

(c_n(f_r))/(α_n r^n) = \int_0^(+ \infty)α_([x])(α_(n + [x]))/(α_n)r^(2[x])dx

En déduire la limite de cette suite quand l'entier

n

tend vers l'infini.
II.F - Prouver que, quand

n \to \infty

a_n(f_r) \sim (\sqrt(1 - r^2)r^n)/(\sqrtπn^(3/2)).

En quoi ce résultat corrobore-t-il votre cours sur les séries de Fourier?

Partie III - Approximation de $L(a, b)$

III.A - Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre satisfaite par

f_r

. En déduire que la suite (

a_n(f_r)

) appartient à

ℬ_r

.
III.B - Pour tout réel

r \in ]0, 1[

, on définit deux suites

(A_n(r))_(n \geq 0)

(B_n(r))_(n \geq 0)

par:

A_0(r) = 1, B_0(r) = 0, A_1(r) = - 2/r(1 + r^2), B_1(r) = 1

et les relations de récurrence, valables pour

n \geq 2

A_n(r) = (2n(1 + r^2))/(r(2n - 3))A_(n - 1)(r) - ((2n + 1)/(2n - 5))A_(n - 2)(r); B_n(r) = (2n(1 + r^2))/(r(2n - 3))B_(n - 1)(r) - ((2n + 1)/(2n - 5))B_(n - 2)(r)

on définit également, pour

n \geq 1

, la matrice

M_n(r)

par:

M_n(r) = (A_n(r), - (2n + 3)/(2n - 3)A_(n - 1)(r); B_n(r), - (2n + 3)/(2n - 3)B_(n - 1)(r)).

Pour alléger la rédaction, les candidats pourront remplacer, chaque fois que cela leur paraîtra utile, les expressions

A_n(r), B_n(r), M_n(r)

, par

A_n, B_n, M_n

Pour

n \geq 1

, déterminer une matrice

T_n

, dont les coefficients dépendent de

n

r

, telle que pour toute suite

(a_n)_(n \geq 0)

appartenant à

𝒮_r

on ait :

((a_(n - 1))/(a_n)) = T_n((a_n)/(a_(n + 1)))

Écrire, dans le langage de calcul formel de votre choix, des fonctions prenant en argument l'entier

n

et retournant

a_n, A_n, B_n; a_0, a_1

r

seront considérés comme des variables globales. Montrer que, pour tout entier

n \geq 1

, on a:

M_n = M_(n - 1)T_n

En déduire le produit matriciel

M_n((a_n)/(a_(n + 1)))

indépendamment de

n

III.C - Soit

(u_n)_(n \in ℕ)

une suite réelle telle qu'existent une suite

(ε_n)

tendant vers 0 , un réel

l

, un réel

k \in ]0, 1[

et un entier

N

vérifiant :

\foralln > N, |u_n - l| \leq k|u_(n - 1) - l| + ε_n

Montrer que

lim_(n \to \infty)u_n = l

.
III.D - Prouver que :

lim_(n \to \infty)A_n a_n(f_r) = (a_0(f_r))/(1 - r^2)

Que dire de la suite de terme général

B_n a_n(f_r)

lorsque

n

tend vers l'infini?
III.E - Soient

a

b

deux réels tels que

a > b > 0

. On pose

r = (a - b)/(a + b)

. À l'aide des questions II.E et III.D, démontrer que la suite

(l_n)

définie par :

{l_0 = (a + b)π(1 − r^2)^(3/2); l_1 = l_0(1 + r^2); l_n = (1 + r^2)l_(n − 1) − (r^2(2n + 1)(2n − 3))/(4n(n − 1))l_(n − 2) converge vers L(a, b)

Partie IV - Étude de $𝒮_r$ et de $ℬ_r$

IV.A - Soit

(a_n)_(n \geq 0)

un élément de

𝒮_r

. Prouver l'égalité :

a_1 A_n - a_0 B_n = a_(n + 1)detM_n

IV.B - Calculer

detT_n

puis

detM_n

. Donner un équivalent de

detM_n

.
IV.C - Préciser la dimension et une base de

ℬ_r

. Soit (

a_n

) un élément de

𝒮_r

qui n'appartient pas à

ℬ_r

. Déterminer un équivalent simple de

a_n

lorsque

n \to \infty

-••FIN •••

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Notations et objectifs du problème

Filière MP

Partie I - Préliminaires

Partie II - .Comportement asymptotique de la suite ( a_n(f_r) )

Partie III - Approximation de L(a, b)

Partie IV - Étude de 𝒮_r et de ℬ_r

-••FIN •••

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 MP 2006

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Partie II - .Comportement asymptotique de la suite ( $a_n(f_r)$ )

Partie III - Approximation de $L(a, b)$

Partie IV - Étude de $𝒮_r$ et de $ℬ_r$