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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

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Étude des solutions d'une équation fonctionnelle f'(x) = f(γx)
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Le problème étudie les solutions de l'équation fonctionnelle f'(x) = f(γx), d'abord pour |γ| ≤ 1 par les séries entières et un théorème de point fixe, puis pour γ > 1 par des séries de fonctions indexées sur Z, et enfin par une méthode d'itération géométrique sur des intervalles I(p).

  1. 1Première partieRésoudre le système (Cγ,α) pour γ=1 et γ=-1, construire une solution en série entière, puis démontrer l'existence et l'unicité par un théorème de point fixe.
  2. 2Deuxième partieConstruire, pour γ>1, une solution du système sur ]-∞,0] à l'aide d'une série de nombres complexes indexée sur Z.
  3. 3Troisième partieÉtudier l'espace des solutions sur ]0,+∞[ par itération géométrique sur les intervalles I(p) = [γ^p, γ^(p+1)].

Accessible. Le rapport indique que cette épreuve facile ne comportait aucune difficulté ni subtilité, hormis peut-être la question 8, et qu'il fallait traiter 93% des questions pour obtenir 20/20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,62 / 20 · écart-type 4,04 · 1 457 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,62/ 20
Écart-type
4,04
Copies
1 457
moyenne 9,6205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Perte de temps sur une question évidente · Continuité confondue entre plusieurs variables · Linéarité invoquée à tort
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Le rapport qualifie l'épreuve de facile, sans réelle difficulté hormis la question 8. Les candidats qui ont réussi sont ceux qui ont résolu rapidement et de manière concise les premières questions et qui ne se sont pas laissés impressionner par le contexte plus inhabituel de la deuxième partie.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Perte de temps sur une question évidenteQ1

    Justifier en une page ou plus la première question, pourtant évidente, est déjà une erreur par la perte de temps qu'elle implique.

    « Justifier en une page (ou plus. ..) cette première question est déjà une erreur par la perte de temps qu’elle imp lique. »
  2. 2
    Continuité confondue entre plusieurs variablesQ5.b

    L'erreur commune a été de penser qu'une fonction de plusieurs variables était continue dès qu'elle l'était pour chacune de ses variables séparément.

    « L’erreur commune a été de penser qu’une fonction de plu sieurs variables était continue »
  3. 3
    Linéarité invoquée à tortQ4.a

    Il fallait éviter de parler de la linéarité, inexistante, de TA et se concentrer sur sa continuité.

    « Eviter de parler de la linéarité (inexistente) de TA »
  4. 4
    Deux pièges combinés en question 8Q8

    Il fallait comprendre qu'il était nécessaire de définir une nouvelle suite de coefficients, puis que la somme de ces coefficients pouvait être nulle, ce qui était effectivement le cas.

  5. 5
    Théorème de Cauchy-Lipschitz non applicableQ10

    Le théorème de Cauchy-Lipschitz ne peut pas s'appliquer ici, contrairement à ce que certains candidats ont tenté.

    « il faut aussi redire que le théorème de Cauchy-Lipschitz ne peut s'appliquer ici »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 a été traitée avec un taux d'efficacité de 99%.
  • La récurrence de la question 9, malgré le jeu sur deux entiers k et n, n'était pas trop difficile et affiche un taux de 72%.
  • La question 12.d, bien que difficile, a souvent été bien comprise par les candidats qui l'ont abordée.

Conseils du jury

  • Répondre de manière concise aux questions faciles pour ne pas perdre de temps sur les questions les mieux rémunérées ensuite.
  • Bien distinguer la continuité conjointe d'une fonction de plusieurs variables de la continuité séparée en chacune.
  • Toujours vérifier les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer, plutôt que d'invoquer un résultat impressionnant.
  • Ne pas se laisser déstabiliser par le contexte inhabituel des dernières parties du sujet.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

CONCOURS D'ADMISSION 2006

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Étude des solutions d'une équation fonctionnelle

Ce problème a pour but l'étude des solutions de l'équation
f^′(x) = f(γx)
où l'inconnue f est une fonction réelle dérivable d'une variable réelle et où γ est un nombre réel fixé non nul. On considérera aussi le système
f^′(x) = f(γx), f(0) = α
(C_(γ, α))
où α est un nombre réel fixé.

Première partie

Dans cette première partie, la variable x varie dans R et on suppose |γ| ⩽ 1.
  1. Résoudre le système ( C_(γ, α) ) dans le cas où γ = 1.
  2. Même question dans le cas où γ = − 1.
    3.a) Vérifier que la série entière α∑_(n = 0)^(+ ∞)γ^(n(n − 1)/2)(x^n)/(n!) est absolument convergente pour tout réel x et que sa somme est solution du système ( C_(γ, α) ).
    3.b) En serait-il de même si l'on supposait |γ| > 1 ?
  3. Étant donné un nombre réel A > 0, on désigne par E_A l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur l'intervalle [ − A, A] et on le munit de la norme ‖ ‖ définie par ‖g‖ = sup_(|x| ⩽ A)|g(x)|. On note T_A l'application de E_A dans lui-même définie par
(T_A g)(x) = α + ∫_0^x g(γt)dt
4.a) Vérifier que l'application T_A est continue.
4.b)Vérifier qu'une fonction dérivable f sur R est solution de ( C_(γ, α) ) si et seulement si, pour tout A > 0, la restriction de f à [ − A, A] est un point fixe de T_A.
4.c) Vérifier que, pour tout entier n > 0, tout réel A > 0, tout x ∈ [ − A, A] et tous g, h ∈ E_A,
|(T_A^n g)(x) − (T_A^n h)(x)| ⩽ |γ|^(n(n − 1)/2)(|x|^n)/(n!)‖g − h‖
4.d) Déterminer un entier n(A) > 0 tel que l'on ait, pour tous g, h ∈ E_A,
‖T_A^(n(A))g − T_A^(n(A))h‖ ⩽ k‖g − h‖
avec une constante k < 1.
4.e) Démontrer l'unicité de la solution du système ( C_(γ, α) ).
5. On pose, pour tout x réel,
f_γ(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)γ^(n(n − 1)/2)(x^n)/(n!)
5.a) Déterminer la limite de f_γ(x) lorsque γ tend vers 0 .
5.b) Montrer que la fonction (γ, x) ↦ F(γ, x) = f_γ(x), définie maintenant sur l'ensemble [ − 1, 1] × R, est de classe C^∞.
5.c) On suppose ici γ ⩾ 0 et on s'intéresse à la fonction f_γ restreinte à l'intervalle [ − 1, + ∞[. Déterminer son signe, son sens de variation et sa limite lorsque x → + ∞.

Deuxième partie

Notations. Étant donné une suite de nombres réels u_n, où n parcourt l'ensemble Z, on dira que la série ∑_(n ∈ Z)u_n est absolument convergente si les deux séries ∑_(n ⩾ 0)u_n et ∑_(n > 0)u_(− n) le sont; dans ce cas on posera
∑_(n ∈ Z)u_n = ∑_(n ⩾ 0)u_n + ∑_(n > 0)u_(− n)
Dans cette partie, on suppose γ > 1 et on s'intéresse au système ( C_(γ, α) ) où x parcourt l'intervalle ] − ∞, 0].
6. Étant donné un nombre réel c_0, trouver des nombres réels c_n, n ∈ Z, possédant les propriétés suivantes :
(i) ∑_(n ⩾ 0)|c_n|γ^n < + ∞, ∑_(n ⩾ 0)|c_(− n)|γ^n < + ∞,
(ii) la série ∑_(n ∈ Z)c_n e^(γ^n x) est absolument convergente pour tout x ∈ ] − ∞, 0], et sa somme φ(x) est solution de (C_γ).
N.B. On ne demande pas de prouver l'unicité des c_n.
7. Déduire de la question 6 une solution de ( C_(γ, α) ) sur l'intervalle ] - ∞, 0 ].
8. Que se passe-t-il si l'on suppose x ∈ [0, + ∞[ au lieu de x ∈ ] − ∞, 0], et si l'on remplace la série ∑_(n ∈ Z)c_n e^(γ^n x) par la série ∑_(n ∈ Z)c_n e^(− γ^n x), mais en conservant les conditions (i)?

Troisième partie

Dans cette partie, on suppose γ > 1 et on note G_γ l'espace vectoriel des solutions de ( C_γ ) définies sur l'intervalle ]0, + ∞[. Pour tout p ∈ Z, on pose I_((p)) = [γ^p, γ^(p + 1)].
9. Vérifier que, si f ∈ G_γ, on a
f^((n))(x) = γ^(kn − k(k + 1)/2)f^((n − k))(γ^k x)
pour tous entiers k et n tels que 0 ⩽ k ⩽ n et tout x ∈ ]0, + ∞[.
Pour toute fonction f définie sur ]0, + ∞[, on note f_((p)) la restriction de f à I_((p)).
10. Vérifier que l'application Ψ : G_γ → C^∞(I_((0))) définie par Ψ(f) = f_((0)) est injective.
11. Étant donné un élément g de C^∞(I_((0))), donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur les dérivées de g aux points 1 et γ, pour que g appartienne au sous-espace image de Ψ.
12. On se donne un élément f de G_γ et on fait l'hypothèse que f(γ^(− p)) est nul pour tout entier p ⩾ 0. On se propose de démontrer que f est nulle.
12.a) Vérifier que, pour tout p > 0, on a
f_((− p))^((p))(x) = γ^(p(p − 1)/2)f_((0))(γ^p x), x ∈ I_((− p))
et
f_((− p))^((k))(γ^(− p)) = 0, pour tout k < p
12.b) Déterminer pour tout p > 0 un nombre réel q_p tel que l'on ait, pour tout x ∈ I_((− p)) :
f_((− p))(x) = q_p∫_(γ^(− p))^x(x − t)^(p − 1)f_((0))(γ^p t)dt
[On pourra utiliser la formule de Taylor.]
12.c) Montrer que l'on a ∫_1^γ(γ − t)^(p − 1)f_((0))(t)dt = 0 pour tout p > 0.
12.d) Conclure.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Polytechnique MP 2006 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Polytechnique MP 2006 ?

Le sujet porte sur les séries entières et les séries de fonctions, appliquées à la résolution d'une équation fonctionnelle du type f'(x) = f(γx).

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève surtout une perte de temps sur des questions évidentes, une confusion entre continuité conjointe et continuité séparée, et une mauvaise gestion des questions 8 et 10 plus techniques.

Le sujet Mathématiques 1 Polytechnique MP 2006 est-il difficile ?

Non, le rapport le qualifie de facile, sans réelle difficulté hormis la question 8, avec une moyenne de 9,62 sur 20 mais un barème permettant d'obtenir de bonnes notes en traitant l'essentiel du sujet.

Pas de description pour le moment