WikiPrépaLivrets

Polytechnique Mathématiques 1 MP 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours X

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2005FilièreMPMatièreMathématiques
Annales X-ENS MP MathématiquesX-ENS MP 2005MP MathématiquesMathématiques 2005

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Étude de deux opérateurs sur des fonctions de classe C^n et théorème de Taylor avec reste intégral
Afficher ou masquer la section

Le sujet étudie deux opérateurs agissant sur des fonctions de classe C^n, un opérateur de multiplication et un opérateur intégral, ce qui conduit à une démonstration du théorème de Taylor avec reste intégral. Il se poursuit par des questions de dualité en dimension infinie, s'appuyant sur des outils classiques comme les intégrales à paramètre et le théorème de Fubini.

  1. 1Première partie : opérateurs et formule de TaylorÉtude des opérateurs de multiplication et intégral, changement de variables menant à la formule de Taylor avec reste intégral.
  2. 2Deuxième partie : dualité en dimension infinieQuestions de dualité dans des espaces de dimension infinie, sans recours aux résultats importants du cours sur le sujet.

Difficile. Le rapport indique que la réaction des candidats a été assez faible, la question 7 constituant un obstacle rarement surmonté, avec une moyenne de seulement 8,54 sur 20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,54 / 20 · écart-type 3,54 · 1 398 copies · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
8,54/ 20
Écart-type
3,54
Copies
1 398
moyenne 8,5405101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Formule de Taylor avec reste intégral mal connue · Théorème de Fubini appliqué sur le mauvais domaine · Confusion entre croissance et convexité
Afficher ou masquer la section

Les premières questions étaient aisées, les difficultés commençant à la question 5 et surtout à la question 7, qui reposait sur un changement de variables habile menant à la formule de Taylor. Un traitement correct des six premières questions conduisait toutefois à une note nettement au-dessus de la moyenne.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Formule de Taylor avec reste intégral mal connue7

    De nombreux candidats ont obtenu une formule erronée pour phi_n à la question 7, alors même que le résultat attendu était connu à l'avance.

    « candidats ont obtenu une formule erronée pour φ n »
  2. 2
    Théorème de Fubini appliqué sur le mauvais domaine7a

    La question 7a nécessitait d'appliquer le théorème de Fubini sur le bon domaine, ce qui a rarement été fait ; beaucoup de candidats ont deviné la réponse suggérée par l'énoncé sans la justifier correctement.

  3. 3
    Confusion entre croissance et convexité5a

    La question 5a a posé des difficultés avec des confusions entre croissance et convexité d'une fonction.

  4. 4
    Continuité de f^n non démontrée4c

    Presque personne ne s'est rendu compte qu'il fallait démontrer la continuité de f^n et pas uniquement le fait que f soit dérivable n fois en 0.

  5. 5
    Manque de vérification de la cohérence des résultats6a, 6b

    Un candidat trouvant AB = BA = Id à la question 6a puis une image de A différente de E à la question 6b aurait dû s'inquiéter de cette incohérence.

  6. 6
    Questions de dualité très peu traitées10, 11, 13

    Les questions 10, 11 et 13 sur la dualité ont été très peu traitées, alors que certaines n'étaient pas difficiles si les questions précédentes avaient été faites.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1, calcul simple, n'a pas posé de difficulté.
  • La question 2 a été plutôt bien traitée car les résultats à trouver étaient donnés dans l'énoncé.
  • Les questions 4a et 4b ont été globalement bien traitées.
  • La question 8, corollaire de la question 7, ne posait plus de difficulté une fois cette dernière comprise.

Conseils du jury

  • Utiliser le brouillon avant de rédiger, conseil de base rappelé une fois encore par le jury.
  • Vérifier la cohérence des résultats obtenus entre eux à travers les différentes questions.
  • Démontrer les résultats et non se contenter de les affirmer : les arguments d'autorité comme « on a clairement » ne sont pas pris en compte.
  • Traiter avec soin les six premières questions, qui suffisaient à obtenir une note nettement supérieure à la moyenne.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

PREMIÊRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Endomorphismes d'espaces fonctionnels

Ce problème a pour but l'étude de certains endomorphismes des espaces de fonctions différentiables et des espaces duaux.
Pour tout entier n ⩾ 0 on désigne par E_n l'espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes, de classe C^n, définies sur l'intervalle [ − 1, 1]; pour toute f de E_0 on pose
‖f‖ = sup{|f(x)|, x ∈ [ − 1, 1]}.
Enfin, on munit E_n de la norme π_n définie par
π_n(f) = max{‖f^((k))‖, k = 0, 1, …, n}.
(On ne demande pas de vérifier que π_n est effectivement une norme).

Première partie

  1. Calculer π_n(X^p) où p ∈ N et où X désigne la fonction x ↦ x.
Pour tout f de E_n, n ⩾ 0 et tout g de E_n, n ⩾ 1, on pose
(A_n f)(x) = xf(x), (B_n g)(x) = ∫_0^1 g^′(xt)dt pour tout x ∈ [ − 1, 1]
2.a) Vérifier que A_n f appartient à E_n, et que B_n g appartient à E_(n − 1).
b) Montrer que A_n est une application linéaire continue de E_n dans lui-même, de norme égale à n + 1, et que B_n est une application linéaire continue de E_n dans E_(n − 1), de norme égale à 1 .
3. Calculer les produits B_n A_n et A_(n − 1)B_n, applications de E_n dans E_(n − 1).
4. On se propose maintenant de démontrer que le sous-espace image de A_n est le sousensemble F_n de E_n formé des fonctions g telles que g(0) = 0 et que, en outre, 1/x(g^((n))(x) − g^((n))(0)) admette une limite finie lorsque x tend vers 0 .
a) Traiter le cas où n = 0.
b) Supposant maintenant n > 0, vérifier que ImA_n est inclus dans F_n.
c) Prenant g dans F_n et posant f = B_n g, montrer que f est de classe C^n sur [ − 1, 1] privé de 0 , puis étudier le comportement de 1/x(f^((n − 1))(x) − f^((n − 1))(0)) lorsque x tend vers 0 .
d) Conclure.

Deuxième partie

On désigne par E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes, de classe C^∞, définies sur [ − 1, 1]. Pour toute f ∈ E on pose
δ(f) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/(2^n)(π_n(f))/(1 + π_n(f))
  1. Démontrer les assertions suivantes:
    a) Pour f_1, f_2, f_3 ∈ E, on a
δ(f_1 − f_2) ⩽ δ(f_1 − f_3) + δ(f_2 − f_3)
b) Étant donnés des éléments f et f_i(i ∈ N) de E, les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) δ(f_i − f) tend vers 0 lorsque i tend vers + ∞
(ii) pour tout n ⩾ 0, f_i^((n)) converge uniformément vers f^((n)).
c) La fonction δ définie ci-dessus est-elle la seule pour laquelle les assertions 5.a) et 5.b) sont vraies?
On désigne respectivement par A et B les endomorphismes de E définis par
(Af)(x) = xf(x), (Bg)(x) = ∫_0^1 g^′(xt)dt pour tout x ∈ [ − 1, 1]
6.a) Déterminer les produits AB et BA.
b) Déterminer les noyaux et les images de A et B.
7.a) Déterminer des fonctions φ_n, n = 1, 2, … sur [0, 1] telles que l'on ait, pour toute g ∈ E,
(B^n g)(x) = ∫_0^1 φ_n(t)g^((n))(xt)dt
[On pourra procéder par récurrence sur n.]
b) Calculer (B^n g)(0).
c) On fixe g dans E. Déterminer des polynômes P_n, n = 0, 1, … tels que l'on ait
∀x ∈ [0, 1] ∀n ⩾ 1, (A^n B^n g)(x) = g(x) − P_(n − 1)(x)
[On pourra procéder par récurrence sur n et écrire A^(n + 1)B^(n + 1) = A^n ABB^n.]
d) Déduire de ce qui précède une démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral.
8. Déterminer l'image de A^n et le noyau de B^n.

Troisième partie

On désigne par E^′ l'espace vectoriel des formes linéaires φ sur E possédant la propriété suivante : si des éléments f et f_i(i ∈ N) de E sont tels que δ(f_i − f) tend vers 0 lorsque i tend vers + ∞, alors φ(f_i) tend vers φ(f).
9. Vérifier que, si φ appartient à E^′, il en est de même des formes linéaires φ ∘ A et φ ∘ B.
On note A^′ et B^′ respectivement les endomorphismes de E^′ ainsi définis. Pour tout i ∈ N et tout α ∈ [ − 1, 1], on note φ_(α; i) la forme linéaire sur E : f ↦ f^((i))(α).
10. Pour n entier positif, déterminer Im(A^′)^n et Ker(B^′)^n; montrer que les φ_(0; i), i = 0, …, n − 1, forment une base de Ker(A^′)^n.
11. Déterminer les éléments ψ de E^′ solutions de l'équation (A^′)^n ψ = φ_(0; 0).
Étant donné un nombre complexe α, on désigne par T_α l'endomorphisme de E défini par
(T_α f)(x) = (x − α)f(x) pour tout x ∈ [ − 1, 1]
On pourra admettre les résultats suivants :
(i) si φ appartient à E^′, il en est de même de φ ∘ T_α. On notera T_α^′ l'endomorphisme de E^′ ainsi défini.
(ii) si α ∈ [ − 1, 1], (T_α^′)^n est surjectif et Ker(T_α^′)^n admet pour base les φ_(α; i), i = 0, …, n − 1.
12. Dans cette question on désigne par G un espace vectoriel et par U_1, …, U_r des endomorphismes de G, commutant deux à deux et tels que, pour i ≠ j, on ait
KerU_i = U_j(KerU_i).
Montrer que l'on a
Ker(U_1…U_r) = KerU_1 + … + KerU_r.
  1. Soit Q un polynôme à une indéterminée, à coefficients complexes; notons T_Q l'endomorphisme de E défini par (T_Q f)(x) = Q(x)f(x).
    a) Vérifier que, si φ appartient à E^′, il en est de même de φ ∘ T_Q. On note T_Q^′ l'endomorphisme de E^′ ainsi défini.
    b) Préciser l'image de T_Q^′ et donner une base de son noyau.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte X maths 1 MP 2005 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte X maths 1 MP 2005 ?

Le sujet porte sur l'étude d'opérateurs sur des fonctions de classe C^n, la formule de Taylor avec reste intégral, et des questions de dualité en dimension infinie.

Quelle est la moyenne à X maths 1 MP 2005 ?

D'après le rapport, sur 1398 copies, la moyenne était de 8,54 avec un écart-type de 3,54.

Quelle est la question la plus difficile de X maths 1 MP 2005 ?

Le rapport indique que la question 7, qui menait à la formule de Taylor avec reste intégral par un changement de variables habile, a constitué un obstacle rarement surmonté.

Ce sujet X maths 1 MP 2005 est-il faisable en partie sans tout traiter ?

Oui, le rapport précise qu'un traitement correct des six premières questions conduisait à une note nettement au-dessus de la moyenne.

Pas de description pour le moment