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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2004Sujet et corrigé

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Solutions périodiques d'équations différentielles et stabilité
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Le problème étudie les solutions T-périodiques d'équations différentielles linéaires du premier ordre, en particulier via les coefficients de Fourier quand le coefficient est constant. Il utilise ensuite le théorème du point fixe pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution périodique d'une équation perturbée non linéaire, puis établit un résultat de stabilité asymptotique de la solution nulle.

  1. 1Première partieDéterminer les valeurs pour lesquelles une équation différentielle linéaire homogène admet des solutions T-périodiques non nulles, puis étudier le cas avec second membre en calculant les coefficients de Fourier de la solution.
  2. 2Deuxième partieRéécrire l'équation différentielle perturbée sous forme intégrale, construire un opérateur contractant sur une boule de l'espace des fonctions périodiques et en déduire l'existence et l'unicité d'une solution périodique, étudiée explicitement sur deux exemples.
  3. 3Troisième partieDémontrer, à l'aide d'une inégalité intégrale de type Gronwall, la stabilité asymptotique de la solution nulle d'une équation différentielle perturbée.

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PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

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Solutions périodiques d'équations différentielles

On se propose, dans ce problème, d'étudier les solutions de certaines équations différentielles, et, en particulier, leurs solutions périodiques.
On désigne par T un nombre réel > 0, par P l'espace vectoriel des fonctions définies sur R, réelles, continues et T-périodiques, et enfin par a un élément de P. On pose
A = ∫_0^T a(t)dt, g(t) = exp(∫_0^t a(u)du);
on munit P de la norme définie par
‖x‖ = sup_(t ∈ R)|x(t)|

Première partie

  1. Dire pour quelle(s) valeur(s) de A l'équation différentielle
x^′(t) = a(t)x(t)
admet des solutions T-périodiques non identiquement nulles.
On désigne maintenant par b un élément de P, et on s'intéresse à l'équation différentielle
x^′(t) = a(t)x(t) + b(t)
2.a) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) et préciser leurs intervalles de définition.
2.b) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) qui sont T-périodiques, en supposant d'abord A non nul, puis A nul.
3. On suppose que T = 2π et que la fonction a est une constante k.
3.a) Supposant k non nul, exprimer les coefficients de Fourier x^(n), n ∈ Z, d'une solution x de (E2) appartenant à P, en fonction de k et des coefficients de Fourier de b. Préciser le mode de convergence de la série de Fourier de x.
3.b) Que se passe-t-il lorsque k = 0 ?

Deuxième partie

Dans cette partie on désigne par H une fonction réelle, de classe C^1, définie sur R^2, et on s'intéresse à l'équation différentielle
x^′(t) = a(t)x(t) + H(x(t), t)
  1. Vérifier qu'une fonction x est solution de (E3) si et seulement si elle satisfait la condition
x(t) = g(t)(x(0) + ∫_0^t g(s)^(− 1)H(x(s), s)ds)
  1. On suppose que H est T-périodique par rapport à la seconde variable, et que A est non nul. Montrer que, pour toute fonction x ∈ P, la formule
(U_H x)(t) = (e^A)/(1 − e^A)g(t)∫_t^(t + T)g(s)^(− 1)H(x(s), s)ds
définit effectivement une fonction U_H x de P, et que x est solution de (E3) si et seulement si l'on a U_H x = x.
Dans la suite du problème, on désigne par F une fonction réelle, de classe C^1, définie sur R^2, T-périodique par rapport à la seconde variable ; pour tout ε > 0 on pose H_ε = εF et U_ε = U_(H_ε) de sorte que l'équation différentielle s'écrit
x^′(t) = a(t)x(t) + εF(x(t), t)
On suppose A ≠ 0. Pour tout r > 0 on note B_r la boule fermée de centre 0 , de rayon r dans l'espace normé P. On se propose de démontrer l'assertion suivante : pour tout r > 0 il existe ε_1 > 0 tel que, pour tout ε ⩽ ε_1, l'équation différentielle (E4) admette une unique solution x appartenant à B_r; on la notera x_ε.
On note α_r (resp. β_r ) la borne supérieure de l'ensemble des nombres |F(v, s)| (resp. |(∂F)/(∂v)(v, s)| ) où v ∈ [ − r, r] et s ∈ [0, T].
6.a) Déterminer un réel ε_0 > 0 tel que, pour tout ε ⩽ ε_0, on ait U_ε(B_r) ⊂ B_r.
6.b) Déterminer un réel ε_1 ⩽ ε_0 tel que, pour tout ε ⩽ ε_1, la restriction de U_ε à B_r soit une contraction de B_r.
6.c) Conclure.
7. Étudier le comportement de la fonction x_ε lorsque ε tend vers 0 , le nombre r étant fixé.
8. On suppose maintenant que la fonction a est une constante k ≠ 0 et que la fonction F est de la forme F(v, s) = f(v). Déterminer la solution x_ε de (E4).
[On pourra mettre en œuvre la méthode des itérations successives en partant d'une fonction constante x_0(t) = c_0].
9. On prend maintenant T = 1, k = − 1 et f(v) = v^2; l'équation différentielle (E4) s'écrit donc
x^′(t) = − x(t) + εx(t)^2.
9.a) Indiquer des valeurs possibles pour ε_0 et ε_1.
9.b) Déterminer la solution x_ε de (E5).
9.c) Soit α un nombre réel. Démontrer qu'il existe une unique solution maximale φ_α de (E5) telle que φ_α(0) = α. Déterminer précisément cette solution. Représenter quelques-unes de ces solutions sur un même graphique.

Troisième partie

Dans cette partie, on s'intéresse à l'équation différentielle
x^′(t) = kx(t) + εf(x(t))
en supposant k < 0, f de classe C^1 et nulle en 0 ; on pose
λ = sup_(u ∈ [ − 1, 1])|f^′(u)|
et on suppose ελ < − k.
On se propose de démontrer le résultat suivant : si x est une solution maximale de (E6) telle que |x(0)| < 1, alors elle est définie sur [0, + ∞[ et on a, pour tout t ⩾ 0
|x(t)| ⩽ |x(0)|e^((k + ελ)t)
On pourra admettre ce qui suit : soit φ une fonction positive continue sur un intervalle [0, θ] satisfaisant une inégalité de la forme
φ(t) ⩽ η + ζ∫_0^t φ(s)ds
où η est réel et ζ ⩾ 0; alors
φ(t) ⩽ ηe^(ζt)
  1. Dans cette question, on suppose que l'ensemble des t pour lesquels |x(t)| > 1 est non vide et on note θ sa borne inférieure. Montrer que, pour tout t ∈ [0, θ], on a
|x(t)| ⩽ |x(0)|e^((k + ελ)t)
  1. Conclure.
    N.B. Ce résultat exprime ce que l'on appelle la «stabilité » et la «stabilité asymptotique » de la solution nulle de l'équation différentielle (E6).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 de l'X MP 2004 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 de l'X MP 2004 ?

Il porte sur les équations différentielles linéaires et non linéaires, les séries de Fourier, le théorème du point fixe et les espaces vectoriels normés.

Les trois parties du sujet sont-elles indépendantes ?

La deuxième partie reprend la fonction g construite au début de l'énoncé, et la troisième partie prolonge l'étude de stabilité amorcée dans la deuxième, si bien que le sujet se traite dans l'ordre.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

La résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre, les séries de Fourier, le théorème du point fixe pour les applications contractantes et les majorations de type Gronwall.

Ce sujet utilise-t-il l'analyse fonctionnelle ?

Oui, l'espace des fonctions continues T-périodiques est muni de la norme de la convergence uniforme et un opérateur contractant y est construit pour appliquer le théorème du point fixe.

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