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Polytechnique Mathématiques 2 MP 2004Sujet et corrigé

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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
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Courbures des surfaces dans l'espace R^3

Ce problème propose une étude des surfaces de l'espace R^3 et de leurs courbures totale et moyenne. Pour tout entier n > 0, l'espace R^n sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement (.|.) et ‖. ‖.Lapremièrepartieestconsacréeàdespréliminaires algébriques.

Première partie

  1. Soient x^((1)), …, x^((n)) des éléments de R^(n + 1), (x_j^((i)))_(j = 1, …, n + 1) les composantes de x^((i)) dans la base canonique de R^(n + 1). Pour tout k = 1, …, n + 1 on note V_k le produit par (− 1)^(k + 1)du déterminant de la matrice ( x_j^((i)) ) où i = 1, …, n et j = 1, …, k − 1, k + 1, …, n + 1. On note V le vecteur de R^(n + 1) de composantes V_k.
    1.a) Montrer que V est orthogonal à tous les x^((i)).
    1.b) Comparer les conditions suivantes:
    i) V = 0
    ii) la famille (x^((i)))_(i = 1, …, n) est liée.
    1.c) Exprimer en fonction de ‖V‖ le déterminant des n + 1 vecteurs V, x^((1)), …, x^((n)) dans la base canonique de R^(n + 1).
    2.a) Montrer que, pour tout n-uple de vecteurs (x^((1)), …, x^((n))) linéairement indépendants, il existe un unique vecteur W(x^((1)), …, x^((n))) ayant les propriétés suivantes
    i) W(x^((1)), …, x^((n))) est de norme 1 et orthogonal à tous les x^((i))
    ii) le déterminant des n + 1 vecteurs W(x^((1)), …, x^((n))), x^((1)), …, x^((n)) dans la base canonique de R^(n + 1) est strictement positif.
    2.b) Vérifier que, pour toute rotation R de R^(n + 1), on a
W(R(x^((1))), …, R(x^((n)))) = R(W(x^((1)), …, x^((n))))
  1. Soit (e_1, …, e_n) une base de R^n, Q la matrice de coefficients q_(i, j) = (e_i|e_j).
    3.a) Montrer que Q est inversible et diagonalisable. Que peut-on dire de ses valeurs propres?
    3.b) Soit v un vecteur de R^n, de coordonnées v_i dans la base ( e_1, …, e_n ). Exprimer le vecteur ligne (v_1, …, v_n) en fonction de Q et du vecteur ligne ((v|e_1), …, (v|e_n)).
Dans la suite du problème, on désigne par U une partie ouverte de R^n, par u = (u_1, …, u_n) un élément quelconque de U, par F une application de classe C^2 de U dans R^(n + 1), par ∂_i F (resp. ∂_i∂_j F) ses dérivées partielles d'ordre 1 (resp. 2). On suppose que les n-vecteurs ( ∂_i F ) ( u ) sont linéairement indépendants pour tout u, et on pose W(u) = W((∂_1 F)(u), …, (∂_n F)(u)).
4.a) Vérifier que l'application u ↦ W(u) est de classe C^1.
4.b) Comparer ((∂_k W)(u)|(∂_i F)(u)) et (W(u)|(∂_i∂_k F)(u)).
4.c) Démontrer l'existence et l'unicité de nombres réels a_(i, j)(u) tels que l'on ait
(∂_i W)(u) = ∑_j a_(i, j)(u)(∂_j F)(u)
4.d) On note respectivement A(u), S(u), Q(u) les matrices de coefficients respectifs a_(i, j)(u), (W(u)|(∂_i∂_j F)(u)), ((∂_i F)(u)|(∂_j F)(u)). Vérifier que A(u) = − S(u)Q(u)^(− 1).

Deuxième partie

Dans toute la suite du problème, on suppose n = 2; on a donc un ouvert U de R^2 et une application F de classe C^2 de U dans R^3 telle que les vecteurs (∂_1 F)(u) et (∂_2 F)(u) soient linéairement indépendants pour tout u de U. On a en outre
W(u) = ((∂_1 F)(u) ∧ (∂_2 F)(u))/(‖(∂_1 F)(u) ∧ (∂_2 F)(u)‖)
où. ∧. désigne le produit vectoriel dans R^3. On pose
K(u) = detA(u), H(u) = 1/2trA(u)
où A(u) est la matrice définie à la question 4.d). On note F_i(u), i = 1, 2, 3, les composantes de F(u); on suppose que U contient le point 0 et on fait l'étude de la surface F(U) au voisinage du point F(0).
5. Soit R une rotation de R^3. Montrer que les objets K^(0) et H^(0) associés à l'application F^ = R ∘ F sont égaux respectivement à K(0) et H(0).
6. On suppose que, pour u suffisamment voisin de 0, F(u) est de la forme
F(u) = (u_1, u_2, f(u_1, u_2))
avec f(0) = (∂_1 f)(0) = (∂_2 f)(0) = 0.
6.a) Calculer K(0) et H(0) en fonction des nombres
r = (∂_1∂_1 f)(0), s = (∂_1∂_2 f)(0), t = (∂_2∂_2 f)(0)
6.b) (Cas d'un cylindre) On suppose que f(u_1, u_2) est fonction de u_1 seul, soit f(u_1, u_2) = g(u_1). Exprimer H(0) en fonction de la courbure de la courbe Γ, intersection du cylindre avec le plan x_2 = 0.
7.) Dans cette question, on considère le cas d'une surface de révolution :
F(u) = (f(u_1)cosu_2, f(u_1)sinu_2, u_1)
où f est une fonction strictement positive de classe C^2 définie sur un intervalle I.
7.a) Dire pour quelles valeurs de u les vecteurs (∂_1 F)(u) et (∂_2 F)(u) sont linéairement indépendants.
7.b) Vérifier que
A(u) = f(u_1)^(− 1)(1 + f^′(u_1)^2)^(− 3/2)(f(u_1)f^(′′)(u_1), 0; 0, − (1 + f^′(u_1)^2))
7.c) Donner une fonction f élémentaire pour laquelle H(u) est nul pour tout u.
7.d) Montrer que, pour tous nombres réels α et β, α > 0, il existe f satisfaisant
H(u) = 0 pour tout u, f(0) = α, f^′(0) = β.
Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
7.e) Calculer K(u) pour une telle fonction f.
8.) Indiquer, sans aucun calcul, des surfaces pour lesquelles K(u) et H(u) sont des constantes.

Troisième partie

Dans cette partie, on se propose d'étudier l'effet d'un changement de paramétrage sur les fonctions H et K.
Dans la situation du début de la deuxième partie on note (∂F)/(∂u) la matrice (jacobienne) de coefficients ((∂F)/(∂u))_(i, j) = ∂_j F_i. Notation analogue pour (∂W)/(∂u).
9. Vérifier que (∂W)/(∂u) = (∂F)/(∂u)^t A(u).
On se donne maintenant un difféomorphisme Φ de U sur un autre ouvert U~ de R^2 et on pose Ψ = Φ^(− 1). Pour tout u ∈ U on écrira aussi u~ = Φ(u); on pose F~(u~) = F(u), c'est-à-dire F~ = F ∘ Ψ, et on note W~(u~), A~(u~), K~(u~), H~(u~) les objets définis à partir de F~ et u~ comme W(u), A(u), K(u), H(u) l'ont été à partir de F et u. On suppose U connexe par arcs.
10.a) Exprimer (∂F~)/(∂u~) en fonction de (∂F)/(∂u) et (∂Ψ)/(∂u~), puis (∂_1 F~)(u~) ∧ (∂_2 F~)(u~) en fonction de (∂_1 F)(u) ∧ (∂_2 F)(u) et dét (∂Ψ)/(∂u~).
10.b) Montrer qu'il existe ε ∈ {1, − 1} tel que l'on ait W~(u~) = εW(u) pour tout u ∈ U.
10.c) Exprimer A~(u~) en fonction de ε, A(u) et (∂Ψ)/(∂u~).
10.d) Comparer H~(u~) et H(u), K~(u~) et K(u).

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