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CCINP Mathématiques 1 MP 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

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L'hypothèse « de classe C1 par morceaux » du théorème de convergence normale d'une série de Fourier
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Le sujet examine l'importance de l'hypothèse « de classe C1 par morceaux » dans le théorème de convergence normale d'une série de Fourier, en étudiant ce qui se produit lorsqu'on la retire. Après des résultats préliminaires autour des théorèmes de Cesàro et Fejér, il construit un exemple de série de Fourier divergente en un point, puis établit une condition plus faible menant au théorème de Jordan.

  1. 1Partie I : résultats préliminairesDémontrer des résultats préliminaires autour des théorèmes de Cesàro et Fejér.
  2. 2Partie II : un exemple de série de Fourier divergente en un pointConstruire un exemple où, sans l'hypothèse de classe C1 par morceaux, la série de Fourier peut diverger.
  3. 3Partie III : fonctions à variation bornée, théorème de JordanRechercher une condition plus faible assurant la convergence uniforme de la série de Fourier, menant au théorème de Jordan.

Accessible. Le rapport indique un problème bien équilibré et progressif, ne comportant aucune difficulté sérieuse, avec des questions accessibles jusqu'à la fin et une moyenne de 8,55/20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,55 / 20 · écart-type 3,54 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,55/ 20
Écart-type
3,54
moyenne 8,5505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Théorème de Dirichlet mal énoncé · Notion de classe C1 par morceaux mal comprise · Théorème des accroissements finis appliqué à valeurs complexes
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Le sujet, largement indépendant en ses parties, a permis de ne pas bloquer les candidats et a couvert une grande partie du programme d'analyse de MP avec des questions de cours et des questions classiques. C'est un sujet qui a parfaitement rempli son rôle et permis de bien classer les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème de Dirichlet mal énoncéQ1

    Le théorème de Dirichlet est souvent mal énoncé, alors qu'il n'y a que deux théorèmes de convergence à connaître sur les séries de Fourier.

  2. 2
    Notion de classe C1 par morceaux mal compriseQ2

    Certains candidats justifient qu'une fonction n'est pas de classe C1 par morceaux simplement parce qu'elle n'est pas dérivable en un point.

  3. 3
    Théorème des accroissements finis appliqué à valeurs complexesQ11

    Plusieurs candidats oublient que le théorème des accroissements finis n'est pas valable pour une fonction à valeurs complexes.

  4. 4
    Convergence normale confondue avec une autre convergenceQ6

    Pour certains candidats, la convergence normale reste une notion très floue, avec des oublis de valeurs absolues dans les majorations.

Ce qui a été bien réussi

  • Quelques étudiants ont réussi à faire le sujet en entier.
  • La question 6, bien que facile, a permis de distinguer les candidats maîtrisant réellement la convergence normale.

Conseils du jury

  • Citer tous les théorèmes utilisés en rappelant systématiquement toutes leurs hypothèses.
  • Éviter de trafiquer les calculs pour arriver au résultat attendu.
  • Prendre le temps de bien comprendre la question avant de répondre plutôt que de recopier l'énoncé.
  • Commencer l'épreuve par une lecture diagonale du sujet pour s'en imprégner.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

A propos de l'hypothèse « de classe C^1 par morceaux» du théorème de convergence normale d'une série de Fourier...

Pour toute fonction f : | → |, continue par morceaux et de période 2π, on associe ses coefficients de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c_n(f) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(t)e^(− int) dt et ses coefficients de Fourier trigonométriques définis par :
a_n(f) = 1/π∫_0^(2π)f(t)cos(nt)dt(pour n ∈ ⌉) et b_n(f) = 1/π∫_0^(2π)f(t)sin(nt)dt(pour n ∈ ⌉^∗).
On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x :
S_p(f)(x) = ∑_(n = − p)^p c_n(f)e^(inx) = (a_0)/2 + ∑_(n = 1)^p(a_n(f)cos(nx) + b_n(f)sin(nx)).
On rappelle le théorème de convergence normale :
Si f : | → | est une fonction continue de période 2π et de classe C^1 par morceaux, la série de Fourier de f converge normalement vers la fonction f sur |.
Ainsi, la fonction f est limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques (S_p(f))_(p ∈ ⌝).
Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème l'hypothèse «de classe C^1 par morceaux ».
Une première partie démontre des résultats préliminaires.
Une deuxième partie traite d'un exemple où, sans l'hypothèse «de classe C^1 par morceaux», la série de Fourier peut diverger.
Une troisième partie recherche une condition plus faible pour que, sans l'hypothèse «de classe C^1 par morceaux », on puisse quand même assurer que la série de Fourier de f converge uniformément vers la fonction f sur |.

I. Résultats préliminaires

  1. Si, dans le théorème de convergence normale ci-dessus, on suppose que la fonction f n'est pas continue mais seulement continue par morceaux sur | :
    a. Rappeler le théorème de Dirichlet en précisant de quel type de convergence il s'agit.
    b. Cette convergence pourrait-elle être uniforme sur | ?
  2. On considère la fonction continue φ : | → |, de période 2π, paire et définie pour x ∈ [0, π], parφ(x) = √x.
    Donner l'allure de la courbe de cette fonction et expliquer pourquoi elle n'est pas de classe C^1 par morceaux sur |.

3. Théorème de Cesàro

Soit ( u_n ) une suite de complexes qui converge vers le complexe l.
a. Justifier, simplement, en utilisant un théorème de sommation de relations de comparaison, que : ∑_(k = 0)^n(u_k − l) = o(n + 1) au voisinage de + ∞.
b. En déduire que la suite ((u_0 + u_1 + … + u_n)/(n + 1)) converge vers l.
4. Soit une fonction f : | → | continue et de période 2π dont la somme de Fourier de rang n est notée S_n(f). Pour n entier naturel non nul, on définit la somme de Fejér de f de rang n, notée σ_n(f) comme la moyenne de Cesàro des sommes de Fourier :
σ_n(f) = 1/(n + 1)(S_0(f) + S_1(f) + … + S_n(f)).
On démontre, et nous l'admettrons, le théorème de Fejér :
«La suite de polynômes trigonométriques (σ_n(f)) converge uniformément sur | vers la fonction f».

Une application :

Si f : | → | est une fonction continue et de période 2π telle que la suite (S_n(f)) converge simplement sur |, montrer que la suite (S_n(f)) converge vers la fonction f.
5. Si ( u_n ) est une suite de réels positifs qui converge vers 0 , montrer qu'il existe une suite de réels ( d_n ) décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ u_n ≤ d_n (on pourra, par exemple, vérifier que la suite (sup{u_k, k ≥ n})_n convient).

II. Un exemple de Série de Fourier divergente (en un point)

On considère la suite de fonctions (f_n) définies sur l'intervalle [0, π] pour tout entier naturel non nul n par : f_n(x) = 1/(n^2)sin[(2^(n^3) + 1)x/2].
6. Montrer que la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)f_n converge normalement sur [0, π].
On définit alors la fonction f paire, continue, de période 2π sur | et telle que pour tout réel x ∈ [0, π], f(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)f_n(x).
7. On pose, pour p et k entiers naturels, I_(p, k) = ∫_0^π cos(pt)sin((2k + 1)/2t)dt et, pour q entier naturel, T_(q, k) = ∑_(p = 0)^q I_(p, k).
a. Calculer, pour p et k entiers naturels, l'intégrale I_(p, k).
b. Pour q et k entiers naturels, déterminer un réel positif c_k tel que T_(q, k) = c_k + ∑_(j = k − q)^(k + q)1/(2j + 1) et en déduire que, pour tout couple ( q, k ) d'entiers naturels, T_(q, k) ≥ 0.
c. Déterminer, pour N au voisinage de + ∞, un équivalent simple de ∑_(k = 0)^N 1/(2k + 1).
d. En déduire que, pour k au voisinage de + ∞, T_(k, k) ∼ 1/2lnk.
8. Montrer que, pour p entier naturel non nul, a_p(f) = 2/π∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2)I_(p, 2^(n^3 − 1)).
9. Montrer que, pour p entier naturel non nul, S_2_2 p^3 − 1(f)(0) ≥ (− a_0(f))/2 + 2/(πp^2)T_2_2 p^3 − 1, 2p^3 − 1 (on remarquera que : (a_0)/2 + ∑_(l = 1)^N a_l = (− a_0)/2 + ∑_(l = 0)^N a_l ).
Conclure que la suite (S_n(f)(0)) diverge.

III. Fonctions à variation bornée, Théorème de Jordan

Pour deux réels a < b on note S_([a, b]) l'ensemble des subdivisions de l'intervalle [a, b].
Si f est une fonction de [a, b]→| et σ = (x_0, x_1, …, x_n) ∈ S_([a, b]), on note :
V(σ, f) = ∑_(i = 0)^(n − 1)|f(x_(i + 1)) − f(x_i)|.
On dira que la fonction f est à variation bornée s'il existe un réel positif M tel que pour toute σ ∈ S_([a, b]), l'on ait: V(σ, f) ≤ M.
On appelle alors variation totale de f sur [a, b] le réel positif noté :
V([a, b], f) = sup_(σ ∈ S[a, b])V(σ, f).
  1. Montrer que la fonction f : [0, 1]→| définie par f(0) = 0 et f(x) = xcos(π/(2x)) si x ≠ 0 est continue et n'est pas à variation bornée sur [0, 1].
    (on pourra choisir σ = (x_k)_(0 ≤ k ≤ n + 1) subdivision de [0, 1] : x_0 = 0, x_(n + 1) = 1 et
    ∀k ∈ {1, …, n}, x_k = 1/(2(n + 1 − k))).
  2. Exemples généraux
    a. Montrer qu'une fonction f : [a, b]→| qui est monotone est à variation bornée sur [a, b] et préciser V([a, b], f).
    b. Montrer qu'une fonction f : [a, b]→| qui est somme de deux fonctions monotones est à variation bornée sur [a, b].
    c. Montrer qu'une fonction [a, b]→| qui est continue et de classe C^1 par morceaux est à variation bornée.
  3. Soit une fonction f : [a, b]→| à variation bornée sur [a, b] et soit a < c < b.
Montrer que chacune des restrictions de f aux intervalles [a, c] et [c, b] est à variation bornée et que: V([a, c], f) + V([c, b], f) ≤ V([a, b], f).
Remarque : on peut même montrer qu'il y a égalité mais ce ne sera pas utile pour ce problème.
13. Soit f : | → | une fonction continue et de période 2π telle que la restriction de f à l'intervalle [0, 2π] soit à variation bornée.
Pour n entier relatif et N entier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision σ = (x_k)_(0 ≤ k ≤ n|N) de [0, 2π] définie, pour k entier compris entre 0 et |n|N, par : x_k = (2πk)/(|n|N).
Pour k entier compris entre 1 et |n|N, on notera V_k(f) la variation totale de f sur l'intervalle [x_(k − 1), x_k].
a. Vérifier que : |∑_(k = 1)^(|n|N)∫_(x_(k − 1))^(x_k)(f(t) − f(x_k))e^(− int) dt| ≤ ∑_(k = 1)^(|n|N)V_k(f)(x_k − x_(k − 1)).
b. Montrer que : |∑_(k = 1)^(|n|N)∫_(x_(k − 1))^(x_k)f(x_k)e^(− int)dt| ≤ 1/(|n|)V([0, 2π], f).
c. En déduire que pour tout entier n non nul, |c_n(f)| ≤ (V([0, 2π], f))/(2|n|π).
14. Soit ( u_n ) une suite de complexes, on pose, pour tout entier naturel n, S_n = ∑_(j = 0)^n u_j et σ_n = (S_0 + S_1 + … + S_n)/(n + 1).
On suppose que la suite ( σ_n ) converge vers un complexe L et on suppose qu'il existe une constante réelle A non nulle telle que, pour tout entier naturel k, |u_k| ≤ A/(k + 1).
a. Pour n et k entiers naturels non nuls, exprimer, à l'aide des termes de la suite (u_i), l'expression : k(S_n − L) − (n + k)(σ_(n + k − 1) − L) + n(σ_(n − 1) − L).
b. Soit une suite de réels ( d_n ) décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel n, |σ_n − L| ≤ d_n, montrer que, pour n et k entiers naturels non nuls :
|S_n − L| ≤ (1 + (2n)/k)d_(n − 1) + A(k − 1)/(2(n + 2)).
c. L'entier naturel non nul n étant donné, on choisit k tel que (k − 1)^2 ≤ 4n^2 d_(n − 1) < k^2 ( k − 1 est donc la partie entière de 2n√(d_(n − 1)) ).
Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : |S_n − L| ≤ d_(n − 1) + (1 + A)√(d_(n − 1)). Que peut-on en déduire?
15. Montrer que la série de Fourier d'une fonction f : | → | continue et de période 2π telle que la restriction de f à l'intervalle [0, 2π] soit à variation bornée converge uniformément vers la fonction f.
16. Montrer que la série de Fourier de la fonction φ de la question 2. converge uniformément sur | vers la fonction φ.
17. Application
Montrer que la série de Fourier d'une fonction f : | → |, de période 2π et lipschitzienne converge uniformément sur | vers la fonction f.
Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 CCINP MP 2004 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 CCINP MP 2004 ?

Le sujet porte sur les séries de Fourier, la convergence normale et uniforme de séries de fonctions, et les fonctions à variation bornée.

Quelle est la moyenne du sujet de maths 1 CCINP MP 2004 ?

La moyenne était de 8,55/20 avec un écart-type de 3,54.

Le sujet de maths 1 CCINP MP 2004 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme bien équilibré et progressif, sans difficulté sérieuse, avec des questions accessibles jusqu'à la fin.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 CCINP MP 2004 ?

Le jury signale un théorème de Dirichlet souvent mal énoncé, une notion de classe C1 par morceaux mal comprise, et une application erronée du théorème des accroissements finis à des fonctions complexes.

Pas de description pour le moment