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Centrale Mathématiques 2 MP 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Réseaux du plan complexe, groupe SL2(Z), similitudes stabilisant un réseau et action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré
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Le problème de mathématiques 2, Centrale MP 2004, met en évidence quelques propriétés élémentaires liées à la notion de réseau du plan complexe, première pierre de l'édification de la théorie des courbes elliptiques. Il étudie successivement les matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers et le groupe SL2(Z), les réseaux de C et leurs bases, les similitudes directes de centre O laissant stable un réseau donné, puis l'action du groupe des homographies associées à SL2(Z) sur le demi-plan de Poincaré.

  1. 1Partie I : matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiersStructure d'anneau de l'ensemble des matrices entières, groupe des unités GL2(Z), sous-groupe SL2(Z), puis réduction (diagonalisation ou trigonalisation) de matrices particulières.
  2. 2Partie II : réseaux de CStructure algébrique d'un réseau du plan complexe, effet d'un changement de base sur un réseau, et condition pour que deux bases engendrent le même réseau.
  3. 3Partie III : similitudes directes de centre O laissant stable un réseauÉtude de la similitude entre réseaux, de l'ensemble S(Λ) des similitudes directes stabilisant un réseau donné, et de son lien avec les polynômes du second degré à coefficients entiers.
  4. 4Partie IV : action du groupe Γ sur le demi-plan de PoincaréÉtude du groupe Γ des homographies associées à SL2(Z), images de cercles et de droites par une homographie particulière, domaine fondamental F, et démonstration que Γ est engendré par deux homographies.

Difficile. Le rapport indique que rares sont les candidats qui ont conservé une idée claire des notions structurelles de base, que l'incompréhension de la notion d'inversibilité a été totale sur une question, et qu'à partir de la question II.D une majorité de candidats ne peut plus faire mieux que grappiller des points.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre stabilité par soustraction et par addition pour un sous-anneau · Contresens sur la question demandant de montrer que SL2(Z) est un groupe · Notion d'inversibilité totalement incomprise
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Le problème demandait d'abord de vérifier des propriétés structurelles classiques (anneau, groupe) avant de les mobiliser pour étudier les réseaux du plan complexe. Le jury constate que rares sont les candidats qui ont conservé une idée claire de ces notions de base, et que l'utilisation de sous-structures ne dispense pas d'une méthode précise. À partir de la question II.D, et pour les parties III et IV, une majorité de candidats ne peut plus faire mieux que de marquer des points de « grappillage », en alignant des énoncés et arguments plus ou moins incohérents.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre stabilité par soustraction et par addition pour un sous-anneauI.A

    Pour montrer qu'un ensemble est un sous-anneau, il est question de la stabilité par la loi de soustraction et non par la loi d'addition ; cette confusion permettrait à tort de prouver que N est un sous-anneau de Z.

    « il est question de la stabilité par la loi de soustraction et non pas par la loi dʼaddi- »
  2. 2
    Contresens sur la question demandant de montrer que SL2(Z) est un groupeI.C1

    Un contresens fréquent a fait croire aux candidats que traiter cette question équivalait à redémontrer à la main que le déterminant d'un produit de matrices 2x2 est le produit des déterminants.

    « traiter la question I.C1 équivalait à redémontrer »
  3. 3
    Notion d'inversibilité totalement incompriseI.B2

    L'incompréhension quant à la notion d'inversibilité a été totale sur cette question : la plupart des preuves par équivalence reviennent implicitement à établir que tout entier non nul est égal à plus ou moins un.

    « lʼincompréhension quant à la notion dʼ inversibilité a été totale »
  4. 4
    Polynôme annulateur confondu avec polynôme caractéristiqueI.D

    Les candidats recherchent souvent des polynômes annulateurs de préférence aux polynômes caractéristiques, mais le lien entre diagonalisabilité et multiplicité des racines semble mal assimilé, les deux types de polynômes finissant par se confondre.

  5. 5
    Réseau confondu avec un espace vectorielII.A1, II.B

    Le fait de travailler sur les entiers, et les précautions que cela impose, n'ont pas été compris : pour la plupart des candidats, un réseau devient un espace vectoriel et l'existence d'une matrice de passage entre deux bases devient automatique.

    « un réseau devient un espace vectoriel »
  6. 6
    Réponse trop forte attendue à la question sur le lien entre S(Λ) et les similitudesIII.B1

    La réponse attendue pouvait difficilement être l'égalité, ni l'isomorphisme, faute de mise en évidence de structures, mais seulement l'existence d'une bijection entre les deux ensembles.

    « la réponse attendue pouvait difficilement être lʼégalité, ni lʼisomorphisme »

Conseils du jury

  • Pour montrer qu'un ensemble est un sous-anneau, vérifier la stabilité par la loi de soustraction, et non par la loi d'addition.
  • Ne pas conclure à une stabilité pour un produit externe quelconque sans le justifier précisément.
  • Distinguer clairement le rôle du polynôme caractéristique de celui d'un polynôme annulateur pour étudier la diagonalisabilité.
  • Garder à l'esprit qu'un réseau n'est pas un espace vectoriel : travailler sur les entiers impose des précautions spécifiques.
  • Rédiger des phrases complètes avec verbe, éviter les abréviations et les symboles réservés au brouillon, et soigner la présentation tout au long de l'année de préparation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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MATHÉMATIQUES II

Objectif du problème

Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans le problème. Ce dernier ne commence qu'à partir du I.
Dans la démonstration en 1994 du «dernier théorème» de Fermat par Andrew Wiles, les «courbes elliptiques» jouent un rôle central par le biais de l'action du groupe SL_2(ℤ) sur le demi-plan ouvert ℋ = {z ∈ ℂ : ℐ_m(z) > 0}.
En effet, il se trouve que l'ensemble des courbes elliptiques sur le corps ℂ est en bijection (à un ℂ-isomorphisme près) avec l'ensemble des réseaux de ℂ (à une similitude près), lui même en bijection avec l'ensemble des orbites du demi-plan ℋ sous l'action de SL_2(ℤ). Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers ensembles que nous proposons d'étudier dans ce problème.

Partie I - Matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers

Soit 𝒰_2(ℤ) l'ensemble des matrices [a, b; c, d] carrées d'ordre 2 à coefficients dans
l'anneau ℤ des entiers relatifs.
Dans les parties I, II, III, les lettres a, b, c, d désignent des éléments de ℤ. On pose:
I_2 = [1, 0; 0, 1]
I.A - Démontrer que l'ensemble 𝒰_2(ℤ) est un anneau.

I.B -

I.B.1) Démontrer que l'ensemble GL_2(ℤ) des éléments de 𝒰_2(ℤ) inversibles dans 𝒰_2(ℤ) est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des unités de l'anneau ℳ_2(ℤ).
I.B.2) Montrer que
[a, b; c, d] ∈ GL_2(ℤ) si et seulement si |ad − bc| = 1.

Filière MP

I.C - On pose
SL_2(ℤ) = {[a, b; c, d] ∈ ℳ_2(ℤ) : ad − bc = 1}
I.C.1) Montrer que SL_2(ℤ) est un groupe pour la multiplication des matrices.
I.C.2) Déterminer l'ensemble des couples ( c, d ) ∈ ℤ × ℤ tels que la matrice [3, 5; c, d] appartienne à SL_2(ℤ).
I.C.3) Déterminer l'ensemble des couples (c,d) ∈ ℤ × ℤ tels que la matrice [3, 5; c, d] appartienne à GL_2(ℤ).
I.C.4) Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur le couple (a,b) de ℤ × ℤ pour qu'il existe une matrice
[a, b; c, d] appartenant à GL_2(ℤ)?
I.D - Soient S et T les éléments de SL_2(ℤ) définis par
S = [0, − 1; 1, 0] et T = [1, 1; 0, 1]
Pour chacune des trois matrices T, S et TS, répondre aux questions suivantes:
I.D.1) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans 𝒰_2(ℂ) ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu'une matrice de passage.
I.D.2) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans 𝒰_2(ℝ) ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu'une matrice de passage.
I.E - On cherche les matrices A de SL_2(ℤ) telles que
A^2 = [1, 0; 0, 1] = I_2
I.E.1) Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans 𝒰_2(ℝ) et préciser les formes réduites diagonales possibles de A.
I.E.2) En déduire l'ensemble des matrices solutions A.

I.F -

On cherche les matrices A de SL_2(ℤ) telles que
A^2 = [− 1, 0; 0, − 1]
I.F.1) Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans 𝒰_2(ℂ) et calculer la trace Tr(A) de A.
I.F.2) Donner la forme générale des matrices solutions A en fonction des trois paramètres a, b, c et d'une relation liant ces trois paramètres.

I.G -

I.G.1) Démontrer que si deux matrices U et V de 𝒰_2(ℝ) sont semblables en tant que matrices de 𝒰_2(ℂ), alors elles sont semblables dans 𝒰_2(ℝ).
I.G.2) En déduire que les matrices A de SL_2(ℤ) solutions de l'équation :
A^2 = [− 1, 0; 0, − 1] sont semblables dans ℳ_2(ℝ) à la matrice S = [0, − 1; 1, 0].

Partie II - Réseaux de ℂ

On note ℋ le demi-plan ouvert défini par ℋ = {z ∈ ℂ : Im(z) > 0}.
ℬ = (α, β) étant une base de ℂ considéré comme plan vectoriel réel, on appelle réseau engendré par ℬ l'ensemble Λ_ℬ = ℤα + ℤβ = {uα + vβ; (u, v) ∈ ℤ^2}.
Pour simplifier les notations, un réseau sera généralement désigné par la lettre Λ, sans préciser quelle base ℬ de ℂ l'engendre.

II.A -

II.A.1) De quelle structure algébrique est doté un réseau Λ ?
II.A.2) Démontrer que tout réseau Λ peut être engendré par une base ℬ = (α, β) de ℂ telle que α/β ∈ ℋ.
II.A.3) Démontrer que pour tout quadruplet (a, b, c, d) ∈ ℤ^4 et pour tout z ∈ ℂ tel que cz + d ≠ 0, on a
Im((az + b)/(cz + d)) = (ad − bc)/(|cz + d|^2)Im(z)

II.B -

II.B.1) Démontrer que si deux bases ℬ = (ω_1, ω_2) et ℬ^′ = (ω_1^′, ω_2^′) de ℂ telles que
(ω_1)/(ω_2) ∈ ℋ et (ω_1^′)/(ω_2^′) ∈ ℋ
engendrent le même réseau Λ, alors il existe une matrice
[a, b; c, d] ∈ SL_2(ℤ) telle que [ω_′^′; ω_′^′] = [a, b; c, d][ω_1; ω_2].
II.B.2) Étudier la réciproque.
II.C - On considère un réseau Λ engendré par une base ℬ = (ω_1, ω_2) de ℂ telle que
(ω_1)/(ω_2) ∈ ℋ
Déterminer l'ensemble des couples (c, d) ∈ ℤ^2 tels que ℬ^′ = (ω_1^′, ω_2^′) avec ω^′_1 = 3ω_1 + 5ω_2 et ω^′_2 = cω_1 + dω_2 soit une base de ℂ engendrant également le réseau Λ.
II.D - Pour tout complexe τ ∈ ℂ∖ℝ on note Λ_τ le réseau engendré par la base (τ, 1) de ℂ. On suppose que τ ∈ ℋ. Trouver la condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément τ^′ ∈ ℋ vérifie Λ_(τ^′) = Λ_τ.

Partie III - Similitudes directes de centre o laissant stable un réseau

Si Λ est un réseau et z un nombre complexe, on pose zΛ = {zρ; (ρ ∈ Λ)}.
On dit que deux réseaux Λ et Λ^′ sont semblables s'il existe λ ∈ ℂ^∗ tel que Λ^′ = λΛ.

III.A -

III.A.1) Démontrer que tout réseau Λ est semblable à un réseau Λ_τ où τ ∈ ℋ.
III.A.2) Démontrer que deux réseaux Λ_τ et Λ_(τ^′), où (τ, τ^′) ∈ ℋ × ℋ, sont semblables si et seulement si il existe une matrice
[a, b; c, d] ∈ SL_2(ℤ) telle que τ^′ = (aτ + b)/(cτ + d).
La fin de la partie III montre qu'il existe des similitudes directes de centre O, autres que des homothéties, laissant stable un réseau donné Λ.
III.B - Soit Λ un réseau.
III.B.1) Indiquer, sans faire de démonstration, le lien existant entre l'ensemble S(Λ) = {z ∈ ℂ; zΛ ⊂ Λ} et l'ensemble des similitudes directes σ de centre O laissant stable le réseau Λ, c'est-à-dire telles que σ(Λ) ⊂ Λ.
III.B.2) Quel est l'ensemble des homothéties de centre O laissant stable le réseau Λ ? En déduire l'ensemble S(Λ) ∩ ℝ.
III.B.3) De quelle structure algébrique est doté l'ensemble S(Λ) ?
III.B.4) ℬ = (ω_1, ω_2) étant une base de ℂ, on pose
τ = (ω_1)/(ω_2). Comparer les ensembles S(Λ_ℬ) et S(Λ_τ).
III.B.5) Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre les ensembles S(Λ_τ) et Λ_τ ?
III.C - τ étant un complexe de ℂ∖ℝ, on considère le réseau Λ_τ engendré par la base ( τ, 1 ) de ℂ.
III.C.1) On suppose que l'ensemble S(Λ_τ) n'est pas réduit à ℤ. Montrer que τ est alors racine d'un polynôme du second degré à coefficients dans ℤ.
III.C.2) Réciproquement, on suppose que τ est racine non réelle d'un polynôme P(X) = uX^2 + vX + w du second degré à coefficients u, v, w dans ℤ.
a) Montrer que S(Λ_τ) n'est pas contenu dans ℝ.
b) Que dire des ensembles S(Λ_τ) et Λ_τ si u = 1 ?

Partie IV - Action du groupe г des homographies associées à SL _2(ℤ) sur l'ensemble

Dans cette dernière partie, on étudie l'action de ce groupe Γ sur l'ensemble ℋ. On introduit au IV.D un sous-ensemble fondamental ℱ de ℋ. On montre aux questions IV.E et IV.F que Γ est engendré par les homographies s et t associées aux matrices S et T introduites au I.D et qu'un système de représentants des orbites de Γ est constitué par les points de ℱ.
À toute matrice
A = [a, b; c, d]
de SL_2(ℤ) on associe l'application g : ℋ → ℂ définie par : ∀τ ∈ ℋ, g(τ) = (aτ + b)/(cτ + d).

IV.A -

IV.A.1) Montrer que l'on a g(ℋ) ⊂ ℋ. On identifie dorénavant g avec l'application de ℋ vers ℋ qu'elle induit. Lorsque la matrice A parcourt SL_2(ℤ), l'application correspondante g de ℋ vers ℋ décrit un ensemble noté Γ. Dans la suite de cette question on s'intéresse aux propriétés de la surjection
Φ : {SL_2(ℤ), → Γ; A, ↦ g
IV.A.2) Montrer que Φ(A) ∘ Φ(A^′) = Φ(AA^′). En déduire que la loi o de composition des applications est une loi interne sur Γ.
IV.A.3) Pour tout A ∈ SL_2(ℤ), montrer que Φ(A) est une bijection de ℋ sur ℋ et que l'on a [Φ(A)]^(− 1) = Φ(A^(− 1)). En déduire que ( Γ, ∘ ) est un groupe.
IV.A.4) Montrer que [Φ(A) = id_ℋ] ⇔ [A = ± I_2].
IV.A.5)
a) Résoudre l'équation Φ(A^′) = Φ(A).
b) En utilisant les matrices S et T définies en I.D, vérifier que le groupe ( Γ, ० ) n'est pas commutatif.

IV.B -

IV.B.1) Montrer que le cercle 𝒞(ω, R) de centre ω ∈ ℂ et de rayon R > 0 a pour équation
|z|^2 − (ωz¯ + ω¯z) + |ω|^2 = R^2.
À quelle condition nécessaire et suffisante ce cercle est-il inclus dans ℋ ?
IV.B.2) On appelle s l'application de ℋ vers ℋ associée à la matrice
S = [0, − 1; 1, 0]
définie au I.D, c'est-à-dire l'élément s = Φ(S) de Γ. Déterminer l'image par s d'un cercle 𝒞(ω, R) inclus dans ℋ.

IV.C -

IV.C.1) Trouver l'image par s d'une droite 𝒟 incluse dans ℋ, c'est-à-dire d'une droite 𝒟 d'équation y = β, avec β > 0.
IV.C.2) Trouver l'image par s d'une demi-droite 𝒟_+d'équation
{x = α; y > 0, où α ∈ ℝ, incluse dans ℋ.
IV.D - On introduit le sous-ensemble ℱ de ℋ, défini par
ℱ = {τ ∈ ℋ : |τ| ≥ 1, |Re(τ)| ≤ 1/2}.
On appelle t l'application de ℋ vers ℋ associée à la matrice
T = [1, 1; 0, 1]
définie au I.D, c'est-à-dire l'élément t = Φ(T) de Γ. Représenter graphiquement l'ensemble ℱ et ses images t(ℱ) et t^(− 1)(ℱ) par les applications t et t^(− 1).
IV.E - On note G le sous-groupe de Γ engendré par l'ensemble {s, t}. Soit τ un élément de ℋ.
IV.E.1) Montrer qu'il existe un élément g_0 ∈ G tel que
(∀g ∈ G)Im(g(τ)) ≤ Im(g_0(τ)).
IV.E.2) On pose alors τ^′ = g_0(τ). Démontrer qu'il existe un entier m ∈ ℤ tel que
|Re(t^m(τ^′))| ≤ 1/2.
IV.E.3) Vérifier que |t^m(τ^′)| ≥ 1 et en conclure que t^m(τ^′) ∈ ℱ.
IV.F - On peut démontrer le résultat suivant, que l'on admettra ici : si τ ∈ ℱ et si pour un élément g ∈ Γ, avec g ≠ id_ℋ, on a g(τ) ∈ ℱ alors τ est un point frontière de ℱ, autrement dit on a
Re(τ) = ± 1/2 ou |τ| = 1
En utilisant ce résultat ainsi que ceux de la section IV.E, démontrer que G = Γ. Indication : on pourra considérer un point τ intérieur à F (c'est-à-dire τ ∈ F^∘ ) et son image g(τ) par g ∈ Γ.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2004 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2004 ?

Le sujet porte sur les matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers et le groupe SL2(Z), les réseaux du plan complexe, les similitudes stabilisant un réseau, et l'action du groupe des homographies associées sur le demi-plan de Poincaré.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2004 ?

Le rapport ne communique aucune moyenne ni écart-type chiffrés pour cette épreuve.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2004 ?

Le jury relève une incompréhension totale de la notion d'inversibilité, une confusion entre polynôme caractéristique et polynôme annulateur, un réseau assimilé à tort à un espace vectoriel, et des réponses trop fortes par rapport à ce qui était réellement demandé.

Cette épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2004 est-elle difficile ?

Le rapport la juge difficile : rares sont les candidats ayant conservé une idée claire des notions structurelles de base, et à partir de la question II.D une majorité ne peut plus que grappiller des points sur les parties suivantes.

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