Mines Mathématiques 1 MP 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Calcul de l'intégrale de arctan(t)/(e^(πt) - 1) sur [0, +∞[

Le problème étudie puis calcule explicitement l'intégrale I de arctan(t)/(e^(πt) - 1) sur [0, +∞[. Après l'étude de la fonction intégrée et une première écriture de I comme somme de série, il introduit une intégrale à paramètre f, solution d'une équation différentielle, puis utilise une série de Fourier pour obtenir la valeur de I et en déduire une intégrale voisine.

1Première partie : la fonction intégrée et une expression de IProlongement par continuité, variations et borne supérieure de la fonction, existence de I et écriture de I comme somme d'une série d'intégrales (questions 1 à 4).
2Deuxième partie : la fonction fEnsemble de définition, continuité et dérivabilité d'une intégrale à paramètre, équation différentielle y'' + y = 1/x et expressions de f à l'aide d'intégrales de sin(t)/t et cos(t)/t (questions 5 à 9).
3Troisième partie : calcul de IDéveloppement en série de Fourier d'une fonction périodique, somme de la série des cos(nx)/n², passage à une limite de suite puis à un produit pour obtenir I, et calcul d'une intégrale voisine K (questions 10 à 17).

Difficile. Le rapport juge le problème long : personne ne l'a traité entièrement, peu maîtrisent la fin et beaucoup de notes basses ont été attribuées, pour une moyenne de l'ordre de 7,26.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,26 / 20

Moyenne: 7,26/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Équivalents et nature des intégrales · Interversion série et intégrale mal justifiée · Convergence dominée mal énoncée

La plupart des candidats citent avec trop peu de précision les théorèmes sur les intégrales à paramètres et les séries de Fourier, et beaucoup de copies sont mal soignées. Les parties I et II et le début de la partie III sont abordés dans la plupart des copies, mais la fin du problème est rarement maîtrisée. Le jury estime que le sujet a bien classé les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Équivalents et nature des intégrales
Deux fonctions équivalentes en +∞ ne donnent pas forcément des intégrales de même nature ; le jury rappelle aussi que l'intégrale de dt/t² sur ]0, +∞[ ne converge pas.
2
Interversion série et intégrale mal justifiée
La convergence uniforme d'une série de fonctions sur [0, +∞[ ne suffit pas à intervertir somme et intégrale ; le théorème adapté doit être appliqué avec soin.
3
Convergence dominée mal énoncée
La domination doit porter sur la valeur absolue des fonctions, et pas seulement sur les fonctions elles-mêmes.
« Le théorème de convergence dominée est souvent cité de manière incomplète ou incorrecte. »
4
Dérivation sous le signe intégrale
Certains confondent dérivée par rapport au paramètre x et par rapport à la variable t ; l'existence de la dérivée demande une application soignée du théorème.
« nécessite une application très soignée du théorème de dérivation sous le signe »
5
Équation différentielle et limite trigonométrique
La variation des constantes pour y'' + y = 1/x est souvent mal maîtrisée, et le fait qu'une limite nulle de a cos t + b sin t impose a = b = 0 doit être démontré.
6
Régularité et convergence des séries de Fourier
Une restriction C∞ sur [0, 2π] n'entraîne pas la classe C∞ sur R, et la série de Fourier d'une fonction seulement continue ne converge pas uniformément en général.
« La série de Fourier d’une fonction continue et 2π – périodique ne converge pas uniformément en général. »

Ce qui a été bien réussi

Les parties I et II ainsi que le début de la partie III sont abordés dans la plupart des copies.
Un très petit nombre de candidats impressionne le jury et obtient la note maximale.

Conseils du jury

Lire calmement tout le sujet pour assimiler les notations avant de commencer.
Écrire lisiblement et encadrer les résultats.
Citer précisément les théorèmes du cours et les résultats antérieurs utilisés, avec les numéros des questions.
Construire les démonstrations au brouillon et ne les recopier qu'une fois claires et concises.
Signaler nettement qu'on admet le résultat d'une question non traitée plutôt que de dissimuler.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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A 2004 Math MP 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1-Filière MP.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'objet de ce problème est principalement l'étude et le calcul de l'intégrale suivante :

I = \int_0^\infty(arctant)/(e^(πt) - 1)dt

Première partie

Le but de cette partie est d'établir une expression de l'intégrale

I

et d'étudier la fonction

φ

définie par la relation suivante :

φ(t) = (arctant)/(e^(πt) - 1).

Variations de la fonction $φ$ :

Déterminer un éventuel prolongement par continuité de la fonction $φ$ en 0 .
Étudier les variations de la fonction $φ$ sur la demi-droite ouverte $D = ]0, \infty[$ ; il peut être intéressant d'introduire la fonction auxiliaire $ψ$ définie par la relation suivante :

ψ(t) = (1 - e^(- πt))/(1 + t^2) - πarctant

En déduire la borne supérieure de la fonction

φ

sur

D

Existence et expressions de l'intégrale $I$ :

Justifier l'existence de l'intégrale $I$ définie par la relation suivante :

I = \int_0^\infty(arctant)/(e^(πt) - 1)dt

Démontrer les deux relations suivantes :

I = \sum_(k = 1)^\infty\int_0^\inftye^(- kπt)arctantdt; I = \sum_(k = 1)^\infty1/(kπ)\int_0^\infty(e^(- kπt))/(1 + t^2)dt

Deuxième partie

Le but de cette partie est d'introduire une fonction

f

de façon à transformer les expressions obtenues précédemment pour l'intégrale

I

et à pouvoir calculer l'intégrale

I

. Soit

f

la fonction définie par la relation suivante :

f(x) = \int_0^\infty(e^(- xt))/(1 + t^2)dt

Propriétés de la fonction $f$ :

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ . Préciser l'ensemble dans lequel la fonction $f$ est continue ; quelle est sa limite lorsque le réel $x$ tend vers l'infini ?
Dans quel ensemble est-elle deux fois continûment dérivable ? Établir une relation simple entre la fonction $f$ et sa dérivée seconde $f^'$ sur la demi-droite ouverte $D = ]0, \infty[$ .

Deux intégrales :

Soit

a

un réel strictement positif (

a > 0

). Étant donné un réel

X

supérieur ou égal à

a

(

X \geq a

), soient

S(X)

C(X)

les deux intégrales suivantes:

S(X) = \int_a^X(sint)/tdt; C(X) = \int_a^X(cost)/tdt

Existe-t-il une limite à chacune des expressions $S(X)$ et $C(X)$ , lorsque le réel $X$ croît vers l'infini ?

Soient

g

h

les deux fonctions définies sur la demi-droite ouverte

D

par les relations suivantes :

g(x) = \int_x^\infty(sint)/tdt = lim_(X ⟶ \infty)\int_x^X(sint)/tdt; h(x) = \int_x^\infty(cost)/tdt = lim_(X ⟶ \infty)\int_x^X(cost)/tdt

Une expression de la fonction $f$ :

Résoudre l'équation différentielle vérifiée par la fonction $f$ dans la demi-droite ouverte $D = ]0, \infty[$ ; exprimer la solution générale de cette équation à l'aide des deux fonctions $g$ et $h$ .
En déduire les deux expressions ci-dessous de la fonction $f$ :

f(x) = \int_0^\infty(sinu)/(u + x)du = \int_0^\infty(sin(xt))/(1 + t)dt

Troisième partie

Un résultat intermédiaire :

En utilisant les résultats établis dans les première et deuxième parties, démontrer la relation suivante :

I = \sum_(k = 1)^\infty1/(kπ)\int_0^\infty(sin(ku))/(π + u)du

Démontrer le résultat suivant :

I = 1/(π^2)\sum_(k = 1)^\infty1/(k^2) - 1/π\int_0^\infty1/((u + π)^2)(\sum_(n = 1)^\infty(cos(nu))/(n^2))du

Somme de la série de terme général

cos(nu)/n^2, n \in ℕ^*

:
Soit

G

la fonction, définie sur la droite réelle, périodique de période

2π(G(x + 2π) = G(x))

, dont la restriction au segment

[0, 2π]

est définie par la relation suivante :

G(x) = (x^2)/4 - (πx)/2 + (π^2)/6

Étudier la parité de la fonction $G$ . Déterminer le développement en série de Fourier, à coefficients réels, de cette fonction $G$ .

Quelle est la nature de la convergence de la série de Fourier ?
13. En déduire la somme

T(x)

de la série de terme général

cos(nx)/n^2, n \in ℕ^*

, lorsque le réel

x

appartient au segment

[0, 2π]

T(x) = \sum_(n = 1)^\infty(cos(nx))/(n^2)

En déduire la somme

S

de la série de terme général

1/n^2, n \in ℕ^*

S = \sum_(n = 1)^\infty1/(n^2)

Valeur de l'intégrale $I$ :

Soit

a_k

le réel défini par l'intégrale suivante :

a_k = \int_(2kπ)^(2(k + 1)π)1/((u + π)^2)(\sum_(n = 1)^\infty(cos(nu))/(n^2))du

Calculer, pour tout entier naturel $k$ , la valeur du réel $a_k$ .

Soit

N

un entier strictement positif. Soit

I_N

le réel défini par la relation ci-dessous :

I_N = \sum_(n = 0)^(N - 1)(- 1 + (n + 1)ln(2n + 3)/(2n + 1))

Démontrer que la valeur de l'intégrale $I$ est égale à la limite de la suite $(I_N)_(N \in ℕ^*)$ :

I = lim_(N ⟶ \infty)I_N

En déduire que l'intégrale

I

est la somme d'une série convergente.
16. Après avoir montré que l'expression

E_N = exp(I_N)

est égale à un produit de facteurs, déterminer la valeur de l'intégrale

I

Soit

J

l'intégrale suivante :

J = \int_0^\infty(arctant)/(e^(2πt) - 1)dt

Il est facile de calculer l'intégrale

J

par la même méthode que celle qui a servi pour calculer l'intégrale

I

; il vient :

J = 1/2(1 - (ln(2π))/2)

Soit

K

l'intégrale suivante :

K = \int_0^\infty(arctant)/(e^(πt) + 1)dt

Calcul de l'intégrale $K$ :

Calculer l'intégrale $K$ , définie ci-dessus, en utilisant le résultat obtenu pour l'intégrale $I$ et la valeur admise pour l'intégrale $J$ .

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP Mines-Ponts 2004 ?

Selon le rapport, il mobilise une grande partie du programme d'analyse : suites, séries, intégrales, développements limités, équivalents et inégalités, variations de fonctions, équations différentielles, intégrales à paramètres et séries de Fourier.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths 1 MP Mines 2004 ?

Le rapport indique une moyenne générale de l'ordre de 7,26, sans donner la valeur de l'écart-type, qu'il qualifie seulement d'assez élevé.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 MP Mines 2004 ?

Le jury insiste sur les théorèmes d'intégrales à paramètres cités sans précision : convergence dominée mal énoncée, dérivation sous l'intégrale non justifiée, interversion série et intégrale abusive. Il relève aussi des erreurs sur les séries de Fourier et la variation des constantes.

Le sujet de maths 1 MP Mines 2004 est-il long ?

Oui, personne ne l'a traité en totalité. La plupart des copies abordent les parties I et II et le début de la partie III, mais peu de candidats maîtrisent la fin.

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Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

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A 2004 Math MP 1

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Première partie

Variations de la fonction φ :

Existence et expressions de l'intégrale I :

Deuxième partie

Propriétés de la fonction f :

Deux intégrales :

Une expression de la fonction f :

Troisième partie

Un résultat intermédiaire :

Valeur de l'intégrale I :

Calcul de l'intégrale K :

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP Mines-Ponts 2004 ?

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths 1 MP Mines 2004 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 MP Mines 2004 ?

Le sujet de maths 1 MP Mines 2004 est-il long ?

Commentaires• Mines Mathématiques 1 MP 2004

Commentaires• Mines Mathématiques 1 MP 2004

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Variations de la fonction $φ$ :

Existence et expressions de l'intégrale $I$ :

Propriétés de la fonction $f$ :

Une expression de la fonction $f$ :

Valeur de l'intégrale $I$ :

Calcul de l'intégrale $K$ :