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Mines Mathématiques 2 MP 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Fonctions harmoniques de deux variables (principe du maximum, propriété de la moyenne) et existence de difféomorphismes du plan transformant n points donnés en n autres
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Le sujet de mathématiques 2, Mines-Ponts MP 2004, comporte deux problèmes indépendants. Le premier étudie les fonctions harmoniques de deux variables réelles et démontre le principe du maximum, la propriété de la moyenne, et le fait que les fonctions harmoniques bornées sur tout le plan sont constantes, résultat dont on déduit le théorème de d'Alembert-Gauss. Le second construit, par composition de difféomorphismes élémentaires fondés sur une fonction plateau, une déformation régulière du plan envoyant n points donnés sur n autres points donnés.

  1. 1Problème I : fonctions harmoniquesExemples de fonctions harmoniques (dont une série de fonctions), démonstration du principe du maximum, de la propriété de la moyenne, puis preuve que toute fonction harmonique bornée sur tout le plan est constante.
  2. 2Problème II : difféomorphismes du planConstruction d'un difféomorphisme C∞ de R à l'aide d'une fonction plateau, puis d'un difféomorphisme du plan déplaçant légèrement un point tout en laissant fixes n autres points, et composition de tels difféomorphismes pour transformer une suite de n points en une autre.

Difficile. Le rapport indique que la correction a permis de couvrir presque tout l'éventail des notes et que l'écart-type est élevé, même pour une épreuve scientifique, le meilleur côtoyant le pire ; de très nombreuses questions, y compris des questions de cours, ont donné lieu à des erreurs ou des raisonnements incomplets.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Calculs de dérivées partielles de fonctions composées très lourds · Convergence de la série de fonctions traitée de façon incomplète · Formule de Green-Riemann utilisée hors programme sans précaution
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Le sujet comportait deux problèmes indépendants sur les fonctions de deux variables réelles : l'un sur les fonctions harmoniques, l'autre sur les déformations régulières du plan. La correction a couvert presque tout l'éventail des notes du barème et l'écart-type est resté élevé, le sujet ayant pleinement joué son rôle de classement. Le jury relève une bonne connaissance des théorèmes classiques du cours chez certains candidats et des démonstrations parfois élégantes, mais aussi des calculs de dérivées partielles souvent très lourds et des difficultés fréquentes à appliquer rigoureusement les résultats de cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Calculs de dérivées partielles de fonctions composées très lourdsQuestions 2 et 3

    Les questions 2 et 3 ont montré à quel point les candidats peuvent rencontrer des difficultés à calculer des dérivées partielles de fonctions composées : les calculs étaient souvent très lourds, n'aboutissaient pas forcément, et l'équation différentielle obtenue était parfois inexacte.

    « les calculs ét aient souvent très lourds, n'aboutissaient pas forcément, et l'équation différentielle obtenue était parfois inexacte »
  2. 2
    Convergence de la série de fonctions traitée de façon incomplèteQuestion 5

    Certains candidats se contentent de la convergence uniforme sur tout compact de la série, et parfois seulement de la convergence simple de la série des dérivées partielles, sans aller au bout de l'étude demandée.

    « Quelques autres encore se contentent de la convergence uniforme sur t out com pact de cet te sé rie et pa rfois de l a »
  3. 3
    Formule de Green-Riemann utilisée hors programme sans précautionQuestion 14

    L'emploi de la formule de Green-Riemann, qui n'est pas au programme, ne pouvait être considéré comme licite qu'à condition de rappeler que la forme différentielle est définie et de classe C1 dans l'intérieur de l'arc orienté fermé tout entier.

    « L' emploi de l a fo rmule de Green-Riemann, qui n' est pas a u programme »
  4. 4
    Confusion sur le rôle du théorème de la limite de la dérivéeQuestion 19

    Montrer que la limite en 1 et en -1 est nulle ne sert pas à prolonger la dérivée n-ième par continuité, contrairement à ce qu'ont affirmé certains candidats : cette dérivée existe déjà par elle-même en tant que limite d'un taux d'accroissement.

    « cette méthode ne sert pas à prolonger φ(n) par continuité en 1 et en –1 »
  5. 5
    Bijection C∞ crue automatiquement difféomorphisme C∞Question 20

    Contrairement à ce que semblent croire de nombreux candidats, une application bijective de R dans R de classe C∞ n'est pas nécessairement un difféomorphisme de classe C∞ de R.

    « une application bijective de R dans R de classe C ∞ n'est pas nécessairement un difféomorphisme de classe C ∞ de R »
  6. 6
    Existence d'un chemin évitant les points fixés mal justifiéeQuestion 26

    Bien peu de candidats ont su donner un argument convaincant pour assurer l'existence d'un chemin reliant deux points sans rencontrer aucun des points fixés par le difféomorphisme.

    « B ien peu de can didats o nt su donner u n ar gument convai ncant pour assu rer l'existence de tels chemins. »

Ce qui a été bien réussi

  • Le raisonnement par l'absurde de la question 8 ne présentait aucune difficulté pour les candidats.
  • La première question du deuxième problème (question 18) a été traitée par presque tous les candidats.
  • Le jury a apprécié la bonne connaissance des théorèmes classiques du cours, un effort d'exhaustivité et des démonstrations parfois élégantes chez une partie des candidats.

Conseils du jury

  • Lire le sujet en entier avant de commencer, pour comprendre le but poursuivi et anticiper la cohérence des résultats à obtenir.
  • Ne rédiger des calculs que lorsqu'on est sûr qu'ils aboutissent, pour éviter de perdre du temps sur des pages de calculs infructueux.
  • Bien connaître les théorèmes du cours : plusieurs questions du sujet en étaient des applications directes.
  • Être attentif aux contre-exemples classiques (concavité en un maximum local, convergence des maxima d'une suite de fonctions, intégrale d'une forme fermée sur un cercle).
  • Ne pas se précipiter vers la fin du sujet même si elle paraît plus simple : traiter les questions dans l'ordre où elles se présentent est souvent payant.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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A 2004 Math MP 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.

Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'épreuve comporte deux problèmes complètement indépendants.

Problème I

Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes, définie dans un ouvert U du plan ℝ^2, deux fois continûment dérivable ; le laplacien de la fonction f est, par définition, la fonction, notée Δf, définie dans l'ouvert U par la relation suivante :
Δf(x, y) = (∂^2 f)/(∂x^2)(x, y) + (∂^2 f)/(∂y^2)(x, y)
Une fonction f à valeurs réelles ou complexes, définie dans un ouvert U du plan ℝ^2, deux fois continûment dérivable, est harmonique dans U si et seulement si son laplacien est nul dans U :
Δf(x, y) = (∂^2 f)/(∂x^2)(x, y) + (∂^2 f)/(∂y^2)(x, y) = 0
Exemple : en électrostatique, le potentiel électrique dans le vide est harmonique.
Le but du problème est de donner des exemples de telles fonctions puis de démontrer certaines propriétés de ces fonctions : le principe du maximum, la propriété de moyenne, le fait que les fonctions bornées harmoniques dans tout le plan sont constantes.
Le plan ℝ^2 est supposé muni de la norme euclidienne.
Quelques exemples de fonctions harmoniques :
  1. Démontrer que les fonctions complexes f et g_n, n ∈ ℕ, définies dans le plan ℝ^2 par les relations ci-dessous, sont harmoniques :
f(x, y) = e^(x + iy), g_n(x, y) = (x + iy)^n
  1. Déterminer les fonctions u réelles, de classe C^2, définies sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[, telles que chaque fonction h, définie dans le plan ℝ^2 privé du point O(ℝ^2∖{O}) par la relation ci-dessous, soit harmonique
h(x, y) = u(√(x^2 + y^2))
Poser si nécessaire : r = √(x^2 + y^2).
3. Déterminer les fonctions v réelles, de classe C^2, définies sur la droite réelle ℝ, telles que chaque fonction k, définie dans le plan ℝ^2 privé de l'axe y^′ Oy(ℝ^2∖y^′ Oy) par la relation ci-dessous, soit harmonique.
k(x, y) = v(y/x)
Soit la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) de fonctions définies dans tout le plan ℝ^2 par les relations suivantes:
u_n(x, y) = (− 1)^n((x + iy)^n)/((2n)!)
  1. Soit K un ensemble fermé borné quelconque du plan ℝ^2; démontrer que la restriction u_(n|K) de la fonction u_n au fermé K est le terme général d'une série de fonctions uniformément convergente.
En déduire que la série de fonctions de terme général u_n converge en tout point du plan et que sa somme, la fonction φ, définie par la relation suivante
φ(x, y) = ∑_(n = 0)^∞u_n(x, y)
est continue dans le plan.
5. Démontrer que cette fonction φ est harmonique dans tout le plan ℝ^2.

Principe du maximum :

Soit f une fonction réelle harmonique définie dans tout le plan ℝ^2. Soit D le disque fermé de centre O et de rayon strictement positif r(r > 0); soit C le cercle de centre O et de rayon r :
D = {(x, y)|x^2 + y^2 ≤ r^2},; C = {(x, y)|x^2 + y^2 = r^2}.
Étant donné un entier strictement positif p(p > 0), soit f_p la fonction définie dans ℝ^2 par la relation suivante :
f_p(x, y) = f(x, y) + (x^2 + y^2)/p
  1. Démontrer l'existence d'un point M_p de coordonnées a_p et b_p, appartenant au disque fermé D en lequel la fonction f_p atteint son maximum :
f_p(a_p, b_p) = max_((x, y) ∈ D)f_p(x, y)
  1. Démontrer que, si le point M_p appartient à l'intérieur du disque D, les deux dérivées secondes de la fonction f_p, obtenues en dérivant deux fois par rapport à x ou deux fois par rapport à y, sont, en ce point M_p, négatives ou nulles :
(∂^2 f_p)/(∂x^2)(a_p, b_p) ≤ 0; (∂^2 f_p)/(∂y^2)(a_p, b_p) ≤ 0
  1. En déduire, en calculant par exemple le laplacien de la fonction f_p, que le point M_p est situé sur le cercle C.
  2. Démontrer qu'il existe un point P de coordonnées a et b du cercle C en lequel la fonction f atteint son maximum sur D :
f(a, b) = max_((x, y) ∈ D)f(x, y)
  1. En déduire que deux fonctions harmoniques dans le plan ℝ^2 égales le long d'un cercle C du plan (de rayon strictement positif), sont égales dans tout le disque D de frontière C.

Propriété de la moyenne

Soit f une fonction réelle harmonique définie dans le plan ℝ^2. Étant donnés un point M_0 de coordonnées x_0 et y_0 et un réel ρ positif ou nul, soit F la fonction définie sur la demi-droite fermée [0, ∞[ par la relation suivante :
F(ρ) = ∫_0^(2π)f(x_0 + ρcosθ, y_0 + ρsinθ)dθ
  1. Démontrer que la fonction F est définie et continue sur la demi-droite fermée [0, ∞[.
  2. Démontrer que la fonction F est continûment dérivable. Préciser sa dérivée F^′(ρ).
  3. Démontrer que le produit ρ ⋅ F^′(ρ) est égal à la valeur d'une intégrale curviligne d'une forme différentielle α = A(x, y)dx + B(x, y)dy le long d'un arc orienté Γ :
ρ ⋅ F^′(ρ) = ∫_Γ(A(x, y)dx + B(x, y)dy)
Préciser la forme différentielle α et l'arc orienté Γ.
14. Démontrer que la fonction F est une fonction constante ; préciser sa valeur.
15. Soit D le disque fermé de centre le point M_0 de coordonnées ( x_0, y_0 ) et de rayon r(r > 0) ; démontrer que l'intégrale double I de la fonction f étendue au disque D se calcule simplement en fonction de f(x_0, y_0) suivant la relation :
I = ∬_D f(x, y)dxdy = πr^2 f(x_0, y_0)

Fonctions harmoniques bornées dans le plan :

Soit f une fonction définie dans tout le plan, réelle, harmonique et bornée : il existe donc une constante C telle qu'en tout point ( x, y ) du plan :
|f(x, y)| ≤ C
  1. Soient deux disques fermés D_1 et D_2 de centres, distincts l'un de l'autre, O et M_0, de coordonnées respectives (0, 0) et (x_0, y_0). Soit r le rayon commun de ces disques. La distance d des centres O et M_0 (égale à √(x_0^2 + y_0^2) ) est supposée strictement inférieure au rayon r(0 < d < r). Soit L_2 l'ensemble des points du disque D_2 qui ne sont pas dans le disque D_1.
En considérant par exemple un disque contenu dans l'intersection des disques D_1 et D_2, démontrer que l'aire de L_2 est majorée par l'expression πrd.
17. À l'aide par exemple de la question 15 , donner un majorant de la valeur absolue de la différence f(x_0, y_0) − f(0, 0) au moyen de la constante C, du rayon r et de d.
En déduire que la fonction f est constante.

Problème II

Soit φ la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante :
si |t| < 1, φ(t) = exp(1/(t^2 − 1)); si |t| ≥ 1, φ(t) = 0.
Un difféomorphisme f de la droite réelle ℝ sur elle-même de classe C^1 est dit difféomorphisme de classe C^∞ si la fonction f est indéfiniment dérivable.

Un difféomorphisme de ℝ de classe C^∞ :

  1. Démontrer que la restriction φ_I de la fonction φ à l'intervalle ouvert I = ] − 1, 1 [ est indéfiniment dérivable et que, pour tout entier n, il existe un polynôme P_n tel que la dérivée φ_I^((n)) de φ_I d'ordre n s'écrive sous la forme suivante :
φ_I^((n))(t) = (P_n(t))/((t^2 − 1)^(2n))exp(1/(t^2 − 1)).
  1. En déduire que la fonction φ est indéfiniment dérivable sur la droite réelle ℝ. Justifier, sans calcul, l'existence d'un majorant M de la valeur absolue de la dérivée première φ^′ sur la droite réelle :
M = sup_(t ∈ ℝ)|φ^′(t)|.
Étant donné un réel λ(λ ∈ ℝ), soit ψ_λ la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante :
ψ_λ(x) = x + λφ(x)
  1. Démontrer que, si la valeur absolue du réel λ est strictement majorée par 1/M, (|λ| < 1/M), la fonction ψ_λ est une bijection de la droite réelle ℝ sur elle-même et un difféomorphisme de classe C^∞ de ℝ.
Quelle est, dans ces conditions ( |λ| < 1/M ), l'image du segment I¯ = [ − 1, 1] par l'application x ⟼ ψ_λ(x) ? Que dire de la restriction de l'application x ⟼ ψ_λ(x) aux demi-droites fermées ] − ∞, − 1 ] et [1, ∞[?
Un difféomorphisme de classe C^1 du plan ℝ^2, défini par des fonctions indéfiniment dérivables est appelé difféomorphisme de classe C^∞.

Difféomorphismes du plan ℝ^2 de classe C^∞ :

Le plan ℝ^2 est supposé muni de la norme euclidienne et rapporté à un repére orthonormé Oxy.
Étant donnés un réel λ(λ ∈ ℝ), un réel strictement positif r(r > 0) et un point P du plan ℝ^2 de coordonnées ( p, q ), soit θ_(λ, r)^P l'application de ℝ^2 dans lui-même définie par la relation suivante:
θ_(λ, r)^P : (x/y) ⟼ ((x + λφ(((x − p)^2 + (y − q)^2)/r^2))/y).
L'image du point de coordonnées ( x, y ) par l'application θ_(λ, r)^P est le point de coordonnées :
(x + λφ(((x − p)^2 + (y − q)^2)/(r^2)), y).
  1. Quelle est l'image par cette application θ_(λ, r)^P du point P ? du cercle C_r^P de centre le point P et de rayon égal à r ? de l'ouvert Ω_r^P des points du plan situé à une distance du point P strictement supérieure à r ?

Existence de difféomorphismes du plan de classe C^∞ :

  1. Démontrer qu'il existe un réel m strictement positif tel que, si le réel λ a une valeur absolue strictement inférieure à m(|λ| < m), l'application θ_(λ, r)^P est une bijection du plan ℝ^2 sur lui-même et un difféomorphisme de classe C^∞ de ℝ^2.
Soient n points A_1, A_2, …, A_n du plan ℝ^2, deux à deux distincts, et deux points B et B^′, distincts entre eux et distincts des points A_i, 1 ≤ i ≤ n. Les coordonnées des points A_i, 1 ≤ i ≤ n, sont ( x_i, y_i ), 1 ≤ i ≤ n; celles de B et B^′ respectivement ( b, c ) et ( b^′, c ).
Le but des questions 23 à 26 est de montrer qu'il existe un difféomorphisme de classe C^∞ du plan ℝ^2 transformant B en B^′ et laissant les points A_1, A_2, …, A_n invariants. Un difféomorphisme de classe C^∞ du plan ℝ^2 laissant les points A_1, A_2, …, A_n invariants est dit avoir la propriété A.
Il est admis que l'ensemble des difféomorphismes de classe C^∞ du plan ℝ^2 est un groupe pour la loi de composition des applications.
Trois cas sont envisagés :
1^(er) cas : Les points B et B^′ ont même ordonnée ; les ordonnées des points A_i, 1 ≤ i ≤ n, sont toutes différentes de celle de B(y_i ≠ c = c^).
23. Démontrer, dans ce cas, que, si les points B et B^′ sont suffisamment proches, il existe une application θ_(λ, r)^P transformant B en B^′ et laissant les A_i, 1 ≤ i ≤ n invariants.
24. Démontrer, toujours dans ce cas, que, quelle que soit la position des points B et B^′, il existe une suite finie de bijections θ_(λ, r)^(P_i), 0 ≤ i ≤ k, telle que la composée F de ces applications transforme B en B^′ et ait la propriété A.
F = θ_(λ, r)^(Pk) ∘ θ_(λ, r)^(P_(k − 1)) ∘ … ∘ θ_(λ, r)^(P_0).
2^(ième) cas : Les points B et B^′ ont même abscisse ; les abscisses des points A_i, 1 ≤ i ≤ n, sont toutes différentes de celle de B(x_i ≠ b = b).
25. Indiquer comment modifier l'application θ_(λ, r)^P en η_(λ, r)^P pour construire un endomorphisme G transformant B en B^′ et ayant la propriété A.
3^(ième) cas : Les points B et B^′ n'ont plus d'abscisse ou d'ordonnée commune.
26. Établir l'existence d'un difféomorphisme H transformant B en B^′ et ayant la propriété A.
Difféomorphisme transformant une suite de n points A_1, A_2, …, A_n en une suite de n points A_1^′, A_2^′, …, A_n^′.
27. Soient deux suites de points, deux à deux distincts, A_1, A_2, …, A_n et A_1^′, A_2^′, …, A_n^′ du plan ℝ^2. Démontrer qu'il existe un difféomorphisme K de classe C^∞ du plan ℝ^2, tel que chaque point A_i ait pour image le point A_i^′.

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts MP 2004 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts MP 2004 ?

Le sujet porte sur les fonctions harmoniques de deux variables (principe du maximum, propriété de la moyenne) et sur la construction de difféomorphismes du plan transformant n points donnés en n autres points donnés.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts MP 2004 ?

Le rapport ne communique aucune moyenne chiffrée, mais indique que l'écart-type est élevé, même pour une épreuve scientifique, le sujet ayant bien classé les candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts MP 2004 ?

Le jury relève des calculs de dérivées partielles très lourds et souvent erronés, une confusion entre convergence uniforme sur un compact et sur tout le plan, un usage hors programme non justifié de la formule de Green-Riemann, et une confusion entre bijection et difféomorphisme de classe C∞.

Cette épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts MP 2004 est-elle difficile ?

Le rapport la juge difficile et très discriminante : la correction a couvert presque tout l'éventail des notes du barème, avec un écart-type élevé et de nombreuses erreurs jusque sur des questions de cours.

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