Mines Mathématiques 2 MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

Comportement asymptotique des racines de la dérivée du polynôme - Pn(X) = X(X-1)..(X-n)

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Présentation du sujet

Difficile

Comportement asymptotique des racines de la dérivée du polynôme Pn(X) = X(X-1)...(X-n) et fonction Gamma

Le problème étudie les racines de la dérivée du polynôme Pn(X) = X(X-1)...(X-n) lorsque n tend vers l'infini. Il établit d'abord des propriétés élémentaires de ces racines à l'aide du théorème de Rolle, puis développe des propriétés de la fonction Gamma, avant d'en déduire la répartition asymptotique explicite des racines normalisées.

1Partie I : Quelques propriétés des racines de Pn'Montrer, avec le théorème de Rolle et l'étude de fonctions, que les parties fractionnaires des racines croissent avec k.
2Partie II : Un développement asymptotiqueÉtudier la fonction Gamma (dérivabilité, dérivation sous le signe intégral, formule des compléments) puis établir un résultat de convergence.
3Partie III : Comportement asymptotique des αn,kUtiliser le résultat de la partie II pour déterminer la fonction limite décrivant la répartition asymptotique des racines normalisées.

Difficile. Le rapport qualifie la troisième partie de « assez sélective » et signale plusieurs questions parmi les plus difficiles du problème (21, 22, 25, 26), malgré une première partie plus accessible et souvent correctement traitée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Questions 8 et 10 négligées · Dérivation sous le signe intégral mal justifiée · Raisonnements farfelus pour conclure

La première partie, qui repose sur des notions élémentaires, est assez souvent correctement traitée. La partie II sur la fonction Gamma est plus inégale, avec des questions classiques parfois mal maîtrisées, notamment la dérivation sous le signe intégral. Le jury a eu la surprise de voir la troisième partie, pourtant sélective, souvent correctement abordée.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Questions 8 et 10 négligéesQ8, Q10
Ces questions demandent un peu plus de réflexion ; elles sont fréquemment laissées de côté ou très mal rédigées.
2
Dérivation sous le signe intégral mal justifiéeQ14
La question 14 est rarement bien traitée : il fallait se restreindre à un compact et la vérification de l'hypothèse de domination est souvent omise ou incorrecte.
3
Raisonnements farfelus pour conclureQ20
Certains candidats produisent des arguments hors sujet pour boucler un raisonnement, ce qui nuit à la copie.
« En utilisant la densité de IN dans IR... »
4
Invocation de théorèmes hors programmeQ21, Q22
Les questions 21 et 22 sont rarement bien traitées ; le jury rappelle qu'une preuve est attendue et non l'invocation d'un théorème hors programme.
5
Subtilité de l'uniformité en question 25Q25
La plupart des candidats qui abordent cette question, l'une des plus difficiles, passent à côté de la nécessité d'un résultat de convergence uniforme sur ]0,1[.
6
Calculs inutilement longs en question 17Q17
Beaucoup de candidats redémontrent ce résultat par une nouvelle intégration par parties, ce qui fait perdre un temps inutile.

Ce qui a été bien réussi

La première partie, qui fait appel à des notions élémentaires, est assez souvent correctement traitée.
Les questions 3, 4, 5, 6, 7 et 9 sont en général bien traitées.
La question 15, classique, est souvent bien traitée.
La troisième partie, pourtant sélective, est souvent correctement abordée.

Conseils du jury

Lire le sujet en entier avant de commencer : une vision claire des buts poursuivis aide à répondre à certaines questions.
Avoir une idée claire de la solution avant de rédiger, et mettre en relief les arguments clefs de la réponse.
Bien connaître le programme et les théorèmes du cours, en particulier les propriétés élémentaires de la fonction Gamma.
Maîtriser le théorème de dérivation sous le signe intégral (ou sous le signe somme), très souvent indispensable.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le but de ce problème est d'étudier le comportement asymptotique fin des racines de la dérivée du polynôme de degré

n + 1

P_n(X) = X(X - 1)\dots(X - n),

lorsque

n

tend vers l'infini.
On notera cot la fonction définie sur

]0, π[

par

cot(x) = (cos(x))/(sin(x))

Cette fonction est une bijection de

]0, π[

sur

ℝ

. On notera Arc cot sa fonction réciproque. Pour tout réel

x, [x]

désignera la partie entière de

x

. On rappelle la formule de Stirling:

n! \sim \sqrt(2πn) \cdot (n/e)^n quand n \to + \infty.

Les parties I et II sont indépendantes.

I. Quelques propriétés des racines de $P_n^'$

Montrer que, pour tout $n \geq 1, P_n^'$ admet exactement une racine $x_(n, k)$ dans chacun des intervalles $]k, k + 1[$ , pour $k = 0, \dots, n - 1$ .

Notons

α_(n, k) = x_(n, k) - k \in ]0, 1[

, la partie fractionnaire de

x_(n, k)

.
2) Pour

n \geq 1

, en calculant les coefficients de degré

n - 1

n

P_n^'

, exprimer

\sum_(k = 0)^(n - 1)x_(n, k)

, puis

\sum_(k = 0)^(n - 1)α_(n, k)

en fonction de

n

.
3) En comparant

P_n(X)

P_n(n - X)

, exprimer

x_(n, n - 1 - k)

en fonction de

x_(n, k)

, pour tout

n \geq 1

, et pour tout

k = 0, \dots, n - 1

.
4) Déterminer la valeur de

α_(n, k) + α_(n, n - 1 - k)

Le but des questions suivantes est de montrer que,

n

étant fixé, la suite des

α_(n, k)

croît lorsque

k

croît de 0 à

n - 1

.
5) Pour tout

n \geq 1

, dresser, en fonction de la parité de

n

, le tableau de variations de

P_n

On y fera apparaître les réels

x_(n, k)

pour

k = 0, 1, \dots, n - 1

ainsi que les entiers

0, 1, \dots, n

. On pourra s'inspirer du modèle de la figure 1 .
6) En déduire le signe de

(- 1)^(n - k)P_n(x_(n, k))

pour

k = 0, 1, \dots, n - 1

.
7) En utilisant la relation

P_n(X) = (X - n)P_(n - 1)(X)

, déterminer le signe de

(- 1)^(n - k)P_n^'(x_(n - 1, k))

pour

k = 0, 1, \dots, n - 2

.
8) En déduire que pour

k = 0, 1, \dots, n - 2

, on a

x_(n - 1, k) > x_(n, k)

.
9) En utilisant l'idendité

P_n(X) = XP_(n - 1)(X - 1)

, déterminer, en fonction de

k

n

, le signe de

(- 1)^(n - k)P_n^'(1 + x_(n - 1, k - 1))

pour

k = 1, \dots, n - 1

.
10) En déduire que pour

k = 1, \dots, n - 1

, on a

x_(n, k) > 1 + x_(n - 1, k - 1)

.
11) Conclure.

II. Un développement asymptotique

Pour

x \in ℝ

, on considère la fonction

h_x

définie sur

ℝ_+^*

par

h_x(t) = t^(x - 1)e^(- t)

.
12) Déterminer

E = {x ∈ ℝ|h_x

est intégrable sur

]0, + \infty[}

Pour

x \in E

, on pose

Γ(x) = \int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- t)dt

Montrer que $Γ$ est strictement positive sur $E$ .
Montrer que $Γ$ est deux fois dérivable sur $E$ .
Exprimer pour tout $x \in E, Γ(x + 1)$ en fonction de $x$ et $Γ(x)$ .

On admet que la fonction

Γ

satisfait, pour tout

x \in ]0, 1[

, la formule :

Γ(x)Γ(1 - x) = π/(sin(πx))

Désormais, on pose, pour tout

x \in E

Ψ(x) = (Γ^'(x))/(Γ(x))

Montrer que $Ψ$ est strictement croissante.
Établir, que pour tout $x \in E$ ,

Ψ(x + 1) = Ψ(x) + 1/x

Le but des questions suivantes est de montrer que, pour tout

x > 0

lim_(m \to + \infty)[Ψ(x) + \sum_(j = 0)^m 1/(x + j) - lnm] = 0

On pose pour tout

x > 0

φ(x) = Ψ(x) - ln(x).

Montrer que la série de terme général $(φ(n + 1) - φ(n))$ converge.
Montrer que la suite ( $φ(n), n \geq 1$ ) converge lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini. Soit $C$ sa limite.
Établir que l'on a aussi:

lim_(x \to + \infty)φ(x) = C

Montrer que si $C \neq 0$ ,

\int_1^x φ(t)dt \sim _(+ \infty)Cx

Montrer que $C = 0$ .
Conclure en considérant $Ψ(x + m + 1)$ .

III. Comportement asymptotique des $α_(n, k)$

En considérant la fraction $(P_n^')/(P_n)$ , montrer que

\sum_(j = 0)^k 1/(α_(n, k) + j) - \sum_(j = 0)^(n - k - 1)1/((1 - α_(n, k)) + j) = 0.

Pour $t \in ]0, 1[$ fixé, on pose $u_n = α_(n, [nt])$ pour $t \in ]0, 1[$ . Démontrer que

lim_(n \to + \infty)[Ψ(u_n) - Ψ(1 - u_n) + ln((1 - t)/t)] = 0.

Démontrer que la suite ( $u_n, n \geq 1$ ) est convergente et calculer sa limite, que l'on notera $F(t)$ .

$x$	$- \infty$	0	$x_(n, 0)$	1	$x_(n, 1)$	. . .	$2k$	$x_(n, 2k)$	$2k + 1$	$x_(n, 2k + 1)$	$2k + 2$
$P_n^'$
$P_n$

Fig. 1 - Modèle de tableau de variation.

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines-Ponts maths 2 MP 2006 ?

Il porte sur l'étude de fonctions et le théorème de Rolle, les intégrales à paramètre et la dérivation sous le signe intégral, la fonction Gamma, ainsi que les séries et développements asymptotiques.

Quelles questions le jury a-t-il jugées les plus difficiles sur ce sujet Mines-Ponts maths 2 MP 2006 ?

Les questions 8, 10, 14, 21, 22, 25 et 26, portant notamment sur la dérivation sous le signe intégral et sur la convergence uniforme, sont signalées comme rarement bien traitées.

Ce sujet Mines-Ponts maths 2 MP 2006 est-il faisable en prépa MP ?

La première partie, fondée sur des notions élémentaires, est accessible, mais l'ensemble du problème est jugé sélectif par le jury, en particulier sa troisième partie.

Faut-il bien connaître la fonction Gamma pour ce sujet ?

Oui, la partie II repose entièrement sur ses propriétés (dérivabilité, formule des compléments), qui sont explicitement au programme selon le rapport.

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Filière MP

Les parties I et II sont indépendantes.

I. Quelques propriétés des racines de P_n^′

II. Un développement asymptotique

III. Comportement asymptotique des α_(n, k)

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mines-Ponts maths 2 MP 2006 ?

Quelles questions le jury a-t-il jugées les plus difficiles sur ce sujet Mines-Ponts maths 2 MP 2006 ?

Ce sujet Mines-Ponts maths 2 MP 2006 est-il faisable en prépa MP ?

Faut-il bien connaître la fonction Gamma pour ce sujet ?

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I. Quelques propriétés des racines de $P_n^'$

III. Comportement asymptotique des $α_(n, k)$