Mines Mathématiques 1 MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices stochastiques

Le problème démontre le théorème de Perron-Frobenius pour une matrice stochastique T telle que (I + T)^(n-1) soit strictement positive. La partie I établit l'existence d'un vecteur propre strictement positif par un argument de borne supérieure et de compacité ; la partie II construit une méthode d'approximation de ce vecteur par les moyennes arithmétiques des puissances successives de T.

1Partie I : un vecteur propre strictement positifÉtude de la fonction θ définie à partir des inégalités θx ≤ Tx, continuité, existence d'un maximum sur un compact et construction d'un vecteur propre strictement positif (questions 1 à 13).
2Partie II : une méthode d'approximationMajoration des valeurs propres, normes subordonnées des puissances de T, valeurs d'adhérence des moyennes R_k x et identification de la limite comme projecteur (questions 14 à 29).

Difficile. Le rapport qualifie le problème de très long et chargé en notations ; personne ne l'a traité en totalité et la moyenne est de l'ordre de 7,5 sur 20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,5 / 20 · écart-type 3,75 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 7,5/ 20
Écart-type: 3,75

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Multiplier une inégalité sans vérifier le signe · Argument de borne supérieure non explicité · Continuité d'un minimum de fonctions continues

La plupart des candidats ont eu du mal à assimiler un énoncé long et riche en notations, et la rédaction est en général imprécise et hésitante. Beaucoup de questions demandent d'établir un résultat donné, ce qui rend les réponses vagues difficiles à distinguer d'une tentative de bluff. Un très petit nombre de copies obtient néanmoins une note voisine de 20.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Multiplier une inégalité sans vérifier le signe
Passer de a ≤ b à ax ≤ bx exige de préciser que x est positif ; de même, majorer une somme par la somme des valeurs absolues demande la positivité des coefficients.
« Si a est inférieur à b, alors pour affirmer que ax est inférieur à bx, il faut dire que x est un réel positif. »
2
Argument de borne supérieure non explicitéquestion 2
Beaucoup passent d'une inégalité à l'égalité avec un minimum sans justifier l'argument invoqué.
« qui n'est absolument pas précisé, ce qui indispose le correcteur »
3
Continuité d'un minimum de fonctions continues
Peu de candidats savent démontrer que le minimum d'un nombre fini de fonctions continues est continu.
4
Confusion entre partie bornée et compact
Une fonction continue sur une partie bornée de R^n n'est pas forcément bornée et n'atteint pas forcément ses bornes.
« Une fonction continue sur une partie bornée de Rn n'est pas forcément bornée »
5
Calcul erroné des puissances de matrices
La puissance k-ième d'une matrice n'est pas la matrice des puissances k-ièmes de ses coefficients.
6
Commutation affirmée sans justificationquestion 23
Il faut expliquer que R_l et R_m commutent parce que ce sont des polynômes en T.
« il ne suffit pas de dire que Rl et Rm commutent, il faut dire pourquoi »

Ce qui a été bien réussi

Un très petit nombre de candidats impressionne le jury et obtient une note proche de 20.
Certains candidats semblent avoir déjà rencontré en classe une partie des notions de l'énoncé.

Conseils du jury

Lire calmement tout le sujet avant de commencer pour assimiler les notations.
Écrire lisiblement et encadrer les résultats.
Pour un résultat donné par l'énoncé, rédiger une démonstration claire et concise citant précisément les théorèmes et les numéros des questions utilisées.
Construire chaque démonstration au brouillon avant de la recopier.
Indiquer nettement qu'on admet le résultat d'une question non traitée ; toute tentative de dissimulation est pénalisée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Pour

𝕂 = ℝ

ℂ

, on note

M_(n, l)(𝕂)

l'ensemble des matrices à

n

lignes et

l

colonnes à coefficients dans

𝕂

. Un élément de

M_(n, l)(ℝ)

sera considéré comme élément de

M_(n, l)(ℂ)

. Dans la suite, on identifie les matrices carrées (respectivement les matrices colonnes) et les endomorphismes (respectivement les vecteurs) canoniquement associés dans

ℂ^n

: par exemple, on note par la même lettre une matrice

T

M_(n, n)(ℝ)

et l'endomorphisme de

ℂ^n

dont

T

est la matrice dans la base canonique de

ℂ^n

M \in M_(n, l)(𝕂)

x \in 𝕂^l, (Mx)_i

désigne la

i

-ième composante du vecteur

Mx \in 𝕂^n

. On note

I_n

la matrice identité de

M_(n, n)(ℂ)

. Pour

x = (x_1, \dots, x_n) \in 𝕂^n

, on note

‖x‖_1 = ∑_(i = 1)^n|x_i| et ‖M‖_1 = sup_(x ∈ 𝕂^n∖{0})(‖Mx‖_1)/(‖x‖_1),

pour

M \in M_(n, n)(𝕂)

, la norme matricielle subordonnée.
Définition 1 On dit qu'une matrice

M \in M_(n, l)(ℝ)

, de coefficients notés (

m_(ij), 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq l

), est positive (respectivement strictement positive), ce que l'on note

M \geq 0

(respectivement

M > 0

), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respectivement strictement positifs):

m_(ij) ≥ 0(resp. m_(ij) > 0) pour tout (i, j) ∈ {1, ⋯, n} × {1, ⋯, l}.

Pour deux matrices

M

N

M_(n, l)(ℝ), M \geq N

(respectivement

M > N

) lorsque

M - N \geq 0

(respectivement

M - N > 0

Une matrice

M \in M_(n, n)(ℝ)

de coefficients notés (

m_(ij), 1 \leq i, j \leq n

) est dite stochastique lorsqu'elle est positive et que de plus

∑_(i = 1)^n m_(ij) = 1, pour tout j ∈ {1, ⋯, n}.

On définit les ensembles

B, B^+

Σ

par:

B, = {x ∈ ℝ^n/x ≥ 0 et x ≠ 0},; B^+, = {x ∈ ℝ^n/x > 0},; Σ, = {x ∈ ℝ^n/‖x‖_1 = 1}.

Nous souhaitons montrer le résultat suivant:
Théorème 1 (Perron-Frobenius) Soit

T \in M_(n, n)(ℝ)

stochastique telle que

(I_n + T)^(n - 1) > 0

. Il existe un vecteur strictement positif

x_0

satisfaisant

Tx_0 = x_0

. Toutes les valeurs propres de

T

sont de module inférieur à 1 et pour tout vecteur

y

Σ \cap B

lim_(k \to + \infty)1/k\sum_(j = 0)^(k - 1)T^j y = (x_0)/(‖x_0‖_1)

Les deux parties sont dans une large mesure indépendantes.

I Un vecteur propre strictement positif

On suppose que

T

est un élément positif de

M_(n, n)(ℝ)

tel que

P = (I_n + T)^(n - 1) est strictement positive.

Montrer que pour tout $x \in B$ , l'ensemble $Γ_x = {θ ∈ ℝ^+/θx ≤ Tx}$ est non vide, fermé et borné.

On note

θ(x)

son plus grand élément.
2) Montrer que pour tout

x \in B

, on peut calculer

θ(x)

de la manière suivante:

θ(x) = min{((Tx)_i)/(x_i)/1 ≤ i ≤ n et x_i ≠ 0}

On note

θ

l'application de

B

dans

ℝ^+

qui à

x

associe

θ(x)

.
3) Montrer que pour tout

α > 0

et tout

x \in B, θ(αx) = θ(x)

.
4) Montrer que

P(B) \subset B^+

.
5) Montrer que pour tout

x \in B, θ(Px) \geq θ(x)

θ(Px) > 0

.
6) Soit

x \in B

un vecteur propre de

T

. Montrer que

θ(Px) = θ(x)

.
7) Soit

x \in B

tel que

θ(Px) = θ(x)

, montrer que

x

est un vecteur propre de

T

pour la valeur propre

θ(x)

.
8) Soit

C = B \cap Σ

. Montrer que l'application

θ

est continue de

P(C)

dans

ℝ

.
9) Justifier l'existence de

x_0 \in P(C)

tel que

θ(x_0) = sup_(x \in P(C))θ(x)

.
10) Montrer que

sup_(x \in P(C))θ(x) \geq sup_(x \in C)θ(x)

.
11) Montrer que

sup_(x \in B)θ(x) = sup_(x \in C)θ(x)

.
12) Montrer que

sup_(x \in C)θ(x) = sup_(x \in P(C))θ(x)

et que

θ(x_0) = sup_(x \in C)θ(x)

On pose

θ_0 = θ(x_0)

.
13) Montrer que

x_0

est un vecteur propre, strictement positif, de

T

pour la valeur propre

θ_0

et que

θ_0 > 0

II Une méthode d'approximation

On suppose maintenant que

T

est stochastique et telle que

P = (I_n + T)^(n - 1)

est strictement positive.

Pour un vecteur

x = (x_1, \dots, x_n)

ℂ^n

, on note

x^+

le vecteur

(|x_1|, \dots, |x_n|)

, où

|z|

est le module du complexe

z

. Pour tout entier

k \geq 1

, on pose

R_k = 1/k\sum_(j = 0)^(k - 1)T^j

Soit $θ \in ℂ$ et $x \in ℂ^n$ un vecteur propre de $T$ pour la valeur propre $θ$ . Montrer que $|θ|x^+ \leq Tx^+$ .
En déduire que $|θ| \leq θ_0$ .
Montrer que $|θ|‖x^+‖_1 \leq ‖x^+‖_1$ et en déduire que $|θ| \leq 1$ .
En déduire $θ_0 = 1$ .
Montrer que pour tout $j \geq 1, T^j$ et $R_j$ sont des matrices stochastiques.
Établir, pour tout $k \geq 1$ , les inégalités suivantes:

‖T^k‖_1 \leq 1 et ‖R_k‖_1 \leq 1

Montrer que pour tout $k \geq 1, ‖TR_k - R_k‖_1 \leq 2/k$ .
Soit $x \in ℂ^n$ , montrer que la suite ( $R_k x, k \geq 1$ ) a au moins une valeur d'adhérence.
Soit $y$ une valeur d'adhérence de la suite ( $R_k x, k \geq 1$ ), montrer que $Ty = y$ et que pour tout $k \geq 1, R_k y = y$ .
Soit $y$ et $z$ deux valeurs d'adhérence de ( $R_k x, k \geq 1$ ), montrer pour tous les entiers $m$ et $l$ , l'identité suivante:

y - z = R_l(R_m x - z) - R_m(R_l x - y).

Montrer que la suite ( $R_k x, k \geq 1$ ) a exactement une valeur d'adhérence.
Montrer qu'il existe une matrice $R$ telle que $Rx = lim_(k \to + \infty)R_k x$ pour tout $x \in ℂ^n$ et $lim_(k \to + \infty)‖R_k - R‖_1 = 0$ .
Montrer que $T$ et $R$ commutent.
Montrer que $RT = R$ et $R^2 = R$ .
Caractériser $R$ en fonction de $Ker(T - I_n)$ et $Im(T - I_n)$ .
On admet que $Ker(T - I_n)$ est de dimension 1 . Pour $x \in B$ , expliciter $Rx$ en fonction de $‖x‖_1, ‖x_0‖_1$ et $x_0$ .

FIN DU PROBLÈME

Ce théorème possède d'innombrables applications. L'une des dernières est son utilisation dans le classement (PageRank) des pages Web effectué par le plus connu des moteurs de recherche.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 1 MP Mines-Ponts 2006 ?

Il démontre le théorème de Perron-Frobenius pour les matrices stochastiques : existence d'un vecteur propre strictement positif puis approximation de ce vecteur par des moyennes des puissances de la matrice. Il mobilise la borne supérieure, la topologie de la dimension finie et les valeurs d'adhérence.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths 1 MP Mines 2006 ?

Le rapport indique une moyenne générale de l'ordre de 7,50 sur 20 et un écart-type de l'ordre de 3,75.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 MP Mines 2006 ?

Le jury cite des inégalités multipliées sans vérifier le signe, un argument de borne supérieure non précisé à la question 2, la confusion entre partie bornée et compact, un mauvais calcul des puissances de matrices et une commutation non justifiée à la question 23.

Le sujet de maths 1 MP Mines 2006 est-il long ?

Oui, le jury le juge très long et chargé en notations : aucun candidat ne l'a traité en totalité. Il recommande de lire tout l'énoncé avant de commencer.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Mathématiques 1 MP 2006

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