Ondes électromagnétiques, morceaux choisis : fibre optique et antennes rayonnantes
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Le sujet comporte deux parties indépendantes sur les ondes électromagnétiques. La première étudie le guidage de l'infrarouge proche dans une fibre optique, à saut d'indice puis à gradient d'indice. La seconde traite du rayonnement d'une antenne dans le domaine des micro-ondes et se termine par les réseaux d'antennes dipolaires.
1Partie I.1 : fibre optique à saut d'indiceOuverture numérique, condition de phase des modes guidés, fréquence de coupure et dispersion intermodale.
2Partie I.2 : fibre optique à gradient d'indiceTrajectoire plane du rayon, équation différentielle de la trajectoire, profil d'indice et portrait de phase.
3Partie II.1 et II.2 : rayonnement à grande distance et antenne dipolaireChamp rayonné par un dipôle, structure locale d'onde plane, vecteur de Poynting, puissance rayonnée et résistance de rayonnement.
4Partie II.3 : réseaux d'antennes dipolairesSuperposition des champs de plusieurs antennes déphasées et diagramme de rayonnement du réseau.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Conversion fréquence et longueur d'onde · Résultat donné atteint par un calcul maquillé · Condition « en phase » réduite à un déphasage nul
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La seconde partie, sur les antennes, a été la plus abordée et la mieux réussie, alors que l'optique géométrique de la partie sur la fibre semblait mal maîtrisée. Les difficultés viennent surtout de bases mathématiques fragiles (trigonométrie, développements limités, inégalités) et de connaissances confuses sur les ondes. Beaucoup d'erreurs de calcul auraient pu être évitées par une relecture.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Conversion fréquence et longueur d'ondeQ1
Beaucoup de candidats ne savent pas passer d'une bande de fréquences à une bande de longueurs d'onde, confondent MHz et GHz, ou l'infrarouge proche avec le proche ultraviolet.
2
Résultat donné atteint par un calcul maquilléQ4, Q17
Pour le déphasage entre rayons dans la fibre, une distance fausse permettait d'arriver à la formule de l'énoncé. Les correcteurs l'ont repéré et sanctionné.
« Les correcteurs ont été sévères pour les candidats qui maquillent leur résultat afin d'arriver à la formule demandée. »
3
Condition « en phase » réduite à un déphasage nulQ5, Q6, Q7
Il ne fallait pas exclure les multiples de 2π, et la condition de réflexion totale était souvent oubliée dans le comptage des modes, ce qui faussait les questions suivantes.
4
Pulsation et fréquence confonduesQ6
La fréquence de coupure est mal exprimée et un mauvais traitement des inégalités conduit à une conclusion fausse sur le caractère passe-haut.
5
Notations complexe et réelle mélangéesQ16
Le champ rayonné mêle souvent les deux notations et oublie le déphasage ou la dépendance en (t - r/c).
6
Direction du vecteur de Poynting invraisemblableQ18
Le vecteur de Poynting est parfois donné selon une direction orthoradiale ou dirigé vers la source. Il faut aussi préciser que l'onde n'est plane que localement.
« le vecteur de Poynting a souvent été indiqué comme colinéaire au vecteur unitaire eθ ou à eφ »
Ce qui a été bien réussi
Les questions 2 et 3 sont très souvent correctes lorsqu'elles sont abordées.
Les questions 12, 14 et le cours sur le dipôle (question 13) sont en général bien traités.
La démonstration du déphasage en question 15 est dans l'ensemble correcte.
Les questions sur les réseaux d'antennes, bien que peu abordées, sont souvent bien comprises par analogie avec les réseaux.
Conseils du jury
Vérifier systématiquement l'homogénéité des relations et garder des ordres de grandeur en tête.
Faire une figure avec les notations de l'énoncé dès qu'intervient un argument géométrique.
Ne pas oublier les flèches ou vecteurs unitaires dans une égalité vectorielle.
Relire l'énoncé en cours d'épreuve : les résultats donnés plus loin peuvent confirmer les siens.
Ne pas refaire les démonstrations de cours non demandées.
Ne pas rester bloqué sur une question : passer à la suite et y revenir.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2006
PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)L'usage de la calculette est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I -MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques qui vous sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES : MORCEAUX CHOISIS
L'épreuve est constituée de deux parties indépendantes ; elle concerne d'abord la propagation d'ondes électromagnétiques dans une fibre optique (domaine infrarouge proche), ensuite la production de rayonnement électromagnétique par une antenne ou par un réseau d'antennes (micro-ondes, de fréquences comprises entre 300 MHz et 300 GHz environ).
Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.
Données générales : ε_0 permittivité diélectrique du vide, ε_0 ≈ 8, 84 × 10^(− 12) F.m^(− 1) μ_0 perméabilité magnétique du vide, μ_0 = 4π × 10^(− 7)H.m^(− 1) ≈ 1, 26 × 10^(− 6)H.m^(− 1) c vitesse de la lumière dans le vide, c ≈ 3 × 10^8 m ⋅ s^(− 1)(ε_0 μ_0 c^2 = 1).
Préliminaire
-1-Quelle est, exprimée en longueur d'onde, la bande spectrale des micro-ondes ? Quel phy-
sicien fut le premier à produire expérimentalement et détecter des ondes électromagnétiques de fréquence de l'ordre du GHz, en 1887, confirmant ainsi la théorie de J. C. Maxwell ? À quel domaine de longueur d'ondes le rayonnement proche infrarouge appartient-il ?
I - Guidage par fibre optique
Fig. 1 - Guide d'ondes diélectrique
On considère (Fig. 1) un guide d'ondes diélectrique constitué de deux cylindres concentriques de section circulaire, et constitués l'un et l'autre de matériau isolant (la silice). L'indice de réfraction de la partie centrale, appelée cœur, est noté n_1 (cet indice n'est pas nécessairement uniforme) ; l'indice de la partie périphérique, appelée gaine, est noté n_2, avec n_2 < n_1; l'indice de gaine est uniforme. Le milieu extérieur est l'air, assimilé au vide et donc d'indice égal à 1 . On note f la fréquence des ondes, ω leur pulsation et λ = c/f leur longueur d'onde dans le vide.
I - 1 Fibre optique à saut d'indice
Fig. 2 - Fibre à saut d'indice. L'indice de cour est noté n_i et l'indice de gaine n_2.
Dans une fibre à saut d'indice, le cœur (de diamètre a ) et la gaine sont des milieux homogènes: n_1 et n_2 sont uniformes. On note z la direction générale de propagation (Fig. 2).
2 - Montrer que le rayon lumineux est guidé dans le cœur (c'est-à-dire qu'il n'en sort pas) si θ est supérieur à une certaine valeur, θ_L, que l'on exprimera en fonction de n_1 et de n_2. Calculer θ_L pour une fibre d'indice de cœur n_1 = 1, 456 entourée d'une gaine d'indice n_2 = 1, 410. ◻3 - On note i l'angle d'entrée du rayon à l'extérieur de la fibre (Fig. 2). Exprimer, en fonction de Δ = n_1 − n_2(Δ≪n_2) et n_1, la valeur maximale de i (notée i_(max) ) pour que le guidage soit assuré dans la fibre. Calculer sin(i_(max)) (appelée ouverture numérique).
Introduction aux questions 4 à 8
La condition θ > θ_L est nécessaire mais non suffisante pour rendre compte du détail de la propagation dans la fibre. Anticipons sur les résultats de l'approche ondulatoire en introduisant, de manière empirique à ce stade, une phase associée aux rayons ^1 : les ondes planes associées aux
rayons totalement réfléchis interfèrent. Seuls certains angles d'inclinaison satisfont une condition de phase qui construit une interférence identique tout le long de l'axe de propagation ;
Fig. 3 - Rayons et plan d'onde.
ils correspondent aux modes guidés. Considérons (Fig. 3) la direction de propagation parallèle à AB et à CD et le plan d'onde ( π ) relatif à cette direction. Pour qu'il y ait propagation, il faut que les champs correspondant à cette direction soient en phase.
4-On ne tient pas compte de l'éventuel déphasage introduit par la réflexion sur l'interface cœur/gaine. Montrer alors que le déphasage φ entre l'amplitude de l'onde en P et l'onde en P^′ s'exprime par φ = 4πn_1 a/(λ_0)cos(θ). ◻5 - En déduire l'existence de modes de propagation, valeurs discrètes de θ notées θ_m où m est un entier, pour lesquelles la propagation est possible. Exprimer le nombre N_M de modes possibles, en fonction de n_1, n_2, a et λ. L'entier m est appelé l'ordre du mode.
6 - Le diamètre de cœur a étant donné, démontrer l'existence d'une fréquence de coupure pour le mode d'ordre m. Préciser le comportement fréquentiel du dispositif.
7 - Le mode fondamental correspond, par définition, à m = 0. Exprimer, puis calculer pour λ = 1, 5 × 10^(− 6) m la valeur maximale que peut prendre a pour que seul ce mode se propage. On dit alors que la fibre est monomode. ◻8 - Soit L la longueur de la fibre. Exprimer la différence ΔT de temps de parcours de l'entrée à la sortie, entre le trajet de durée minimale ( θ = 0 ) et le trajet maximal ( θ = θ_L ). Donner l'expression approchée de ΔT en fonction seulement de L, Δ et c. On convient que le débit maximal de la fibre, R_(max)^(saut), est l'inverse de ΔT. Calculer R_(max)^(saut) (bits par seconde).
Introduction à la partie I - 2
Fig. 4-Le signal 010.
Dans les fibres optiques utilisées en télécommunications, un message (Fig. 4) est constitué d'une succession de signaux (on dit quelquefois impulsions) binaires (présence, [0] ou absence [1]) de durée égale, δ. Le débit numérique maximal, exprimé en signaux par seconde, est alors R_(max)^(saut.ind) = 1/δ. Divers phénomènes distordent les impulsions qui se propagent, ce qui entrave la reconstitution de l'information. On améliore la situation en utilisant une fibre dite à gradient d'indice. L'indice de réfraction est continu à
l'intérieur de ce genre de fibre ^1; il varie dans le cœur avec la distance r à l'axe Oz et il est constant dans la gaine ( r ≥ a ), avec la valeur n_2. L'indice dans le cœur (Fig. 5), est modélisé,
Fig. 5-Un profil d'indice, F(u) = u^2.
I-2 Fibre optique à gradient d'indice
9 - On admet que la loi de Descartes est applicable de proche en proche, c'est-à-dire que n(r)sin[θ(r)] est constant.
Fig. 6 - En A, représentation de l'angle externe d'entrée dans la fibre, i, ct de l'angle interne, θ_0; cn B, représentation de la loi de Descartes dans un plan méridien ct pour deux dioptres plans situés on r et on r + dr.
Un rayon lumineux entre dans la fibre au centre de la face d'entrée, avec un angle externe d'incidence i; il se dirige à l'intérieur de la fibre vers les r croissant avec un angle interne θ_0 au point (z = 0^+, r = 0), de sorte que sin(i) = n_1 cos(θ_0). Montrer que ce rayon se propage dans un plan et que l'équation
différentielle donnant sa trajectoire dans la fibre s'écrit
1 + ((dr)/(dz))^2 = (n^2(r))/(n_1^2 sin^2 θ_o)
10 - Quelle est la valeur de F(1) ? Retrouver l'expression de l'ouverture numérique (cf. question 3), à partir de l'équation différentielle [1] et de l'expression générale de l'indice.
◻11 - En considérant le portrait de phase associé à [1], montrer que la trajectoire des rayons, r(z), est une fonction périodique de z.
12 - Dans une fibre à gradient d'indice de longueur L, la différence de temps de parcours entre le trajet minimal et le trajet maximal est ΔT^′ = 1/2n_1((n_1 − n_2)/(n_1))^2 L/c. Déduire de cette rela-
tion le débit numérique maximal (cf. question 8). Exprimer et calculer (R_(max)^(grad.ind.))/(R_(max)^(saut)).
FIN DE CETTE PARTIE
II - Antennes rayonnantes
Fig. 7 - Dipole rayonnant.
Un dipôle élémentaire variable dp⃗(t) = [dp(t)]u⃗_z, placé en O , parallèle à Oz (Fig. 7), rayonne à grande distance un champ électromagnétique dont la composante électrique est notée
avec OM = r et u_θ^(→−) et u_z^(→−) vecteurs unitaires associés aux coordonnées θ et z; d p¨ désigne la dérivée seconde de dp par rapport au temps.
II - 1 Rayonnement à grande distance
13-Définir la zone de rayonnement et rappeler les hypothèses conduisant à l'expression cidessus du champ rayonné.
Fig. 8-Antenne filaire ; AB = 2L. (dans le cas du problème, r≫L !).
14 - Une antenne (Fig. 8) est constituée d'une tige métallique rectiligne fine, de longueur 2L, parcourue par le courant I(z, t) = I_o f(z)cos(ωt), où la fonction f est indéterminée à ce stade. On note I(z, t) = ℜe[I_–(z, t)]. Exprimer dp˙(t) dérivée temporelle du moment dipolaire élémentaire associé à l'élément dz d'antenne placé en P(OP^– = z), en fonction de I(z, t) et de dz.
15- On s'intéresse au champ rayonné à grande distance par cette antenne, avec notamment r≫L. On adopte la notation complexe standard. Montrer que le déphasage entre le champ élémentaire dE_P^(→−)_–(M, t) produit en M par le dipôle dp⃗ placé en P , et le champ dE_O^(→−)_–(M, t) produit en M par le dipôle placé en O est, à l'ordre le plus bas en z/r, φ = ω/czcosθ. ◻16 - En déduire l'expression, sous forme d'une intégrale faisant intervenir f(z), du champ E⃗(M, t) produit à grande distance par l'antenne entière. Identifier ainsi une onde sphérique.
Introduction à la partie II - 2
On s'intéresse aux antennes demi-onde, ainsi nommées parce que leur longueur 2L est égale à la demi-longueur d'onde du rayonnement qu'elles
Fig. 9 - Antenne demi-onde : schéma et réalisation.
II - 2 Antenne dipolaire
17 − On choisit (cf. question 14)
f(z) = cos(πz/(2L)) = cos(2πz/λ)
Montrer que, dans ces conditions, E⃗(M, t) = − 1/(2πε_0 c)(I_0)/r(cos[π/2cos(θ)])/(sin(θ))sin[ω(t − r/c)]u⃗_θ, qui correspond, en notation complexe, à E⃗_–(M, t) = i/(2πε_0 c)(I_0)/r(cos[π/2cos(θ)])/(sin(θ))exp[iω(t − r/c)]u⃗_θ.
18 - Rappeler la structure de l'onde rayonnée à grande distance et justifier de ce fait la relation B⃗(M, t) = 1/cu⃗_r ∧ E⃗(M, t), où u⃗_r est le vecteur unitaire radial ( B⃗ a son sens usuel). Donner l'expression du vecteur de Poynting Π⃗.
Fig. 10 - Aire élémentaire découpée sur une sphère.
19- On rappelle que l'aire d'une portion de sphère de rayon r et d'extensions angulaires ( dθ, dφ ) autour de ( θ, φ ) (Fig. 10) est d S = r^2 sin(θ)dθdφ; sachant que ∫_0^π sin^3(θ)dθ = 4/3, établir l'expression suivante de la puissance moyenne totale rayonnée par l'antenne demi-onde 20 - Calculer l'intégrale A = ∫_0^π(cos^2[π/2cos(θ)])/(sin(θ))dθ à l'aide de votre calculette (ne pas chercher sa forme explicite) ; vérifier votre calcul en vous aidant de la Fig. 11, qui représente
Fig. 11 - La fonction cos[πcos(θ)/2] en trait plein et son approximation en pointillés. L'abscisse est en degrés.
l'approximation cos[π/2cos(θ)] ≈ 0, 95sin^2(θ).
21 -Calculer la résistance d'antenne, ℜ, définie par la relation P_r = 1/2ℜI_o^2. ◻22 − On note ⟨Π⟩_t la valeur moyenne dans le temps de l'amplitude du vecteur de Poynting (cette grandeur a sans doute été introduite à la question 19) et ⟨Π⟩_(t, max) sa valeur maximale par rapport aux variables angulaires. Le diagramme de rayonnement (on dit aussi bien l'indicatrice) est défini ici comme le graphe, en coordonnées polaires (ρ, θ) de la fonction ρ(θ) = (⟨Π⟩_t)/(⟨Π⟩_(t, max)). Tracer sommairement le diagramme de rayonnement de l'antenne demi-onde. Vérifier que le maximum de puissance est émis dans le plan xOy normal à l'antenne.
II - 3 Réseaux d'antennes dipolaires
Fig. 12 - Réseau d'antennes demi-onde espacées de «a » sur Oy. Le récepteur est en M(r, φ), dans le plan xOy.
On étudie un réseau de N antennes A_0, A_1, …, A_(N − 1), identiques à l'antenne dipolaire de la partie II - 2 et centrées sur Oy aux points d'ordonnées y_p = pa, avec 0 ≤ p ≤ N − 1. Les courants alimentant chacune des antennes sont sinusoïdaux de pulsation ω; ils se distinguent les uns des autres par leurs amplitudes et leurs déphasages respectifs. On s'intéresse au rayonnement dans le plan xOy(θ = π/2), dont les points M sont repérés par leurs coordonnées polaires (r, φ). On suppose réalisées les inégalités r≫λ(λ = 4L) et r≫Na.
Les parties II - 3-1 et II - 3-2 sont indépendantes.
II-3-1 Modulation de phase
Le système électronique d'alimentation fournit à A_p le courant I_p_– = I_0 expi(ωt − pψ), où I_0 et ψ sont des réels constants. Les puissances moyennes émises par chaque antenne sont donc identiques. On pose K = ω/c et Φ = ψ − Kasin(φ). ◻23-Exprimer le champ E⃗_–_o rayonné par A_0 en M(r, φ) dans le plan xOy, puis l'expression
au premier ordre en a/r du champ E_–_p^(→−) rayonné au même point par A_p. ◻24 - En déduire le champ E⃗ total rayonné en M par le réseau, en fonction de E_o^(→−), N et ψ. La Fig. 13 illustre quelques aspects du résultat.
Fig. 13 - Quelques résultats relatifs à un réseau de six antennes espacées de a = 1/2λ.
(A) Puissances moyennes (normalisées à l'unité) par unité d'angle solide dans le plan xOy, en fonction de φ (en degrés). (B) Diagrammes de rayonnement correspondants.
(C)Agrandissement de la partie en pointillés de (B), pour ψ = 0 。
25 - Justifier que l'amplitude, E(Φ), de E⃗ n'a de sens que pour ψ − Ka ≤ Φ ≤ ψ + Ka. Admettant que l'amplitude du champ est maximale lorsque sin(Φ/2) = 0, établir que ce maximum est atteint pour des angles polaires φ_m satisfaisant ψ/(2π) − a/λsin(φ_m) = m, où m est un nombre entier.
26 - Calculer l'amplitude maximale du champ; comment la largeur du pic principal, qui correspond à m = 0 varie-t-il avec N ? ◻27 - Comment, dans le cas général, le diagramme de rayonnement se déforme-t-il avec N (nombre, nature et répartition des lobes ...) ? On pourra ne considérer que le cas a = λ/2 (espacement demi-onde). La Fig. 14 pourra guider vos réponses.
Fig. 14 - À gauche, puissances moyennes pour un réseau de 20 antennes en fonction de φ (en degrés). À droite vue agrandie au voisinage de φ = 0. Trait plein : N = 6 et traits pointillés N = 20.
III-3-2 Modulation d'amplitude : le réseau binomial
alors le diagramme de rayonnement est une fonction décroissante de φ pour 0 < φ < π/2, qui ne s'annule pas sur cet intervalle.
29 - Selon quel(s) critère(s) préfèrera-t-on tel ou tel type de modulation?
Fin de cette partie
Fin de l'épreuve
^1 Des travaux relativement récents justifient cette procédure, qui semble paradoxale.
^1 En réalité, il est constant par morceaux autour de l'axe de révolution.
Questions fréquentes
3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines MP 2006 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines MP 2006 ?
+
Sur l'optique géométrique appliquée aux fibres optiques, les interférences et le chemin optique, puis le rayonnement du dipôle oscillant, le vecteur de Poynting et les réseaux d'antennes.
Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique 1 Mines-Ponts MP 2006 ?
+
Des confusions entre pulsation et fréquence, une condition « en phase » réduite à un déphasage nul, des mélanges de notations complexe et réelle, des vecteurs de Poynting mal orientés et des calculs maquillés pour retrouver un résultat donné.
Quelle partie du sujet de physique Mines MP 2006 a été la mieux réussie ?
+
La seconde partie, sur les antennes rayonnantes, a été la plus traitée et la mieux réussie. La partie sur la fibre optique a souffert d'une optique géométrique mal maîtrisée.
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Commentaires• Mines Physique 1 MP 2006
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l'amplitude du champ est maximale lorsque
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