Tensions et compressions dans des corps en rotation : fluide en rotation, barre rigide et cheminée à vitesse angulaire variable
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Le sujet comporte trois parties indépendantes portant sur la mécanique du solide et la statique des fluides dans un référentiel non galiléen. Il étudie successivement un fluide en rotation dans un réservoir cylindrique, une barre rigide puis déformable en rotation, et une cheminée soumise à une rotation à vitesse angulaire variable.
1I. Fluide en rotationÉtude de la pression dans un fluide, incompressible puis compressible, contenu dans un réservoir cylindrique tournant à vitesse angulaire constante.
2II. Rotation d'une barre rigideÉtude de la tension dans une barre rigide puis déformable en rotation, à partir du bilan des actions mécaniques sur un élément de la barre.
3III. Rotation à vitesse angulaire variableÉtude d'une cheminée en rotation à vitesse angulaire variable, avec calcul des efforts de cisaillement et de torsion le long de la cheminée.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Confusion entre force de Coriolis et force d'entraînement · Absence de vérification de l'homogénéité · Conditions aux limites mal posées
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Le jury constate que les difficultés des candidats viennent surtout de connaissances mathématiques élémentaires insuffisantes et d'une analyse physique souvent inexacte des conditions aux limites. Il relève de très bonnes copies mais aussi de très mauvaises, et s'étonne que certains candidats, après deux ou trois ans de classes préparatoires, ne répondent pas aux questions les plus élémentaires.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion entre force de Coriolis et force d'entraînement1
Lors de la démonstration de la formule générale de la statique des fluides, les candidats oublient de préciser le référentiel choisi et confondent force de Coriolis et force d'entraînement.
2
Absence de vérification de l'homogénéité7
Le jury regrette que les candidats ne vérifient pas l'homogénéité des relations trouvées, ce qui aurait pu éviter des erreurs, par exemple une formule inhomogène pour K.
3
Conditions aux limites mal posées12, 13, 14
Les candidats confondent condition initiale et condition limite, avec une erreur fréquente du type considérer que la tige fixée en un point y a une tension nulle.
« la tige est fixée en 0, donc t(O) = 0 »
4
Confusion entre notations vectorielles
Une même notation sans flèche est parfois employée pour désigner tour à tour un vecteur, sa norme et sa projection sur un vecteur unitaire.
5
Confusion moment cinétique et moment de la quantité de mouvement17, 18
Quelques candidats considèrent le moment de la quantité de mouvement comme le moment cinétique de la barre, ou le rajoutent à J0 θ''.
6
Question 24 peu traitée24
La question sur le lieu de la cheminée subissant une torsion maximale n'est pratiquement pas abordée alors qu'elle pouvait être résolue à partir de la relation fournie par le texte.
Ce qui a été bien réussi
Le théorème du moment cinétique est bien appliqué par la majorité des candidats aux questions 17 et 18.
Le théorème du centre d'inertie est appliqué convenablement à la question 19.
Des calculs rigoureux permettent à de nombreux candidats de trouver les bons résultats aux questions 21, 22 et 23.
La question 16 a souvent été bien traitée avec de bons résultats.
L'amélioration de l'orthographe des copies est notée par le jury.
Conseils du jury
Préciser systématiquement le référentiel d'étude et indiquer son caractère galiléen ou non.
Vérifier l'homogénéité de chaque relation obtenue avant de la donner comme résultat final.
Ne pas confondre condition initiale et condition limite lors de la résolution d'une équation différentielle.
Utiliser des notations vectorielles cohérentes, avec une flèche pour les vecteurs.
Lire et relire l'énoncé pendant la résolution, car des informations utiles sont souvent négligées à la première lecture.
Chercher à répondre aux questions accessibles dans tout le problème plutôt que de rester bloqué sur une progression.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2005
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I -MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 5 pages.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement.
Notations : vecteur → V (on pourra écrire V⃗ ); vecteur unitaire de la coordonnée c : c^.
TENSIONS ET COMPRESSIONS
DANS DES CORPS EN ROTATION
I. Fluide en rotation
Fig. 1 : cylindre en rotation
Un réservoir cylindrique de rayon R, de hauteur H, est rempli complètement par un fluide de masse volumique μ_0 au repos. Le réservoir tourne à une vitesse angulaire constante ω autour de l'axe vertical (Oz) du cylindre; il entraîne le fluide dans son mouvement. On se place en régime permanent. On note g l'intensité du champ de pesanteur et r la distance à l'axe de rotation. Les phénomènes ne dépendront explicitement que de la variable radiale r.
1-Montrer que la pression p(r) satisfait l'équation différentielle, notée [1], (dp)/(dr) = ω^2 rμ(r).
On précisera le phénomène décrit par cette équation et le référentiel dans lequel elle s'applique. Est-il légitime de ne pas tenir compte de la dépendance de p selon la cote z ?
2 - Le fluide est un gaz parfait d'équation d'état p(r) = (k_B T)/mμ(r), où m la masse d'une molécule de fluide et k_B la constante de Boltzmann. Ce gaz est en équilibre thermique. Trouver la loi de la distribution de la pression; cette loi est déterminée ici à une constante multiplicative près, qui est déterminée dans la question qui vient. ◻3 - En exprimant la conservation de la masse, et en notant P_0 la pression au repos, établir et commenter la relation
◻4 On suppose dans cette question que la masse volumique μ_0 est constante, ce que l'on exprime en disant que le fluide est incompressible. Quelle est, sous cette hypothèse, la nouvelle loi de la distribution de la pression? Peut-on déterminer la constante d'intégration?
Fluide compressible
◻5 - On abandonne l'hypothèse d'incompressibilité. On adopte comme équation d'état du fluide, liant la masse volumique à la pression, l'équation μ = μ_0[1 + χ_0(p − P_0)], où χ_0 est une constante. Vérifier que χ_0 n'est autre que le coefficient de compressibilité isotherme du fluide, χ_T, à la pression P_0 : χ_0 = χ_T(P_0). ◻6 - On suppose que ε = χ_0(p − P_0) vérifie |ε|≪1. Intégrer alors l'équation [1] de la question 1 et montrer qu'au premier ordre en ε la masse volumique dépend de r selon la loi
μ(r) = μ_0⌊1 + χ_0((ω^2 μ_0)/2r^2 + K)⌋.
7 - Déterminer la constante K en exprimant la conservation de la masse et donner l'expression complète de la distribution de pression. Tracer l'allure du graphe de p(r) pour 0 ≤ r ≤ R. Le résultat obtenu serait-il valable pour un fluide incompressible? ◻8 - Montrer que la condition de validité du calcul, c'est-à-dire χ_0|p − P_0|≪1, est équivalente à l'inégalité χ_0 μ_0 ω^2 R^2≪1. ◻9 - Le fluide est de l'eau de masse volumique μ_0 = 10^3 kg.m^(− 3). La vitesse de rotation du réservoir est ω = 100 rad.s ^(− 1), son rayon est R = 1 m; la pression au repos est P_0 = 10^5 Pa et la vitesse du son dans l'eau, c_(eau), satisfait la relation χ_0 μ_0 c_(eau)^2 = 1; sa valeur numérique est c_(eau) = 1450 m.s^(− 1). L'hypothèse |ε|≪1 est-elle valide? Comparer la vitesse maximale v_(max) des molécules dans le réservoir à la vitesse du son. ◻10 - Soit c_(GP) la vitesse du son dans un gaz parfait (GP) de masse moléculaire m; cette vitesse vérifie donc, à la température T, la relation χ_T μ_(GP)^2 c_(GP)^2 = 1. Calculer χ_T pour le gaz
parfait ; établir la relation mc_(GP)^2 = k_B T et montrer que l'approximation v_(max)≪c_(GP) appliquée au gaz parfait conduit à loi de distribution de pression trouvée à la question 4. Expliquer la formulation, paradoxale pour un gaz : le gaz parfait est incompressible.
II. Rotation d'une barre rigide
Une barre solide OA , de longueur au repos L_0 et de section s constante et très petite devant L_0^2 a une masse linéique λ_0. Cette barre tourne autour d'un axe vertical avec la vitesse angulaire constante ω (Fig. 2A et 2B).
Fig. 2A
Fig. 2B
On appelle T(r) la tension de la barre au point P à une distance r de l'axe de rotation; cette grandeur représente l'action du reste de la barre sur la longueur OP. ◻11 - En considérant un bilan de forces, établir qu'en régime permanent la mesure de T(r) sur l'axe radial, notée T (qui n'est plus une température !), vérifie
(dT)/(dr) = − λω^2 r
Barre rigide
On suppose que la barre est rigide, c'est-à-dire que λ = λ_0 est constant. ◻12 - L'extrémité A est libre, l'extrémité O est fixe (fig 2A). Déterminer l'évolution de la tension, notée T_1(r), le long de la barre. ◻13 - L'extrémité O est libre, l'extrémité A est fixée à un mur vertical tournant à la vitesse angulaire ω (fig 2B). Exprimer la nouvelle tension, notée T_2(r). ◻14 - Les deux extrémités sont attachées au mécanisme assurant la rotation, de sorte que la longueur de la barre est constante, égale à L_0. Peut-on déterminer la constante d'intégration dans l'équation [ 3 ] de la question 11 ? On pourra se reporter à la question 4.
Barre déformable
On abandonne maintenant l'hypothèse de rigidité. On adopte pour la barre l'équation d'état λ(r) = λ_0(1 − (T(r))/(sE)), où E est une constante appelée module de rigidité et s la section
constante de la barre (le module de rigidité de la barre rigide des questions 12 à 14 est infini). Dans la pratique, l'inégalité ε^′(r) = (T(r))/(sE)≪1 est vérifiée pour les corps solides. ◻15 - Intégrer l'équation [3] et donner le résultat au premier ordre en ε^′(r) = (T(r))/(sE). Le résultat sera mis sous la forme T(r) = f(r) + K^′, où K^′ est la constante d'intégration, indéterminée à ce stade, et f(r) une fonction à déterminer, sous la condition f(0) = 0. ◻16 - Déterminer la constante K^′ en exprimant la conservation de la masse. En déduire que la loi de répartition de la tension T(r) est indépendante du module de rigidité. En quel point de la barre cette tension est-elle nulle?
III. Rotation à vitesse angulaire variable
Fig. 3 : la chemin ^(ev) sÕcroule
Une cheminée verticale est modélisée par un cylindre homogène de masse M, de longueur D et de rayon très petit devant D. Pour une raison quelconque, l'équilibre de la cheminée est détruit; cette dernière amorce une rotation autour de sa base dans le plan vertical ( O, x, y ). On appelle θ l'angle de la cheminée avec la verticale. On étudie le mouvement de la cheminée dans le repère R_G en projection sur la base mobile de coordonnées polaires u^, v^, où u^ est porté par l'axe de la cheminée, v^ est perpendiculaire à u^ dans le sens de rotation de l'angle θ et G est le centre de masse de la cheminée. Les moments d'inertie en G autour de l'axe Gz et en O autour de l'axe Oz sont respectivement J_G = 1/(12)MD^2 et J_O = 1/3MD^2.
La liaison pivot en O est parfaite. ◻17 - Déterminer, par application du théorème du moment cinétique en O , l'équation d'évolution de
l'angle θ.
◻18 - Retrouver cette équation par un raisonnement énergétique. ◻19 - Exprimer, en fonction de l'angle θ, les composantes R_u et R_v de la réaction du sol en O en projection sur u^ et sur v^.
◻20 - Pour quelle valeur de θ la cheminée décolle-t-elle du sol ?
En réalité, une cheminée peut se briser au cours de sa chute. L'étude suivante va préciser les contraintes subies par la cheminée pendant sa chute. Une longueur OP = d de cheminée subit l'action du sol en O , l'action de son poids ainsi que l'action du reste de la cheminée sur ellemême, en P. Cette action assure la rigidité de la cheminée. Le contact en P n'est pas ponctuel. L'action du reste de la cheminée sur la longueur d est modélisée par une force S de composantes S_u et S_v et un couple C porté par l'axe horizontal Oz. ◻21 - En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la longueur d de cheminée, exprimer S_v en fonction de M, g, θ, d et D. La grandeur S_v est appelée effort de cisaillement. Tracer qualitativement le graphe donnant S_v en fonction du rapport d/D ( θ est donné).
22 - Si la cheminée perd sa rigidité, elle s'effrite. Elle aura tendance à s'effriter au point où l'effort de cisaillement S_v est le plus important; quel est ce point?
23 - Montrer que le théorème du moment cinétique en O , appliqué à la longueur d de cheminée conduit à l'expression suivante du moment (noté C ) du couple C :
C = − 1/4Mgd(d/D − 1)^2 sinθ.
24 - Si ce couple est supérieur au couple maximum que peut subir la cheminée, celle-ci se brise. En quel point la cheminée se brisera-t-elle ? Commenter à ce sujet les deux photographies ci-dessous.
FIN DE CE PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE
Questions fréquentes
3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 Mines MP 2005 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 Mines MP 2005 ?
+
Elle porte sur la statique des fluides et la mécanique du solide en rotation dans un référentiel non galiléen, à travers l'étude d'un fluide en rotation, d'une barre rigide puis d'une cheminée à vitesse angulaire variable.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans le sujet Mines physique 1 MP 2005 ?
+
Le jury relève des confusions entre force de Coriolis et force d'entraînement, une absence fréquente de vérification de l'homogénéité des résultats, et des conditions aux limites mal posées, notamment sur la tension dans la barre.
Ce sujet de physique 1 Mines MP 2005 est-il faisable en première année ?
+
Le rapport précise que la formule générale de la statique des fluides utilisée n'est pas au programme de première année, ce qui suggère que le sujet dépasse ce niveau.
Pas de description pour le moment
Commentaires• Mines Physique 1 MP 2005
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