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Mines Physique 1 MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Cinématique et dynamique du solide en rotation
  • Théorèmes de König
  • Théorème du moment cinétique
  • Théorème de l'énergie cinétique
  • Oscillateurs harmoniques et petites oscillations
  • Régime des battements
  • Circuits électriques linéaires
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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Oscillations couplées d'une bille roulant sur un rail circulaire, fixe puis suspendu, et analogie électrique
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Le problème étudie le mouvement d'une sphère qui roule sans glisser sur un rail en forme de portion de cercle. Il traite d'abord le cas d'un rail fixe, puis celui d'un rail suspendu et mobile qui se couple au mouvement de la bille, avant de terminer par un oscillateur électrique analogue au système mécanique étudié.

  1. 1Partie I : rail fixeÉcrire la condition de roulement sans glissement, établir l'énergie mécanique du système et la période des petites oscillations, puis comparer une bille qui roule à une bille qui glisse.
  2. 2Partie II.A : rail suspendu, description du mouvementExprimer moments cinétiques et énergies cinétiques de la sphère et du rail avec les théorèmes de König, puis appliquer le théorème du moment cinétique pour obtenir les équations couplées du mouvement.
  3. 3Partie II.B : modes d'oscillationLinéariser les équations couplées, déterminer les deux pulsations propres du système et comparer l'estimation expérimentale des pulsations à la théorie.
  4. 4Partie III : oscillations électriquesÉtablir les équations différentielles d'un montage électrique à deux condensateurs et relier ses constantes à celles de l'oscillateur mécanique de la partie II.

Difficulté moyenne. Le jury indique que l'épreuve ne contenait aucun piège et qu'une application rigoureuse des théorèmes de base permettait une très bonne note, mais plusieurs questions de fin de problème comme les questions 17 et 18 ont été rarement abordées et rarement bien menées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Justifications absentes ou réduites à des formules toutes faites · Rayon du cercle décrit par le centre de la bille mal identifié · Terme de rotation propre oublié dans l'énergie cinétique
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Le jury a eu le plaisir de lire d'excellentes copies alliant rigueur et concision, mais aussi de nombreuses copies qui se contentent d'enchaîner des relations mathématiques sans aucune explication. Le barème a permis de classer efficacement les candidats, ceux qui n'ont pas appris ou entraîné les théorèmes de base ayant été fortement pénalisés.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Justifications absentes ou réduites à des formules toutes faites

    De nombreuses copies se limitent à des expressions comme « on a » ou « on sait que » sans citer le théorème utilisé ni justifier les calculs.

    « grammaticalement faux, semblent être le summum de l’explication, alors que ces embryons de phrases ne justifient rien »
  2. 2
    Rayon du cercle décrit par le centre de la bille mal identifiéQ1

    Faute d'avoir fait un dessin, de nombreux candidats n'ont pas vu que le centre de la bille décrit un cercle de rayon (R − r) et non R, ce qui a été pénalisant pour la suite.

    « de nombreux candidats ne se sont pas aperçus que le centre de la bille décrivait un cercle de rayon »
  3. 3
    Terme de rotation propre oublié dans l'énergie cinétiqueQ2

    Faute de connaître le théorème de König, de nombreux candidats ont oublié le terme de rotation propre de la bille dans l'expression de l'énergie cinétique.

    « Faute peut-être de connaître le théorème, de nombreux candidats ont oublié le terme de rotation propre de la bille »
  4. 4
    Contre-vérité sur la dissipation d'énergie par roulement sans glissementQ4

    L'essentiel des candidats a affirmé à tort que le roulement sans glissement dissipait de l'énergie, alors qu'ils avaient utilisé sa conservation à la question précédente.

    « il y a dissipation d’énergie par frottements, ce qui fait diminuer l’énergie mécanique »
  5. 5
    Moment d'inertie du rail mal identifié faute d'avoir lu l'énoncéQ8

    Pour la moitié des copies, les candidats ont mal lu le sujet et ont bataillé inutilement avec le théorème de Huygens pour un moment d'inertie déjà donné par l'énoncé.

    « les candidats ont mal lu le sujet »
  6. 6
    Solution générale de l'oscillateur harmonique incomplèteQ17

    Certains candidats ont affirmé à tort que la solution générale d'une équation d'oscillateur harmonique se réduisait à un seul terme en cosinus, oubliant le terme en sinus.

    « Certains candidats ont cru s’en sortir en affirmant, à tort, que la solution générale d’une équation d’oscillateur harmonique était »

Ce qui a été bien réussi

  • La linéarisation de l'équation du mouvement et la détermination de la période des petites oscillations de la question 3 n'ont en général pas posé de problème.
  • Le calcul du moment cinétique de la question 7 était facile à exprimer, le moment d'inertie de la bille étant donné.
  • La question d'électricité indépendante du reste du problème (question 19) était très facile et a constitué un refuge pour beaucoup de candidats.

Conseils du jury

  • Citer le nom du théorème utilisé avant chaque calcul, par une courte phrase d'introduction.
  • Faire des schémas, y compris à main levée, pour visualiser dimensions, vecteurs et bras de levier.
  • Vérifier l'homogénéité des résultats et tester leur cohérence avec des cas particuliers déjà traités.
  • Relire chaque réponse à la fin de la question pour s'assurer qu'elle est claire et cohérente avec ce qui précède.
  • Encadrer le résultat final et commenter l'influence des paramètres dans l'équation obtenue.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2008

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures)L'usage de la calculatrice est autoriséSujet mis à disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Télécom SudParis (ex INT), TPE-EIVP, Cycle internationalLes candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :PHYSIQUE I - MP.L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages.

  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. La barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

QUELQUES OSCILLATIONS

Dans tout ce problème, les vecteurs sont surmontés d'un chapeau aˆ s'ils sont unitaires, d'une flèche a⃗ dans le cas contraire. Les nombres complexes sont soulignés : z_– ∈ ℂ.
Lorsqu'une bille sphérique roule sur une piste de forme circulaire suspendue en un point, le couplage entre la bille et la piste engendre un mouvement spectaculaire, objet de ce problème.
Une sphère homogène, de centre C, de rayon r et de masse m, est mobile dans un plan vertical en restant en contact avec un rail PP^′, de masse M, que l'on modélise par une portion de cercle de centre O et de rayon R, dont l'axe de symétrie est vertical.
Figure 1 : Sphère mobile sur un rail fixe
Le moment d'inertie de la sphère par rapport à un axe passant par C est J = 2mr^2/5. Le référentiel fixe orthonormé direct R_g = ( O, iˆ, jˆ, kˆ ) où iˆ est vertical dirigé vers le bas est supposé galiléen (voir Figure 1). On pourra également utiliser les vecteurs mobiles polaires unitaires rˆ et αˆ représentés sur la Figure 1. Le mouvement de la sphère est repéré par deux paramètres : l'angle α que fait OC^(→−) avec iˆ et l'angle de rotation θ autour de l'axe horizontal qui porte kˆ. À chaque instant t, on appelle I le point de contact de la sphère avec le rail. On note A le point du rail situé sur son axe de symétrie. L'accélération de la pesanteur est g⃗ = ggiˆ.

I. - Rail fixe

La sphère roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos et OC^(→−) fait un angle α_o avec iˆ. Le système comprend deux degrés de liberté cinématiques, α et θ.
◻1 - Écrire la condition de roulement sans glissement de la sphère sur le rail sous la forme d'une relation linéaire liant r, R, θ˙ = dθ/dt et α˙ = dα/dt. Contrôler la pertinence de la relation obtenue, d'une part en comparant les signes respectifs de θ˙ et de α˙, et d'autre part en analysant la situation lorsque r = R.
◻2 - Déterminer l'expression de l'énergie mécanique totale E_t du système. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la fonction α(t).
◻3 - Déterminer la période T_(po) des petites oscillations.
On considère deux rails circulaires de même rayon R. Sur chaque rail, on place à l'instant initial une sphère de rayon r, de masse m en des points repérés par le même angle α_o (situation déjà représentée sur la Figure 1). Les sphères sont lâchées au même instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux rails sont de nature différente, de sorte que la première sphère roule sans glisser et que la seconde glisse sans rouler.
-4 - En utilisant des arguments énergétiques qualitatifs, déterminer quelle est la sphère qui arrive la première au point le plus bas A. Le résultat est-il modifié si les masses des sphères sont différentes ?
◻5 - Établir une expression intégrale du temps τ mis par la sphère la plus rapide pour atteindre le point A. Comment peut-on, sans calcul supplémentaire, obtenir le temps τ^′ mis par la sphère la plus lente pour atteindre ce point? Déterminer le rapport τ^′/τ.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Rail suspendu

Figure 2 : Sphère mobile sur un rail suspendu
Les angles α et β sont mesurés par rapport à la verticale et l'on note |OG^(→−)| = ℓ
Les points P et P^′ sont attachés en O par des fils inextensibles de masse négligeable, ce qui permet au rail d'osciller autour de l'axe horizontal passant par O. La position du milieu A du rail est repérée par l'angle β représenté sur la Figure 2. Le centre de masse G du rail se trouve à chaque instant sur la droite OA à une distance ℓ de O. On note J^′ = MR^2 le moment d'inertie du rail par rapport à son axe de rotation. On appelle respectivement N et T les composantes de la force de réaction du rail sur la sphère au point I selon rˆ et αˆ. La sphère roule sans glisser sur le rail, qui est maintenant en forme de quart de cercle, les grandeurs α et θ sont les mêmes que celles utilisées dans la partie I.

II.A. - Description du mouvement

◻6 - Écrire la condition de roulement sans glissement reliant θ˙, α˙ et β˙ = dβ/dt.
◻7 - Exprimer dans R_g le moment cinétique σ_(1C)^(→−) de la sphère en C et en déduire l'expression du moment cinétique σ_(1O)^(→−) de la sphère en O.
◻8 - Exprimer dans R_g le moment cinétique σ_(2O)^(→−) du rail en O.
◻9 - Exprimer dans R_g, l'énergie cinétique E_(CS) de la sphère, l'énergie cinétique E_(CR) du rail et enfin l'énergie cinétique E_(CT) de l'ensemble rail-sphère.
◻10 - Appliquer le théorème du moment cinétique en O à l'ensemble rail-sphère et en déduire une équation différentielle liant les fonctions α(t) et β(t).
◻11 - Appliquer le théorème du moment cinétique en C à la sphère seule et en déduire l'expression de T en fonction de θ¨ = d^2 θ/dt^2, puis, en utilisant le résultat de la question 6, en fonction de α¨ = d^2 α/dt^2 et β¨ = d^2 β/dt^2.
12 - Appliquer le théorème du moment cinétique en O au rail seul et en déduire la relation différentielle
A(d^2 β)/(dt^2) − B(d^2 α)/(dt^2) = − Mgℓsinβ
On exprimera la constante A en fonction de M, m et R et la constante B en fonction de m, r et R
◻13 - Déduire des résultats précédents la relation
A^′(d^2 α)/(dt^2) − B(d^2 β)/(dt^2) = − mg(R − r)sinα
On exprimera la constante A^′ en fonction de m, r et R. Vérifier que l'équation (2) est en accord avec le résultat de la question 2 .
14-Retrouvez les équations (1) et (2) à partir de considérations énergétiques. Démontrer que AA^′ > B^2.
15-Que traduit l'absence de termes en α˙ et β˙ dans les équations (1) et (2)?

II.B. - Modes d'oscillation

On considère dans cette sous-partie que les angles α et β sont l'un et l'autre voisins de zéro, ce qui permet de linéariser les équations (1) et (2). On pose D = Mgℓ et D^′ = mg(R − r). On cherche les solutions du système linéarisé sous la forme
α(t) = Re(α_o_–e^(iωt)) et β(t) = Re(β_o_–e^(iωt))
où α_o_– et β_o_– sont deux nombres complexes, i^2 = − 1.
On appelle pulsation propre du système tout réel positif ω qui permet d'obtenir des solutions non nulles du système linéarisé sous la forme (3).
◻16 - Déterminer les pulsations propres ω_1 et ω_2 du système ( ω_1 > ω_2 ) en fonction de A, A^′, B, D et D^′.
On considère dorénavant que les conditions initiales du système sont
α(t = 0) = α_o et α˙(t = 0) = β(t = 0) = β˙(t = 0) = 0
  • 17 - Montrer que si α_o ≠ 0, la solution β du système linéarisé est une fonction de la forme β(t) = η[cos(ω_1 t) − cos(ω_2 t)]. On ne cherchera pas forcément à déterminer la constante η en fonction des paramètres du système.
Figure 3 : Enregistrement de β en radians en fonction de t en secondes
On réalise le montage expérimental de la Figure 2 avec les paramètres physiques suivants
r = 1, 27 × 10^(− 2) m, R = 19 × 10^(− 2) mM = 90 × 10^(− 3) kg, m = 67 × 10^(− 3) kgℓ = 17, 7 × 10^(− 2) m, g = 9, 81 m.s^(− 2)
On dispose d'un système de mesure qui permet d'enregistrer la valeur de l'angle β en fonction du temps. Pour des conditions initiales du type (4), avec α_o suffisamment faible, on obtient l'enregistrement représenté sur la Figure 3.
18 - Déterminer à partir de la Figure 3, une valeur approximative des pulsations propres du système expérimental. Cette estimation est-elle compatible avec les valeurs théoriques?

FIN DE LA PARTIE II

III. - Oscillations électriques

Figure 4 : Oscillateur électrique
19 - On considère le montage électrique de la Figure 4. Trouver les équations différentielles vérifiées par les charges q_1(t) et q_2(t) des deux condensateurs.
20 - Quel est le lien entre ce montage et l'oscillateur mécanique de la partie II. Relier les constantes A, A^′, B, D et D^′ de la partie II aux caractéristiques des composants du montage de la Figure 4.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 1 Mines MP 2008 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 1 Mines MP 2008 ?

Le sujet porte sur la mécanique du solide en rotation, avec les théorèmes de König et le théorème du moment cinétique, puis sur les oscillateurs couplés et leurs petites oscillations, et enfin sur un circuit électrique analogue.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de Mines MP 2008 ?

Le jury relève un manque général de justification et de rédaction, des erreurs de signe faute d'avoir fait de schémas, un oubli fréquent du terme de rotation propre dans l'énergie cinétique et une contre-vérité répandue sur la dissipation d'énergie lors du roulement sans glissement.

Le sujet de Physique 1 Mines MP 2008 est-il difficile ?

Le jury indique que l'épreuve ne contenait aucun piège pour un candidat rigoureux, mais plusieurs questions de fin de problème, notamment les questions 17 et 18, ont été rarement abordées et rarement bien menées.

Quelles questions du sujet Mines Physique 1 MP 2008 ont posé le plus de difficultés ?

Les questions 4, 5, 17 et 18 ont posé le plus de difficultés, la question 4 ayant donné lieu à une contre-vérité largement répandue et les questions 17 et 18 étant rarement abordées ou bien menées.

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