Mines Physique 2 MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Statique des fluides, pression atmosphérique
Thermodynamique des systèmes fermés, bilans énergétiques
Stabilité d'un équilibre
Modélisation et applications numériques

Explorer les annales

BanqueMines Année2008 FilièreMP MatièrePhysique

Annales Mines MP Physique Mines MP 2008 MP Physique Physique 2008

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé sur Discord

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Ascension atmosphérique en montgolfière : équilibre de l'atmosphère, ascension thermique et forme de l'enveloppe

Le problème étudie l'ascension d'une montgolfière : d'abord l'évolution de la pression atmosphérique avec l'altitude, puis l'équilibre de la montgolfière et les techniques permettant de faire varier son altitude, et enfin, dans une partie indépendante, la forme de l'enveloppe. Le rapport précise que les connaissances théoriques nécessaires relèvent du programme de première année, mais que certains raisonnements mobilisent des méthodes de seconde année.

1I. Atmosphère en équilibrepremière annéeÉtude de l'atmosphère isotherme puis d'un équilibre polytropique pour modéliser l'évolution de la pression avec l'altitude.
2II. Ascension de la montgolfièreÉtude de l'équilibre de la montgolfière puis de l'ascension par apport thermique et de la descente par apport d'air froid.
3III. Forme de l'enveloppe de la montgolfièrePartie indépendante des deux premières, consacrée à l'étude des contraintes sur les filins et à la forme de l'enveloppe.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Applications numériques négligées · Unités et chiffres significatifs négligés · Erreur récurrente sur la masse molaire de l'air

Le jury a été confronté à des copies reflétant une très grande dispersion de niveaux. Certains candidats ne parviennent pas à établir l'expression de la pression en fonction de l'altitude pour une atmosphère isotherme, tandis que d'autres analysent correctement les contraintes sur les filins de l'enveloppe. L'impression d'ensemble sur l'assimilation du programme n'est pas très positive, tempérée par de nombreuses bonnes copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Applications numériques négligées
Ne pas faire les applications numériques est pénalisant, car le barème associé n'est pas négligeable et certains raisonnements s'appuient sur les valeurs obtenues.
« Ne pas faire les applications numériques est une politique désastreuse »
2
Unités et chiffres significatifs négligés
Une valeur numérique sans unité est jugée fausse, et un excès de chiffres significatifs par rapport aux données du problème rend la réponse perfectible.
3
Erreur récurrente sur la masse molaire de l'air
De nombreux candidats ont oublié le facteur 2 dans les molécules O2 et N2, aboutissant à une masse molaire de l'air erronée, admise sans discussion.
4
Bilan thermodynamique de la question 20 mal posé20
Très peu de candidats ont vu que la quantité d'air admis est différente de la quantité d'air évacué lors du refroidissement par ouverture de la trappe.
5
Notion de modélisation non comprise
La plupart des candidats n'ont pas saisi qu'il fallait comparer les valeurs expérimentales du coefficient de pression à celles déduites du modèle pour valider ce dernier.
6
Commentaires de résultats numériques peu pertinents
Certains candidats commentent une grandeur comme grande ou petite sans préciser par rapport à quoi elle est comparée.

Ce qui a été bien réussi

D'autres candidats parviennent à analyser correctement les contraintes sur un des filins de l'enveloppe.
Sur la question 15, de nombreux candidats ont correctement justifié l'utilisation du coefficient suggéré par l'énoncé.

Conseils du jury

Toujours effectuer les applications numériques demandées et les accompagner de leur unité.
Adapter le nombre de chiffres significatifs à la précision des données du problème.
Vérifier la cohérence physique d'un résultat numérique et signaler un résultat aberrant.
Définir précisément le système considéré et ses échanges énergétiques dans un bilan thermodynamique.
Comparer les valeurs expérimentales au modèle proposé pour juger de sa pertinence.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP

(Durée de l'épreuve: $3$ heures)L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II — MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. La barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

ASCENSION ATMOSPHÉRIQUE EN MONTGOLFIÈRE

Les vecteurs sont notés en caractères gras, et leur norme en italique : Le vecteur

v

a pour norme

v

. Les valeurs des constantes physiques utiles dans les applications numériques sont données à la fin du texte.
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le champ de pesanteur, d'intensité supposée uniforme

g

, est dirigé suivant l'axe vertical ascendant

Oz

, et de sens opposé. Tous les mouvements étudiés s'effectuent suivant cet axe vertical.
Les gaz ont les propriétés du gaz parfait. La constante des gaz parfaits est notée

R

. La masse molaire moyenne de l'air est notée

M_e

, sa pression

P

, sa température

T

et sa masse volumique

μ

. On désigne par

P_o, T_o

μ_o

les valeurs de

P, T

μ

au niveau du sol (où

z = 0

).
La partie III est indépendante des deux premières.

I. - Atmosphère en équilibre

I.A. - Atmosphère isotherme

On s'intéresse à l'équilibre de l'atmosphère, dont on adopte dans un premier temps un modèle isotherme, de température uniforme

T_o

. On prendra

T_o = 288 K

◻1

- Exprimer la masse volumique de l'air en fonction de

P, R, T_o

M_e

2 - Écrire la condition d'équilibre statique de l'air. En déduire l'expression de la pression $P(z)$ en fonction de $P_o$ , de la hauteur barométrique $H = RT_o/(M_e g)$ et de l'altitude $z$ .
3 - En prenant pour l'air une composition molaire de $20%$ en $O_2$ et de $80%$ en $N_2$ , calculer la valeur numérique de $H$ . À quelle altitude $z_(50%)^(iso)$ la pression est elle égale à $P_o/2$ ?

I.B. - Équilibre polytropique

Le modèle d'atmosphère isotherme précédent n'est pas réaliste; aussi, s'intéresse-t-on à l'équilibre polytropique : l'expérience montre que, jusqu'à une altitude d'environ 10 km , la température de l'air vérifie une loi linéaire du type

T = T_o(1 - αz)

où

α = 1/z_o

est une constante positive. Cette approximation linéaire est en fait le développement au premier ordre en

z/z_o

d'une expression plus précise. La valeur expérimentale

z_o \approx 33 km

justifie ce développement dans les dix premiers kilomètres de l'atmosphère.

◻4

- Montrer que l'on peut écrire

P(z) = P_o(1 - αz)^β

μ(z) = μ_o(1 - αz)^(β - 1)

où l'on donnera l'expression de

β

en fonction de

H

et de

z_o

.
5- À quelle altitude

z_(50%)^(pol)

la pression est-elle égale à

P_0/2

? Comparer cette valeur à celle obtenue à la question 3. Ce résultat était-il prévisible?

Figure 1

Figure 2

6 - Un bulletin météorologique fournit les données représentées graphiquement sur les Figures 1,2 et 3 . La pression est donnée en $10^5 Pa$ , la température en K , la densité en $kg \cdot m^(- 3)$ et l'altitude en km Un ajustement aux moindres carrés de ces données permet d'obtenir les relations

T = 288, 14 - 6, 94z; P = 1, 01(T/288, 08)^(5, 26)

Ceci est-il compatible avec le modèle polytropique?

Dans toute la suite du problème, on utilisera des valeurs numériques suivantes :

T_o = 288 K, P_o = 1013hPa, β = 5

z_o = 40 km

, soit

α = 2, 5 \times 10^(- 5) m^(- 1)

FIN DE LA PARTIE I

II. - Ascension de la montgolfière

Une mongolfière standard reste à des altitudes raisonnables pour des questions évidentes de raréfaction en dioxygène. Le modèle polytropique des basses altitudes est donc bien adapté pour décrire son environnement atmosphérique, nous l'utiliserons désormais.

Figure 4 - La montgolfière

La pression, la masse volumique et la température de l'atmosphère à l'altitude

z

seront notées respectivement

P_e, μ_e

T_e

. La montgolfière est constituée d'une enveloppe ouverte de volume intérieur

V_o = 2000 m^3

et d'une nacelle (voir Fig. 4). La masse totale de l'enveloppe, de la nacelle et des passagers est notée

m

. On prendra

m = 500 kg

; le volume propre de ces différents éléments est négligeable. Le volume intérieur à l'enveloppe est constant, mais la masse

m_i

de l'air chaud emprisonné à l'intérieur de cette enveloppe est variable. La masse de l'ensemble est donc

m + m_i

. On suppose qu'à l'intérieur de l'enveloppe, la température

T_i

et la pression

P_i

sont uniformes. L'ouverture inférieure de l'enveloppe permet de réaliser en permanence l'équilibre de pression entre l'air froid extérieur et l'air chaud intérieur. On suppose enfin que les gaz de combustion n'affectent pas la masse molaire

M_e

II.A. - Équilibre de la montgolfière

◻7

- Exprimer la masse

m_i

de l'air chaud dans l'enveloppe en fonction de

P_e, V_o, M_e

, et

RT_i

, puis en fonction de

μ_e, V_o, T_e

, et

T_i

8 - À l'équilibre mécanique, la poussée d'Archimède compense le poids de la montgolfière et de l'air chaud qu'elle contient. Trouver la relation qui permet alors d'exprimer $m$ en fonction de $m_i$ , $T_e$ et $T_i$ .
9 - On note $z_m$ l'altitude où la poussée d'Archimède exercée par l'air compense le poids $mg$ . Exprimer $z_m$ en fonction de $α, β, m, μ_o$ et $V_o$ . Calculer la valeur numérique de $z_m$ .
$◻10$ - On note $T_d$ , la valeur minimale de la température $T_i$ permettant le décollage de la montgolfière. Etablir la relation, très simple, liant $m/(μ_o V_o)$ à $1 - T_o/T_d$ . Calculer la valeur numérique de $T_d$ .
11 - Établir la condition d'équilibre de la montgolfière

P_e(1/(T_e) - 1/(T_i)) = κ_1(1/(T_o) - 1/(T_d))

où

κ_1

est une constante que l'on exprimera en fonction des données du problème. En déduire la relation, notée

[E_1]

, donnant à l'équilibre

δT_i/T_i

en fonction de

δT_e/T_e, δP_e/P_e

et de

T_i/T_e

◻12

- En utilisant les grandeurs réduites

Z = αz, Z_m = αz_m

θ_i = T_i/T_o

, montrer que la condition d'équilibre de la question 8 s'écrit

(1 - Z)^(β - 1) = m/(μ_o V_o) + ((1 - Z)^β)/(θ_i)

en utilisant à présent l'expression de

z_m

obtenue à la question 9 , déduire l'expression de la fonction

Z \mapsto θ_i(Z)

en fonction des paramètres

β

Z_m

. On admet que le signe de

θ_i^'(0) = (dθ_i)/(dZ)|_(Z = 0)

est le même que celui de

(βm)/(μ_o V_o) - 1

. Tracer rapidement l'allure de la courbe représentative de

θ_i(Z)

selon les valeurs de

βm/(μ_o V_o)

. En considérant la phase de descente, expliquer pourquoi une montgolfière satisfaisant la condition

βm < μ_o V_o

fait courir le risque d'un écrasement au sol.

13 - Calculer la valeur numérique

V_(max)

du volume de l'enveloppe permettant de satisfaire la condition

θ_i^'(0) > 0

. Pour une valeur

T_(max) = 373 K

de la température maximale acceptable pour une mongolfière, calculer la valeur minimale

V_(min)

du volume de l'enveloppe qui permet le décollage. Calculer les valeurs de

z_m

associées à

V_(min)

V_(max)

II.B. - Ascension par apport thermique

Pour faire monter la montgolfière, l'aéronaute dispose d'un brûleur, qui permet d'apporter à l'air intérieur une petite «quantité de chaleur»

δQ

. La transformation subie par cet air est isobare et suffisamment rapide pour que la montgolfière n'ait pas le temps de changer d'altitude pendant cet apport de chaleur. Dans ces conditions, le système peut être considéré comme fermé.

Les capacités calorifiques molaires à pression et volume constants de l'air sont notées

C_p

C_v

avec

γ = C_p/C_ν

. Elles ne dépendent pas de la température.
La montgolfière est en équilibre à l'altitude

z

, où l'air extérieur est à la pression

P_e

et à la température

T_e

14-Déterminer la variation de température

δT_i^((1))

associée à l'apport thermique, on l'exprimera en fonction de

n_i = P_e V_o/(RT_i), C_p

δQ

. En déduire

δT_i^((1))/T_i

en fonction de

γ, δQ, P_e

V_o

◻15

- Exprimer la variation de la masse d'air

δm_i^((1))

en fonction de

M_e, δQ, C_p

T_i

.
L'ascension de la montgolfière s'effectue lentement, sans autre échange thermique. L'air qui ne quitte pas l'enveloppe lors de la variation d'altitude

δz

subit une détente adiabatique réversible.

16- La pression extérieure est toujours régie par la loi polytropique établie à la question 4. Déterminer la variation de température

δT_i^((2))

de l'air intérieur à l'enveloppe pendant cette ascension, on l'exprimera en fonction de

α, β, γ, T_i, z

δz

. On vérifiera que

δT_i^((2))

est négatif.

17 - La température extérieure est toujours régie par la loi linéaire de la partie I.B. Exprimer

δT_i^((2))/T_i

en fonction de

β, γ, T_e

δT_e

La variation de la température interne à l'enveloppe associée à l'apport thermique et à l'élévation de

δz

est

δT_i = δT_i^((1)) + δT_i^((2))

◻18

- Déterminer la relation très simple entre

δP_e/P_e

δT_e/T_e

puis, en utilisant la relation

[E_1]

de la question 11, établir la relation

[β/γ - (β - 1)(T_i)/(T_e)](δT_e)/(T_e) = κ_2(δQ)/(P_e V_o)

où

κ_2

est une constante que l'on exprimera en fonction de

γ

Figure 5 - Diagramme (

θ_i, Z

)

◻19

- La Figure 5 représente le diagramme

(θ_i, Z)

pour

β = 5

m = 500 kg

V_o = 2000 m^3

. La situation initiale, avant apport thermique, est représentée par le point noir. Placer sur ce diagramme, reproduit grossièrement dans votre copie, les points représentatifs des transformations conduisant aux variations

δT_i^((1))

δT_i^((2))

de la température de l'air dans l'enveloppe lors de la montée.

II.C. - Descente par apport d'air froid

Pour faire descendre la montgolfière, l'aéronaute dispose d'une trappe qui permet de laisser l'air chaud s'échapper. Une petite quantité d'air froid, de volume

δV

et de température initiale

T_e

, est admise dans l'enveloppe et remplace le volume correspondant d'air chaud. La montgolfière n'a pas le temps de changer d'altitude pendant l'établissement de l'équilibre thermique. Toutes ces transformations se font à la pression atmosphérique extérieure

P_e

. Le mélange d'air chaud (

n

moles à la température initiale

T_i

) et d'air froid (

δn

moles) s'effectue sans variation d'énergie interne.

20 - Montrer qu'à l'équilibre, la variation de température

δT_i^((3))

de l'air intérieur à l'enveloppe vérifie, après l'entrée d'air froid, la relation

(δT_i^((3)))/(T_i) = f(T_i/T_e)(δV)/(V_o)

où

f

est une fonction simple dont on précisera l'expression.

21 - La descente de la montgolfière s'effectue lentement, sans échange de chaleur supplémentaire. L'expression de $δT_i^((2))/T_i$ établie à la question 17 est toujours valable. La variation de température interne pendant la descente est maintenant $δT_i = δT_i^((3)) + δT_i^((2))$ . En procédant comme à la question 18 , relier $δT_i/T_i$ à $δT_e/T_e$ , pour en déduire $δT_e/T_e$ en fonction de $δV/V_o, T_i, T_e, β$ et $γ$ .
22 - En utilisant le même point de départ, placer sur le diagramme de la Figure 5, reproduit grossièrement dans votre copie, les points représentatifs des transformations conduisant aux variations $δT_i^((3))$ et $δT_i^((2))$ de la température de l'air dans l'enveloppe lors de la descente.

FIN DE LA PARTIE II

III. - Forme de l'enveloppe de la montgolfière

La nacelle de la montgolfière est maintenue par

N

filins qui enserrent l'enveloppe et forment des méridiens régulièrement espacés de l'angle

2π/N

. L'enveloppe possède la symétrie de révolution autour de l'axe vertical.

Figure 6 - Représentation des forces s'exerçant sur une longueur élémentaire

dℓ = AB

du filin

On nomme

z

la cote des points situés audessus de l'ouverture inférieure de l'enveloppe et

r

le rayon de cette enveloppe à la cote

z

. Les axes portant

z

r

ont pour vecteurs unitaires

e_z

e_r

. On considère aussi les vecteurs unitaires

t(z)

n(z)

tangent et normal au filin au point de cote

z

. La condition d'équilibre d'un élément de surface de l'enveloppe détermine sa forme, c'est-à-dire la relation

r(z)

. Cette condiditon relie la tension des filins

F

à la force de force de pression

K

. On néglige l'action du champ de pesanteur sur l'enveloppe et les filins. On suppose que les pressions de l'air à l'intérieur,

P_i(z)

, et à l'extérieur,

P_e(z)

, de l'enveloppe sont des fonctions linéaires de

z

, telles que

P_i(0) = P_e(0)

. Les masses volumiques interne

μ_i

et externe

μ_e

sont quant à elles supposées uniformes. La figure 6 indique les forces agissant sur un élément de filin de longueur

dℓ = AB

. L'élément de surface associé, entre 2 méridiens, est

dS = 2πrdℓ/N

avec

dℓ^2 = dr^2 + dz^2

23 - Justifiez et commentez l'hypothèse de linéarité des pressions. Exprimer, en fonction de

g

μ_i, μ_e

et de la cote

z

, la différence des pressions

ΔP(z)

qui gonfle l'enveloppe.

24 - Ecrire la condition d'équilibre de l'élément de filin de longueur $dℓ$ sous la forme d'une relation $[E_2]$ entre $(d[F(z)t(z)])/(dz)$ et $(dK)/(dz)n(z)$ . En déduire que le module $F$ de la force $F$ de tension des filins est constant sur toute leur longueur.
$◻25$ - Exprimer les composantes de la force de pression $dK^'$ appliquée à un élément de surface de l'enveloppe compris entre deux filins consécutifs et les parallèles de cotes $z$ et $z + dz$ . Quelle relation existe-t-il entre $dK$ et $dK^'$ .
26-En écrivant la relation $[E_2]$ de la question 24 dans la base ( $e_z, e_r$ ), établir une relation entre $F, (dφ)/(dz)$ et $(dK)/(dz)$ .
$◻27$ - En considérant la relation entre $(dr)/(dz)$ et l'angle $φ$ , montrer que l'équation différentielle vérifiée par les points de l'enveloppe peut se mettre sous la forme

(d^2 r)/(dz^2) = - Arz[1 + ((dr)/(dz))^2]^(3/2)

où

A

est une constante, dont on donnera l'expression et dont on précisera la dimension.

◻28

- En effectuant le changement de variable

z \to A^k x

et le changement de fonction

r \to A^k y

, montrer que l'on peut trouver une valeur pour le réel

k

qui permet d'obtenir une équation différentielle

[E_3]

indépendante des caractéristiques de la montgolfière considérée dans le cadre des hypothèses de ce problème.
29-La Figure 7 indique l'allure de plusieurs solutions de l'équation

[E_3]

. Ces solutions sont telles que

y(0) = 0.1

et possèdent des valeurs de

y^'(0)

distinctes. La Figure 8 est la représentation graphique de 2 solutions :

y_+

telle que

y_+(0) = 0, 1

y_+^'(0) = 1, 12; y_-

telle que

y_-(0) = - 0, 1

y_-^'(0) = - 1, 12

. Commentez ces diverses figures.

Figure 7

Figure 8

FIN DE LA PARTIE III

Valeurs numériques utiles

Constante des gaz parfaits:

R = 8, 31 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)

,
Accélération de la gravité à la surface de la Terre :

g = 9, 81 m.s^(- 1)

Masse atomique de l'oxygène :

M_O = 16 \times 10^(- 3) kg.mol^(- 1)

Masse atomique de l'azote :

M_N = 14 \times 10^(- 3) kg \cdot mol^(- 1)

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique 2 des Mines MP 2008 ?

Le sujet porte sur l'ascension d'une montgolfière : équilibre de l'atmosphère, ascension par apport thermique et forme de l'enveloppe.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique 2 Mines MP 2008 ?

Le jury relève des applications numériques négligées ou mal traitées, une erreur récurrente sur la masse molaire de l'air, et une notion de modélisation mal comprise.

Le sujet de physique 2 des Mines MP 2008 est-il faisable en première année ?

Le rapport indique que les connaissances théoriques nécessaires relèvent du programme de première année, mais que certains raisonnements, comme la discussion de la stabilité d'un équilibre, relèvent de seconde année.

Quel est le thème du sujet de physique des Mines MP 2008 ?

Le sujet traite de l'ascension atmosphérique en montgolfière, en étudiant l'atmosphère, l'équilibre de la montgolfière et la forme de son enveloppe.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 2 MP 2008

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...