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Mines Mathématiques 2 MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Support de la transformation de Radon

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Présentation du sujet

Difficile
Support de la transformation de Radon
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L'épreuve porte sur le support de la transformation de Radon et aborde des aspects variés de l'analyse au programme MP. Elle commence par des questions de géométrie, se poursuit par un lemme préparatoire reposant sur des intégrales à paramètre, puis conduit à un théorème de support.

  1. 1I. Un peu de géométrieEtudier des notions géométriques préliminaires nécessaires à la définition de la transformation de Radon.
  2. 2II. Lemme préparatoireEtablir un lemme reposant sur la dérivation et la continuité d'intégrales à paramètre, ainsi que sur une formule proche de Green-Riemann.
  3. 3III. Théorème de supportDémontrer le théorème de support de la transformation de Radon à l'aide des résultats précédents.

Difficile. Le rapport signale que plusieurs questions, comme la question 10 ou la question 16, ont causé d'importantes difficultés et n'ont été que rarement bien traitées.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Existence de F affirmée sans démonstration · Continuité par rapport au couple confondue avec continuité partielle · Hypothèse de domination mal établie
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L'épreuve, très progressive, a permis un bon échelonnement des copies, y compris dans le bas de l'échelle de notation. Les candidats qui ont suivi l'ordre des questions ont en général mieux réussi que ceux qui ont cherché à grappiller des points sur les questions qui leur semblaient plus faciles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Existence de F affirmée sans démonstrationQ1

    L'existence de F ne résulte pas de la seule conviction du candidat ; seule une expression explicite permet d'établir ses propriétés requises.

    « L'existence de ne résulte pas de la force de conviction qu'y met le candidat. »
  2. 2
    Continuité par rapport au couple confondue avec continuité partielleQ2

    La continuité des applications partielles n'entraîne pas la continuité par rapport au couple (y, phi), une erreur très fréquente chez les candidats.

  3. 3
    Hypothèse de domination mal établieQ5

    La seule continuité d'une fonction ne suffit pas à établir une domination par une fonction indépendante de x et intégrable, erreur fréquente à la question 5.

  4. 4
    Variable prise à tort pour une constanteQ9

    De trop nombreux candidats considèrent la variable y_i comme une constante qu'ils font sortir de l'intégrale à la question 9.

  5. 5
    Hypothèse de récurrence mal explicitéeQ10

    A la question 10, il fallait préciser l'hypothèse de récurrence pour toute fonction satisfaisant les hypothèses du lemme, et non seulement pour f.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 3 est souvent bien traitée
  • La question 11 est réussie par la plupart des candidats
  • La question 14 est en général bien traitée

Conseils du jury

  • Suivre l'ordre des questions du problème plutôt que de grappiller les questions les plus faciles.
  • Mentionner précisément les hypothèses des théorèmes employés, notamment aux questions 5, 12 et 17.
  • Suivre avec précision les variables du problème, en particulier aux questions 3, 5 et 9.
  • Expliciter exactement l'hypothèse de récurrence dans un raisonnement par récurrence.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Support de la transformation de Radon

Notations de géométrie

Dans tout le problème, on se place dans le plan affine P, muni d'un repère orthonormé direct (O, e_1, e_2) et de la norme euclidienne, notée ‖‖. On notera ( x_1, x_2 ) les coordonnées dans ce repère d'un élément x ∈ P. L'application x ∈ P ↦ (x_1, x_2) ∈ R^2 permettra d'identifier le plan affine P et l'espace vectoriel R^2. On introduit les notations suivantes:
B^∘(x, r) = {y ∈ P, ‖x − y‖ < r}; B(x, r) = {y ∈ P, ‖x − y‖ ⩽ r}; S(x, r) = {y ∈ P, ‖x − y‖ = r}
Soit θ ∈ [0, 2π[, on note
u_θ = cosθe_1 + sinθe_2 et v_θ = − sinθe_1 + cosθe_2.
Pour tout φ ∈ [0, 2π[, on note Rot_φ la rotation de centre 0 et d'angle φ. Ainsi,
Rot_θ e_1, = u_θ; x + Ru_θ, = (x_1 + Rcosθ, x_2 + Rsinθ)
Fig. 1 - Notations
À toute droite affine D ne passant pas par l'origine, on associe un unique couple ( p, θ ) où p ∈ R^+et θ ∈ [0, 2π[ sont tels que
D = {pu_θ + tv_θ, t ∈ R}.
Si D passe par l'origine, on lui associera l'unique couple ( 0, θ ) qui convienne avec θ ∈ [0, π[. On appelle p et θ les paramètres de la droite D.

Notations d'analyse

Pour X = R ou X = R^2 et f fonction de X dans R, on appelle support de f, noté suppf, l'adhérence de l'ensemble des points où f est non nulle. Pour X = R ou X = R^2, on note 𝒞_K^1(X; R) l'ensemble des fonctions f de X dans R, de classe 𝒞^1 sur X, à support compact : il existe M > 0, dépendant de f, avec f(x) = 0 si ‖x‖ > M, où ‖x‖ = |x| si X = R. En d'autres termes, supp f ⊂ B(O, M) si X = R^2 et supp f ⊂ [ − M, M] si X = R. On notera que de telles fonctions sont bornées et on posera
‖f‖_∞ = sup_(x ∈ X)|f(x)|.
Pour les fonctions de R^2 dans R, si x = (x_1, x_2) ∈ R^2, on utilisera, selon le contexte, la notation f(x) ou la notation f(x_1, x_2) pour représenter l'image de x par f.
Pour f ∈ 𝒞_K^1(R; R), il existe M tel que supp f ⊂ [ − M, M] et alors
∫_(− M)^M f(x)dx = ∫_(− J)^J f(x)dx, dès que J ⩾ M
On note ∫_R f(x)dx la valeur commune de toutes les intégrales sur un intervalle contenant le support de f.
Le même principe vaut pour la dimension 2 : pour f ∈ 𝒞_K^1(R^2; R), on remarque que
∬_(B(O, M))f(x_1, x_2)dx_1 dx_2 = ∬_J f(x_1, x_2)dx_1 dx_2
pour tout compact J qui contient B(O, M) où M est tel que supp f ⊂ B(O, M). On note
∬_(R^2)f(x_1, x_2)dx_1 dx_2 cette valeur commune.
Définition 1. On dit qu'une fonction f : R^2 → R est radiale lorsque pour tout φ ∈ [0, 2π[, f ∘ Rot_φ = f.
Pour h : R^+ → R, continue, nulle en dehors d'un intervalle [0, M], on pose
Lh(x) = ∫_x^(+ ∞)(h(v))/(√(v − x)) dv
On admet que Lh est continue, nulle en dehors de [0, M] et que L(Lh) est dérivable avec
(L(Lh))^′ = − πh.

I Un peu de géométrie

  1. Soit f ∈ 𝒞_K^1(R^2, R). Montrer que si f est radiale, il existe F ∈ 𝒞_K^1(R^+; R) telle que
f(x) = F(‖x‖), pour tout x ∈ R^2.
  1. Soit f ∈ 𝒞_K^1(R^2; R); pour x ∈ R^2, on considère la fonction
T_(f, x) : R^2 × R, ⟶ R; (y, φ), ⟼ f(x + Rot_φ(y)).
Montrer que la fonction T_(f, x)(y, φ) est continue sur R^2 × R et que pour tout y ∈ R^2, la fonction φ ↦ T_(f, x)(y, φ) est 2π-périodique.
3. Montrer que la fonction
T_(f, x) : y ↦ 1/(2π)∫_0^(2π)T_(f, x)(y, φ)dφ
est radiale.
4. Soit x ∈ R^2, que l'on écrit x = ‖x‖u_ψ où ψ appartient à [0, 2π[. Soit φ ∈ [0, 2π[ et θ ∈ [0, 2π[. Montrer que l'ensemble
D_(x, φ) = {x + Rot_φ(pu_θ + tv_θ), t ∈ R}
est une droite dont on précisera les paramètres en fonction de ‖x‖, ψ, φ, p et θ. On pourra commencer par étudier D_(O, φ).

II Lemme préparatoire

Soit A > 0, on note Q_A l'ensemble
Q_A = {(x, R) ∈ R^2 × R^+, R > ‖x‖ + A}.
L'objectif de cette partie est de montrer le lemme suivant.
Lemme 1. Soit f : R^2 → R, f ∈ 𝒞_K^1(R^2; R) telle que pour tout (x, R) ∈ Q_A,
∫_0^(2π)f(x_1 + Rcosθ, x_2 + Rsinθ)dθ = 0
alors f est nulle sur le complémentaire de B(O, A).
Fig. 2 − (x, R) ∈ Q_A
  1. Soit f ∈ 𝒞_K^1(R^2; R). Soit (x, R) ∈ R^2 × R^+. Montrer que les applications
V_i : x_i, ⟼ ∫_0^R f(x_1 + rcosθ, x_2 + rsinθ)r dr, i = 1, 2; W_i : x_i, ⟼ ∫_0^(2π)∫_0^R f(x_1 + rcosθ, x_2 + rsinθ)r dr dθ, i = 1, 2
sont dérivables sur R et calculer leur dérivée.
6. Soient P et Q deux éléments de 𝒞_K^1(R^2; R) et soit (x, R) ∈ R^2 × R^+. En utilisant la formule de Green-Riemann, montrer l'identité :
∫_0^(2π)∫_0^R((∂Q)/(∂x_1)(, x + ru_θ) − (∂P)/(∂x_2)(x + ru_θ))r dr dθ; = ∫_0^(2π)P(x + Ru_θ)(− Rsinθ)dθ + ∫_0^(2π)Q(x + Ru_θ)Rcosθ dθ
Dans les questions 7 à 13, on suppose que f vérifie les hypothèses du lemme.
7. Établir, pour tout (x, R) ∈ Q_A, les deux identités suivantes:
∬_(R^2)f(y_1, y_2)dy_1 dy_2 = ∬_(R^2), f(x_1 + z_1, x_2 + z_2)dz_1 dz_2; =, ∫_0^(2π)∫_0^R f(x_1 + rcosθ, x_2 + rsinθ)r dr dθ
  1. Soit R > A. Montrer que W_1 et W_2 sont constantes sur B^∘(O, R − A) et établir, pour tout x ∈ B^∘(O, R − A), les relations :
∫_0^(2π)f(x_1 + Rcosθ, x_2 + Rsinθ)cosθdθ = 0
et
∫_0^(2π)f(x_1 + Rcosθ, x_2 + Rsinθ)sinθdθ = 0
Pour i = 1, 2, on introduit les fonctions suivantes:
y_i f : R^2, ⟶ R; y = (y_1, y_2), ⟼ y_i f(y).
Plus généralement, pour une fonction g de R dans R, on note g(y_i)f la fonction définie par
g(y_i)f : R^2 ⟶ R; y = (y_1, y_2) ⟼ g(y_i)f(y)
  1. Montrer que y_1 f et y_2 f satisfont les hypothèses du lemme.
  2. Soit (x, R) ∈ Q_A. Montrer, pour tous les entiers k et l, l'identité suivante :
∫_0^(2π)f(x + Ru_θ)cos^k θsin^l θ dθ = 0
On pourra raisonner par récurrence sur n = k + l.
11. Soit (x, R) ∈ Q_A. En déduire, pour tout entier n, les identités :
∫_0^(2π)f(x + Ru_θ)cos(nθ)dθ = 0 et ∫_0^(2π)f(x + Ru_θ)sin(nθ)dθ = 0
  1. Établir, pour tout (x, R) ∈ Q_A, que
∫_0^(2π)f^2(x_1 + Rcosθ, x_2 + Rsinθ)dθ = 0
  1. Prouver le lemme.

III Théorème de support

Définition 2. Pour f ∈ 𝒞_K^1(R^2; R), on pose
fˆ(θ, p) = ∫_R f(pu_θ + tv_θ)dt pour θ ∈ [0, 2π[, p ⩾ 0
On veut montrer le théorème de support suivant :
Théorème 1. Soit f ∈ 𝒞_K^1(R^2; R). Si il existe A > 0 tel que fˆ(θ, p) = 0 pour p > A quel que soit θ alors f(x) = 0 pour ‖x‖ > A.
Soit f une fonction qui satisfait les hypothèses du théorème. On suppose dans les questions 14 à 16 que f est radiale. Soit F ∈ 𝒞_K^1(R^+; R) telle que f(x) = F(‖x‖).
14. Montrer, pour tout θ ∈ [0, 2π[ et pour tout p ⩾ 0, les identités suivantes :
fˆ(θ, p) = fˆ(0, p) = 2∫_0^(+ ∞)F(√(p^2 + t^2))dt
  1. Établir, pour tout v > 0, l'identité
fˆ(0, √v) = ∫_v^(+ ∞)F(√u)(u − v)^(− 1/2) du
  1. En déduire que F est nulle sur ]A, + ∞[.
On ne suppose plus que f est radiale. Soit x un élément quelconque de R^2.
17. Établir, pour tout (θ, p), l'identité
T_(f, x)ˆ(θ, p) = 1/(2π)∫_0^(2π)∫_R T_(f, x)(pu_θ + tv_θ, φ)dt dφ
  1. Montrer pour tout θ ∈ [0, 2π[, la propriété :
T_(f, x)ˆ(θ, p) = 0 pour p > A + ‖x‖.
  1. Quel est géométriquement, l'ensemble {x + Rot_φ y, φ ∈ [0, 2π]} ? Que signifie géométriquement la condition ‖y‖ > A + ‖x‖ ?
  2. Prouver le théorème.
    FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

3 questions
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Mines MP 2008 ?
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Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Mines MP 2008 ?

Il porte sur le support de la transformation de Radon, avec de la géométrie, des intégrales à paramètre et un théorème de support.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une existence de fonction affirmée sans démonstration, une confusion entre continuité partielle et continuité par rapport au couple, et une hypothèse de domination mal établie.

Ce sujet de mathématiques MP est-il difficile ?

Le rapport indique que plusieurs questions ont causé d'importantes difficultés et n'ont été que rarement bien traitées, ce qui en fait un sujet exigeant.

Pas de description pour le moment