WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 2 MP 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2007FilièreMPMatièreMathématiques
Annales Mines MP MathématiquesMines MP 2007MP MathématiquesMathématiques 2007

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Algèbres de Lie : vecteurs propres communs et caractérisation des algèbres de Lie résolubles par trigonalisation simultanée
Afficher ou masquer la section

Le problème introduit les algèbres de Lie de matrices complexes à l'aide du crochet [X, Y] = XY − YX. La première partie établit qu'un vecteur propre commun aux éléments d'une sous-algèbre reste propre après action d'un élément de l'algèbre englobante. La seconde utilise ce résultat pour montrer qu'une algèbre de Lie est résoluble si et seulement si ses éléments sont simultanément trigonalisables.

  1. 1Partie I : algèbres de LieForme linéaire associée à un vecteur propre commun, identités par la formule du triangle de Pascal, sous-espace stable engendré par les itérés et calcul d'une trace nulle.
  2. 2Partie II : algèbres de Lie résolublesAlgèbre des matrices triangulaires supérieures, endomorphismes qui commutent, vecteur propre commun, projections et récurrence sur la dimension pour prouver la trigonalisation simultanée.

Difficulté moyenne. Le jury juge la première partie assez simple et le problème pas trop long, mais certaines questions de la seconde partie demandent une vraie réflexion.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Linéarité ou stabilité oubliées · Base commune non mentionnée · Récurrence appliquée à un ensemble infini
Afficher ou masquer la section

Le problème demandait une bonne maîtrise des bases d'algèbre linéaire et du calcul matriciel. La première partie, assez simple, a pourtant mis beaucoup de candidats en difficulté, tandis que les questions de réflexion de la seconde partie ont été résolues par un nombre significatif d'entre eux. Certaines copies mènent le problème presque à son terme.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Linéarité ou stabilité oubliéesQ1, Q5

    La forme λ est bien définie mais sa linéarité n'est pas montrée ; ailleurs, on démontre longuement des propriétés évidentes et on omet la stabilité de G, qui est le point essentiel.

  2. 2
    Base commune non mentionnéeQ10

    Traduire la trigonalisation simultanée exige de dire que la même base convient pour tous les endomorphismes, et pas une base pour chacun.

    « Cela manque l'essentiel, à savoir que cette base est commune pour tous les endomorphismes associés. »
  3. 3
    Récurrence appliquée à un ensemble infiniQ13, Q14

    Pour obtenir un vecteur propre commun à toute l'algèbre, il faut passer par une base de l'espace et la question 13, et non faire une récurrence sur tous ses vecteurs.

    « Rappelons que la méthode de la récurrence ne s'applique qu'aux ensembles finis. »
  4. 4
    Restriction mal compriseQ15, Q16

    Les applications restreintes ne sont définies que sur H, et un produit de restrictions peut ne pas avoir de sens ; simplifier par un projecteur non inversible est aussi une erreur.

  5. 5
    Même valeur propre non préciséeQ19

    Pour étendre la propriété de la base à tout l'espace E, il faut noter que les vecteurs de base sont associés à la même valeur propre. Une algèbre de Lie n'est pas non plus forcément une algèbre.

  6. 6
    Multiplication par blocs et cas initialQ11

    La preuve demande un calcul matriciel soigné ; le cas k = 0 doit être traité séparément, ce que peu de copies font.

    « Très souvent on rencontre des tentatives d'une fausse application des règles de multiplication par blocs. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 2 est l'une des plus simples et les erreurs y sont rares.
  • La question 7 est bien traitée par la plupart des candidats.
  • Les questions 12 et 15 sont en général bien traitées.
  • La question 18 ne pose pas de difficulté à ceux qui ont répondu avec précision à la question 10.

Conseils du jury

  • Lire l'énoncé et ses notations très attentivement : une mauvaise compréhension des notations cause beaucoup d'erreurs.
  • Justifier chaque étape d'une démonstration, y compris les détails qui semblent anodins.
  • Savoir étendre une propriété linéaire d'une base à tous les vecteurs de l'espace.
  • Connaître sans erreur la dimension des espaces usuels, comme celle de C^n.
  • S'entraîner régulièrement aux techniques de base d'algèbre linéaire et de calcul matriciel.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Algèbres de Lie

Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal à 1 . On note M_(n, p)(ℂ) l'espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes, à coefficients complexes.
On identifiera une matrice colonne X (un élément de M_(n, 1)(ℂ) ) et le vecteur de ℂ^n dont les composantes dans la base canonique de ℂ^n sont les coefficients de la matrice X. Pour M ∈ M_(n, n)(ℂ), on note M¯ l'endomorphisme canoniquement associé de ℂ^n : M¯ est l'endomorphisme de ℂ^n dont M est la matrice dans la base canonique de ℂ^n. Par ailleurs, E_λ(M¯) est l'espace propre associé à la valeur propre λ de l'endomorphisme M¯.
Pour une matrice M ∈ M_(n, n)(ℂ) de coefficients ( m_(ij), i, j = 1, ⋯, n ) et pour k = 0, ⋯, n − 1, on appelle k-ième diagonale supérieure de M, notée D_k(M), l'ensemble des coefficients ( m_(i, i + k), i = 1, ⋯, n − k ). Une diagonale supérieure D_k(M) est dite nulle lorsque tous ses éléments sont nuls.
Si V et W sont deux espaces supplémentaires de ℂ^n, on note p_V la projection sur V parallèlement à W : pour x = x_V + x_W avec x_V ∈ V et x_W ∈ W, p_V(x) = x_V. Pour un endomorphisme u de ℂ^n, on note u_V sa restriction à V.
De sorte que si i_V représente l'injection de V dans ℂ^n, u_V(y) = u(i_V(y)) pour tout y ∈ V.

I Algèbres de Lie

On appelle crochet de Lie de deux éléments X et Y de M_(n, n)(ℂ) la matrice, notée [X, Y], définie par
[X, Y] = XY − YX
Définition 1 Soit U un sous-espace vectoriel de M_(n, n)(ℂ). On note [U] l'espace vectoriel engendré par les crochets de Lie [X, Y] lorsque X et Y décrivent U. On dit que U est une algèbre de Lie lorsque
[U] ⊂ U.
Soit U et V deux algèbres de Lie qui vérifient
[U] ⊂ V ⊂ U.
On souhaite prouver le théorème suivant.
Théorème 1 Si X ∈ M_(n, 1)(ℂ) est une colonne propre pour toute matrice M dans V et si A est une matrice dans U alors AX est soit la matrice colonne nulle, soit une matrice colonne propre pour toute matrice M dans V. De plus, si pour M ∈ V, MX = λX alors M(AX) = λ(AX).
Soit X ∈ M_(n, 1)(ℂ) une matrice colonne propre pour toute matrice M dans V, et soit A une matrice de U.
  • 1 - Établir l'existence d'une forme linéaire λ sur V, à valeurs dans ℂ, telle que pour tout M ∈ V, MX = λ(M)X.
  • 2 - Montrer que pour tout M ∈ V, [M, A] appartient à V.
On considère la suite de matrices colonnes ( X_k, k ≥ 0 ) définie par
X_0 = X, X_(k + 1) = AX_k, pour tout k ≥ 0.
Pour M ∈ V, on considère la suite de nombres complexes ( λ_k(M), k ≥ 0 ) définie par
λ_0(M), = λ(M); λ_(k + 1)(M), = λ_k([M, A]), pour tout k ≥ 0.
  • 3 - Démontrer, pour tout entier i ≥ 0 et pour tout M ∈ V, les identités suivantes:
MX_i, = ∑_(j = 0)^i C_i^j λ_(i − j)(M)X_j; [M, A]X_i, = ∑_(j = 0)^i C_i^j λ_(i − j + 1)(M)X_j.
  • 4 - On identifie dorénavant matrices colonnes et vecteurs de ℂ^n. Démontrer qu'il existe un plus grand entier q tel que la famille de vecteurs {X_0, X_1, X_2, ⋯, X_q} soit libre.
On note G l'espace vectoriel engendré par la famille {X_0, X_1, X_2, ⋯, X_q}.
  • 5 - Montrer que M¯_G, A¯_G et [M, A]^–_G sont des endomorphismes de G.
  • 6 - Calculer la trace de [M, A]_G^–.
  • 7 - Quelle est la matrice de [M, A]^–_G dans la base {X_0, X_1, X_2, ⋯, X_q} ?
  • 8 - Pour M ∈ V, que vaut λ([M, A]) ?
  • 9 - Établir le théorème 1 .

II Algèbres de Lie résolubles

Définition 2 Soit U une algèbre de Lie et p un entier naturel non nul. On dit que U est une algèbre de Lie résoluble de longueur p lorsqu'il existe des algèbres de Lie U_0, U_1, ⋯, U_p telles que:
{0} = U_p ⊂ U_(p − 1) ⊂ ⋯U_1 ⊂ U_0 = U; [U_i] ⊂ U_(i + 1) pour tout i ∈ {0, ⋯, p − 1}.
On se propose de montrer le théorème suivant.
Théorème 2U est une algèbre de Lie résoluble si et seulement s'il existe une matrice P inversible telle que, pour tout M ∈ U, P^(− 1)MP est triangulaire supérieure.
Soit P une matrice inversible de M_(n, n)(ℂ) et T_P l'ensemble des matrices M ∈ M_(n, n)(ℂ) telles que P^(− 1)MP soit triangulaire supérieure.
  • 10 - Traduire la propriété « il existe une matrice P inversible telle que pour tout M ∈ U, P^(− 1)MP est triangulaire supérieure » en une propriété sur les endomorphismes canoniquement associés aux éléments de U.
  • 11 - Montrer que T_P est une algèbre de Lie résoluble de longueur n.
On pourra considérer les sous-espaces N_k(0 ≤ k ≤ n) tels que N_0 = T_P et pour tout entier k(1 ≤ k ≤ n), N_k est l'ensemble des matrices M ∈ T_P telles que les k diagonales supérieures D_0(P^(− 1)MP), D_1(P^(− 1)MP), …, et D_(k − 1)(P^(− 1)MP) sont nulles.
Dans les questions 12 à 17, on suppose que U est une algèbre de Lie résoluble de longueur p = 1.
  • 12 - Montrer que pour tout M, M^′ ∈ U, on a MM^′ = M^′ M.
  • 13 - Soit r un entier non nul et une famille M_1, M_2, ⋯, M_r d'éléments de U. Montrer qu'il existe un vecteur propre commun aux endomorphismes M¯_1, M¯_2, ⋯, M¯_r.
  • 14 - Montrer qu'il existe au moins un vecteur propre commun à tous les endomorphismes {M¯, M ∈ U}.
On note dorénavant :
U^– = {M¯, M ∈ U}.
Soit F et H deux espaces supplémentaires de ℂ^n et u et v deux endomorphismes de ℂ^n. De plus, on suppose, d'une part, que F est stable par u et v et, d'autre part, que u et v commutent.
  • 15 - Montrer les relations suivantes:
p_H u = p_H up_H et p_H v = p_H vp_H.
  • 16 - Montrer que p_H up_H et p_H vp_H commutent puis que p_H u_H et p_H v_H commutent.
  • 17 - En procédant par récurrence sur n, établir le théorème 2 dans le cas p = 1.
Soit, maintenant, U une algèbre de Lie résoluble de longueur p > 1.
On suppose établi que pour toute algèbre de Lie résoluble de longueur inférieure strictement à p, il existe un élément P ∈ M_(n, n)(ℂ), inversible, tel que pour toute matrice M dans cette algèbre, P^(− 1)MP soit triangulaire supérieure.
  • 18 - Montrer qu'il existe au moins un vecteur propre commun à tous les endomorphismes M¯, M ∈ U_1.
Soit X l'un de ces vecteurs propres. On note E l'espace vectoriel engendré par X et les éléments de la forme
A_1^–…A_k^–X
où k est un entier non nul, A_j ∈ U pour tout j.
  • 19 - Montrer que E est un espace vectoriel stable par tous les éléments de U^– et que tous les éléments de E sont des vecteurs propres communs à tous les endomorphismes de U_1^–.
Soit M, M^′ ∈ U.
  • 20 - Montrer que [M, M^′]_E^– est une homothétie de trace nulle.
  • 21 - Que peut-on en déduire?
Le théorème 2 , dans le cas général, se prouve alors par les mêmes raisonnements qu'aux questions 14 et 17.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines Maths 2 MP 2007 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quoi porte le sujet Mines Maths 2 MP 2007 ?

Sur les algèbres de Lie de matrices complexes. Le but est de prouver qu'une algèbre de Lie est résoluble si et seulement si ses éléments sont trigonalisables dans une même base.

Le sujet Mines Maths 2 MP 2007 sur les algèbres de Lie est-il difficile ?

Le jury trouve la première partie assez simple et le problème pas trop long. Quelques questions de la seconde partie demandent de la réflexion, et certaines copies ont été inachevées faute de temps.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths 2 Mines MP 2007 ?

L'oubli de la base commune dans la trigonalisation simultanée, des récurrences appliquées à des ensembles infinis, des restrictions d'endomorphismes mal comprises et des justifications de stabilité ou de linéarité manquantes.

Quels chapitres réviser avant de travailler Mines Maths 2 MP 2007 ?

Les bases d'algèbre linéaire, le calcul matriciel, la trace, les sous-espaces stables, les projecteurs et la trigonalisation des endomorphismes.

Pas de description pour le moment