Polytechnique Mathématiques 1 MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet de maths 1 X MP 2008 ?

Sur les équations différentielles de Sturm-Liouville : zéros des solutions via le wronskien, valeurs propres et nombre de zéros N(λ) de la solution y_λ.

Q: Quelle est la moyenne de maths 1 à l'X en MP 2008 ?

La note moyenne des candidats français est de 9,18 sur 20, avec un écart-type de 4,23, sur 1434 copies.

Q: Quelles questions étaient les plus difficiles en maths 1 X MP 2008 ?

Les questions 12 et 13 (1 % d'efficacité), 10b (10 %), 8c (16 %) et 10a (19 %). La question 6a a aussi été rarement bien traitée.

Q: Comment les points étaient-ils répartis en maths 1 X 2008 MP ?

Selon le jury, la partie I rapportait au plus 7 points, la partie II 3,5, la partie III 7 et la partie IV 2,5.

Équations différentielles de Sturm-Liouville

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Présentation du sujet

Difficile

Équations différentielles de Sturm-Liouville : zéros des solutions et valeurs propres

Le problème étudie l'équation y'' + (λ - r)y = 0 sur [0, 1] avec les conditions y(0) = y(1) = 0. Il établit d'abord des propriétés des zéros des solutions à l'aide du wronskien et un théorème de comparaison, puis s'intéresse aux valeurs propres et au nombre N(λ) de zéros de la solution y_λ. Il conclut que les valeurs propres forment une suite croissante infinie.

1Partie I : zéros des solutionsZéros isolés et en nombre fini, entrelacement par le wronskien, mise sous forme (uy')' + vy = 0 et comparaison de deux équations.
2Partie II : valeurs propresDimension de l'espace des solutions nulles aux deux bords, minoration des valeurs propres et orthogonalité des solutions associées.
3Partie III : nombre de zéros N(λ)Cas r = 0, constance locale de N(λ) par continuité uniforme, minoration de N(λ) et existence d'une infinité de valeurs propres.
4Partie IV : comportement de N(λ) près d'une valeur propreDérivation par rapport au paramètre, saut de N(λ) en une valeur propre et numérotation des valeurs propres.

Difficile. Le jury relève davantage de questions subtiles que les années précédentes ; la troisième partie devient ardue après la question 7 et les questions 12 et 13 n'atteignent qu'1 % d'efficacité.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,18 / 20 · écart-type 4,23 · 1 434 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,18/ 20
Écart-type: 4,23
Copies: 1 434

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Compacité non invoquée · Unicité des couples (u, v) non vérifiée · Premier zéro oublié

Le sujet départageait les candidats davantage sur leur capacité à saisir des subtilités que sur la rapidité de calcul. La première partie, fondée sur le wronskien, était sans difficulté particulière, la deuxième un peu plus délicate. Beaucoup de candidats se sont arrêtés après la question 7, et la fin de la quatrième partie n'a presque jamais été réussie.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Compacité non invoquée1b
Montrer que les zéros sont en nombre fini demandait d'utiliser la compacité et de rédiger un minimum la réponse.
2
Unicité des couples (u, v) non vérifiée3b
L'existence est généralement bien faite, mais il fallait aussi prouver que les exemples trouvés étaient les seuls, surtout pour les fonctions v.
« s’assurer que les exemples proposés étaient les seuls possibles »
3
Premier zéro oublié6a
Pour minorer les valeurs propres, il fallait raisonner sur le premier zéro de la fonction ; sans cela, l'argument est faux.
« peu ont compris qu’il fallait utliser le premier zéro de la fonction »
4
Recours abusif au théorème de Rolle8a
La construction de la subdivision est surtout une question de rédaction, et le théorème de Rolle n'y suffit pas.
« Un piège dans lequel de nombreux candidats sont tombés était l’invocation du théorème de Rolle. »
5
Un seul δ pour plusieurs intervalles8c
Chaque intervalle fournit son propre δ ; en prendre un seul rend le raisonnement faux.
« Trop de candidats on utilisé un seul δ, rendant le raisonnement faux »
6
Propriétés de la partie entière mal utilisées7c, 9
La partie entière n'est pas continue ; en question 9, il fallait utiliser sa semi-continuité après une bonne majoration tirée de la question 7.

Ce qui a été bien réussi

L'usage du wronskien est maîtrisé par la quasi-totalité des candidats.
Les calculs directs sont bien réussis : question 3a (98 %), 4a (83 %) et 7a (90 %).
La question de cours 1a atteint 87 % d'efficacité.

Conseils du jury

Traiter soigneusement les questions standard, puis s'attaquer aux questions plus subtiles.
Rédiger précisément les arguments de continuité uniforme et les quantificateurs.
Vérifier qu'une liste de solutions est complète, et pas seulement qu'elle contient des solutions.
Rédiger correctement les résultats qualitatifs, par exemple l'infinité des valeurs propres en 10b.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
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Équations différentielles de Sturm-Liouville

Ce problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle avec paramètre. On désigne par

C^\infty([0, 1])

l'espace des fonctions réelles de classe

C^\infty

sur

[0, 1]

Première partie

Dans cette première partie, étant donné deux fonctions

p

q

C^\infty([0, 1])

, on désigne par

A_(p, q)

l'endomorphisme de

C^\infty([0, 1])

défini par

A_(p, q)(y) = y^('') + py^' + qy

et par (

D_(p, q)

) l'équation différentielle sur

[0, 1] : A_(p, q)(y) = 0

Soit $y$ une solution non identiquement nulle de ( $D_(p, q)$ ).
1.a) Montrer que les fonctions $y$ et $y^'$ ne s'annulent pas simultanément.
1.b) Montrer que les zéros de $y$ sont en nombre fini.
Soit $y_1$ et $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes de ( $D_(p, q)$ ); on suppose que $y_1$ admet au moins deux zéros et on note $a$ et $b$ deux zéros consécutifs.
2.a) Montrer que $y_2$ admet au moins un zéro dans l'intervalle ouvert $]a, b[$ . [On pourra procéder par l'absurde et considérer le wronskien $W$ de $y_1$ et $y_2$ .]
2.b) La fonction $y_2$ peut-elle avoir plusieurs zéros dans $]a, b[$ ?

Étant donné deux fonctions

u

v

C^\infty([0, 1]), u

ne s'annulant en aucun point, on désigne par

B_(u, v)

l'endomorphisme de

C^\infty([0, 1])

défini par

B_(u, v)(y) = (uy^')^' + vy

et par (

E_(u, v)

) l'équation différentielle sur

[0, 1] : B_(u, v)(y) = 0

.
3.a) Soit

y_1

y_2

deux solutions linéairement indépendantes de (

D_(p, q)

) et soit

W

leur wronskien. Vérifier la relation

y_1 B_(u, v)(y_2) - y_2 B_(u, v)(y_1) = (u^' - up)W

3.b) Montrer que, pour tout couple (

p, q

), il existe des couples (

u, v

) tels que

KerA_(p, q) = KerB_(u, v)

et déterminer tous ces couples

(u, v)

.
4. On se donne trois fonctions

u, v_1, v_2

C^\infty([0, 1])

et on suppose

u(x) > 0, v_2(x) < v_1(x) pour tout x \in [0, 1].

Pour

i = 1, 2

, on note

y_i

une solution non identiquement nulle de l'équation (

E_(u, v_i)

); on suppose que

y_2

admet au moins deux zéros et on note

a

b

deux zéros consécutifs.
4.a) Vérifier la relation

[uy_1 y_2^']_a^b = \int_a^b(v_1(x) - v_2(x))y_1(x)y_2(x)dx

[On pourra considérer

\int_a^b(y_1 B_(u, v_2)(y_2) - y_2 B_(u, v_1)(y_1))dx

.]
4.b) Montrer que

y_1

admet au moins un zéro dans l'intervalle

]a, b

[. [On pourra procéder par l'absurde.]

Dans toute la suite du problème on note

r

une fonction de

C^\infty([0, 1])

; pour tout nombre réel

λ

on considère l'équation différentielle sur

[0, 1]

y^('') + (λ - r)y = 0

On note

y_λ

l'unique solution de (

D_λ

) satisfaisant

y_λ(0) = 0, y_λ^'(0) = 1

, et

E_λ

l'espace vectoriel (éventuellement réduit à zéro) des solutions de

(D_λ)

satisfaisant

y(0) = y(1) = 0

; si cet espace n'est pas réduit à zéro, on dit que

λ

est valeur propre.

Deuxième partie

5.a) Quelles sont les valeurs possibles de

dimE_λ

?
5.b) Démontrer l'équivalence des conditions

E_λ ≠ {0}

y_λ(1) = 0

.
6. Démontrer les assertions suivantes:
6.a) Toute valeur propre est supérieure ou égale à inf

_(x \in [0, 1])r(x)

.
6.b) Si

y_1 \in E_(λ_1), y_2 \in E_(λ_2)

avec

λ_1 \neq λ_2

, alors

\int_0^1 y_1(x)y_2(x)dx = 0

Troisième partie

Dans les troisième et quatrième parties, on désigne par

N(λ)

le nombre des zéros de la fonction

y_λ

dans

[0, 1]

et on se propose d'étudier

N(λ)

en lien avec les valeurs de

y_λ(1)

, ainsi que la répartition des valeurs propres.
7. Dans cette question on examine le cas où

r = 0

λ > 0

. On désigne par

E(a)

la partie entière d'un nombre réel

a

.
7.a) Calculer

y_λ(x)

pour

x \in [0, 1]

.
7.b) Calculer

N(λ)

.
7.c) Préciser le comportement de

N(λ)

au voisinage d'un point

λ_0

On ne suppose plus

r = 0

λ > 0

. On admettra que la fonction de deux variables

(λ, x) \mapsto y_λ(x)

est de classe

C^\infty

.
8. Dans cette question, on se propose de démontrer que, si

y_(λ_0)(1)

est non nul,

N(λ)

est constant dans un voisinage de

λ_0

On désigne par

c_1, \dots, c_n, n ⩾ 1

, les zéros de

y_(λ_0)

dans

[0, 1]

avec

0 = c_1 < c_2 < \dots < c_n < 1

8.a) Montrer qu'il existe une suite strictement croissante

(ξ_j)_(0 ⩽ j ⩽ 2n)

de nombres réels, possédant les propriétés suivantes :
(i)

ξ_0 = 0, ξ_(2n) = 1, 0 < ξ_1 < ξ_2, ξ_(2j - 2) < c_j < ξ_(2j - 1)

pour

j = 2, \dots, n

;
(ii)

(- 1)^(j + 1)y_(λ_0) > 0

sur

[ξ_(2j - 1), ξ_(2j)], j = 1, \dots, n

;
(iii)

(- 1)^j y_(λ_0)^' > 0

sur

[ξ_(2j), ξ_(2j + 1)], j = 0, \dots, n - 1

.
8.b) Dans cette question, on considère une fonction

F

de classe

C^\infty

définie sur un ouvert contenant un rectangle compact

I \times J

R^2

. Démontrer l'assertion suivante : pour tout

ε > 0

il existe

δ > 0

tel que les conditions

s_1, s_2 \in I

|s_1 - s_2| < δ

impliquent

|F(s_1, t) - F(s_2, t)| < ε pour tout t \in J.

8.c) Montrer que, pour tout

λ

suffisamment voisin de

λ_0, y_λ

a exactement un zéro dans chacun des intervalles

[ξ_(2j), ξ_(2j + 1)]

, mais n'en a aucun dans les intervalles

[ξ_(2j - 1), ξ_(2j)]

. Conclure.
9. Montrer que, pour tout

λ ⩾ ρ = sup_(x \in [0, 1])r(x)

, on a

N(λ) ⩾ E((λ - ρ)^(1/2)π^(- 1))

[On pourra utiliser la question 4 et la question 7 en y remplaçant

λ

par un réel quelconque

μ < λ - ρ

. ]
10.a) Montrer que, si

y_λ(1)

est non nul pour tout

λ

appartenant à un intervalle

I, N(λ)

est constant dans

I

.
10.b) L'ensemble des valeurs propres est-il vide ou non vide? fini ou infini?

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie, on étudie le comportement de

N(λ)

au voisinage d'un point

λ_0

tel que

y_(λ_0)(1) = 0

. On écrira

y(λ, x)

au lieu de

y_λ(x)

, et on rappelle que cette fonction de deux variables est de classe

C^\infty

; l'équation (

D_λ

) s'écrit donc :

(\partial^2 y)/(\partialx^2) + (λ - r)y = 0

Démontrer que la relation (i) entraîne les relations suivantes:

(\partial^3 y)/(\partialx^2\partialλ) + (λ - r)(\partialy)/(\partialλ) + y = 0

(\partial^2 y)/(\partialx^2)(\partialy)/(\partialλ) - (\partial^3 y)/(\partialx^2\partialλ)y - y^2 = 0

(\partialy)/(\partialλ)(λ_0, 1)(\partialy)/(\partialx)(λ_0, 1) = \int_0^1 y(λ_0, x)^2 dx > 0

Montrer qu'il existe un réel $ε > 0$ ayant les propriétés suivantes:
(i) si $λ \in [λ_0 - ε, λ_0[$ , on a $N(λ) = N(λ_0) - 1$ ;
(ii) si $λ \in [λ_0, λ_0 + ε]$ , on a $N(λ) = N(λ_0)$ .
Montrer qu'on peut écrire les valeurs propres comme une suite croissante infinie $λ_1 < λ_2 < \dots$ , et exprimer $N(λ_n)$ en fonction de $n$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 1 X MP 2008 ?

Sur les équations différentielles de Sturm-Liouville : zéros des solutions via le wronskien, valeurs propres et nombre de zéros N(λ) de la solution y_λ.

Quelle est la moyenne de maths 1 à l'X en MP 2008 ?

La note moyenne des candidats français est de 9,18 sur 20, avec un écart-type de 4,23, sur 1434 copies.

Quelles questions étaient les plus difficiles en maths 1 X MP 2008 ?

Les questions 12 et 13 (1 % d'efficacité), 10b (10 %), 8c (16 %) et 10a (19 %). La question 6a a aussi été rarement bien traitée.

Comment les points étaient-ils répartis en maths 1 X 2008 MP ?

Selon le jury, la partie I rapportait au plus 7 points, la partie II 3,5, la partie III 7 et la partie IV 2,5.

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