ENS Mathématiques 1 MP 2008Sujet et corrigé

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Présentation du sujet

Le Hausdorffien (domaine numérique) d'un endomorphisme hermitien et inégalité de von Neumann

Le sujet étudie l'ensemble H(f) des valeurs prises par le produit scalaire <x|f(x)> pour x de norme 1, appelé Hausdorffien de f, pour un endomorphisme f d'un espace hermitien de dimension finie. Il en établit successivement la compacité, la forme de disque elliptique en dimension 2, la convexité générale et le lien avec les valeurs propres, avant de démontrer dans une dernière partie indépendante l'inégalité de von Neumann sur les contractions.

11. Premiers calculsPropriétés élémentaires du Hausdorffien : valeurs propres incluses dans H(f), comportement par transformation affine, exemples en dimension 2 et compacité en dimension finie.
22. Réduction de certains endomorphismesDémonstration que les endomorphismes normaux sont exactement ceux diagonalisables en base orthonormée, et existence d'une forme triangulaire supérieure en base orthonormée pour un endomorphisme quelconque.
33. Le Hausdorffien en dimension 2Preuve que H(f) est un segment pour f normal et un disque elliptique de foyers les valeurs propres de f dans le cas général en dimension 2.
44. Hausdorffien et convexitéDémonstration de la convexité de H(f) en dimension quelconque, étude des liens entre sommets de H(f) et vecteurs propres, et cas où H(f) est l'enveloppe convexe des valeurs propres.
55. L'inégalité de von NeumannPartie indépendante des précédentes : démonstration de l'inégalité de von Neumann bornant la norme de P(f)(x) pour f contraction, via la décomposition polaire et des arguments d'analyse complexe.

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Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 6 heures

L'usage de calculatrice est interdit

REMARQUES PRÉLIMINAIRES

Dans tout ce problème,

E

est un C -espace vectoriel hermitien, de dimension finie

d

(sauf au 1.6 où

E

est de dimension infinie), et dont on note

⟨ \cdot | \cdot ⟩

le produit scalaire et

‖ \cdot ‖

la norme associée; le produit scalaire est semi-linéaire à gauche et linéaire à droite. On note Id l'identité sur

E

f

est un endomorphisme de

E

, alors on note

f^*

son adjoint. On dit que :
(1)

f

est normal si

f \circ f^* = f^* \circ f

;
(2)

f

est unitaire si

f \circ f^* = Id

;
(3)

f

est hermitien si

f = f^*

En particulier, les endomorphismes unitaires ainsi que les endomorphismes hermitiens sont normaux ; par ailleurs, les endomorphismes unitaires sont des isométries.

f \in End(E)

, on définit le Hausdorffien de

f, H(f) \subset C

par :

H(f) = {⟨x|f(x)⟩, x \in E et ‖x‖ = 1}.

Attention au fait que l'on ne considère que les

x \in E

tels que

‖x‖ = 1

(et pas

‖x‖ \leq 1

).
L'objet des parties 1 à 4 du problème est d'étudier diverses propriétés de

H(f)

. La partie 5 , qui est indépendante des parties 1,3 et 4 , ne concerne pas le Hausdorffien ; on y démontre une inégalité due à von Neumann sur les contractions.

1. Premiers calculs

1.1. Montrer que si

λ

est une valeur propre d'un endomorphisme

f

E

, alors

λ \in H(f)

.
1.2. Montrer que si

λ

μ

sont deux nombres complexes, alors:

H(λ \cdot f + μ \cdot Id) = {λz + μ, z \in H(f)}.

On suppose que

dim(E) = 2

et on fixe une base orthonormée de

E

.
1.3. Montrer que si

Mat(f) = (1, 0; 0, 0)

, alors

H(f)

est le segment

[0, 1]

.
1.4. Montrer que si

Mat(f) = (0, 1; 0, 0)

, alors

H(f)

est l'ensemble

{z \in C, |z| \leq 1/2}

.
1.5. Montrer que si

E

est de dimension finie et

f \in End(E)

, alors

H(f)

est compact.
1.6. Soit

E

l'ensemble des suites

x = (x_1, x_2, \dots)

de nombres complexes telles que la série

\sum_(j = 1)^(+ \infty)|x_j|^2

converge. On munit

E

du produit scalaire

⟨x|y⟩ = \sum_(j = 1)^(+ \infty)x¯_j y_j

. Soit

f \in End(E)

défini par

f : (x_1, x_2, \dots) \mapsto (x_2, x_3, \dots)

. Montrer que

H(f) = {z \in

|z| < 1}

2. RÉDUCTION DE CERTAINS ENDOMORPHISMES

Dans cette partie, on démontre quelques résultats sur la réduction des endomorphismes de

E

. On suppose que

E

est de dimension finie et on se fixe

f \in End(E)

.
2.1. Montrer que si

f

est normal et si

v

est un vecteur propre de

f

de valeur propre

λ

, alors

v

est un vecteur propre de

f^*

de valeur propre

λ¯

(on pourra calculer

‖f^*(v) - λ¯v‖

).
2.2. Montrer que si

f

est normal et

v

est un vecteur propre de

f

, alors

(C \cdot v)^⊥

est stable par

f

.
2.3. Montrer que si

f

est normal, alors il existe une base orthonormée de

E

dans laquelle la matrice de

f

est diagonale, et donc que les endomorphismes normaux sont exactement ceux qui sont diagonalisables en base orthonormée. On note

λ_1, \dots, λ_d

les valeurs propres de

f

.
2.4. Montrer que si

f

est normal, alors

f

est hermitien si et seulement si

λ_j \in R

pour tout

j

f

est unitaire si et seulement si on peut écrire

λ_j = e^(iθ_j)

avec

θ_j \in R

pour tout

j

.
2.5. On ne suppose plus

f

normal. Montrer qu'il existe une base orthonormée de

E

dans laquelle la matrice de

f

est triangulaire supérieure. Montrer qu'alors

f

est normal si et seulement si cette matrice est diagonale.

3. Le Hausdorffien en dimension 2

Dans toute cette partie, on suppose que

dim(E) = 2

et on se fixe

f \in End(E)

. Un disque elliptique est l'ensemble des points de

R^2

contenus à l'intérieur d'une ellipse (y compris l'ellipse elle-même). Une ellipse est dite dégénérée si elle est réduite à un segment. Un disque elliptique est donc l'image d'un disque fermé par une transformation affine du plan

R^2

. Dans la suite, on identifie

C

avec

R^2

ce qui permet de parler de disques elliptiques contenus dans

C

.
3.1. Montrer que si

f

est normal, alors

H(f)

est un segment, dont on précisera les extrémités.
3.2. On suppose qu'il existe une base orthonormée de

E

dans laquelle

Mat(f) = (0, a; b, 0)

avec

a, b \in C

. Soit

x \in E

de norme 1 et de coordonnées

x_1, x_2

dans cette base. En écrivant :

{a = a_0 e^(iα); b = b_0 e^(iβ) {x_1 = r_1 e^(i(φ + (α − β)/2)); x_2 = r_2 e^(i(θ + φ))

montrer que

H(f)

est un disque elliptique de centre 0 et dont les axes sont de longueurs

‖a| \pm |b|‖

.
3.3. On suppose que

Tr(f) = 0

. Construire une base orthonormée de

E

dans laquelle la matrice de

f

est de la forme

(0, a; b, 0)

avec

a, b \in C

Indication : on pourra distinguer les cas suivants :
(1) les deux valeurs propres de

f

sont égales;
(2)

f

est normal ;
(3) il existe une base

v, w

E

telle que

v

w

sont de norme

1, ⟨v|w⟩ \neq 0

, et

Mat(f) = (λ, 0; 0, - λ)

. On montrera que dans ce cas, il existe

α \in C

de norme 1 tel que si l'on pose

u = v + αw

, alors

⟨u|f(u)⟩ = 0

.
3.4. Montrer que si

f \in End(E)

, alors

H(f)

est un disque elliptique, et que ce disque elliptique est dégénéré si et seulement si

f

est normal. Dans quels cas

H(f)

est-il un vrai disque?
3.5. Montrer que si

f \in End(E)

, alors les foyers de

H(f)

sont les valeurs propres de

f

4. Hausdorffien et convexité

On dit qu'une partie

C

d'un

R

-espace vectoriel

V

est convexe si pour tous

x, y \in C

λ \in [0, 1]

, on a

λx + (1 - λ)y \in C

. Si

P

est une partie d'un espace vectoriel

V

, son
enveloppe convexe est l'ensemble :

Conv(P) = {∑_(j = 1)^n α_j p_j, n ≥ 1, {p_1, …, p_n} ⊂ P, α_j ≥ 0 et ∑_(j = 1)^n α_j = 1}

En d'autres termes, c'est l'ensemble des combinaisons convexes de points de

P

.
Si

C

est une partie du plan complexe identifié à

R^2

, alors on dit que

C

est un convexe polygonal s'il existe

n

points

v_1, \dots, v_n

tels que

C = Conv({v_1, …, v_n})

. On dit qu'un point

s \in C

est un sommet de

C

'il n'est pas combinaison convexe de deux points distincts de

C

(on pourra faire un dessin; remarquer qu'un sommet de

C

est nécessairement l'un

desv_j

).
4.1. Soit

F

un sous-espace vectoriel de

E

; c'est un espace hermitien pour le produit scalaire induit. On note

π_F

la projection orthogonale sur

F

, ce qui fait que si

f \in End(E)

, alors

π_F \circ f|_F \in End(F)

. Montrer que

H(π_F \circ f|_F) \subset H(f)

.
4.2. Montrer que si

f \in End(E)

, alors

H(f)

est convexe.

Indication : si

z_1 = ⟨x_1|f(x_1)⟩

z_2 = ⟨x_2|f(x_2)⟩

sont deux points de

H(f)

, considérer l'espace vectoriel

F

engendré par

x_1

x_2

.
4.3. On suppose que

E

est la somme directe orthogonale de deux sous-espaces

E_1

E_2

, que

f_1 \in End(E_1)

f_2 \in End(E_2)

et que

f \in End(E)

est définie par

f(x_1, x_2) = (f_1(x_1), f_2(x_2))

x_1 \in E_1

x_2 \in E_2

. Montrer que

H(f) = Conv(H(f_1) \cup H(f_2))

En déduire que si

f \in End(E)

est normal, alors

H(f)

est l'enveloppe convexe des valeurs propres de

f

. Donner un exemple qui montre que cette propriété n'est pas vraie si

f

n'est pas normal.
4.4. Montrer que si

s

est un sommet d'un convexe polygonal

C

, et que si

E

est un disque elliptique tel que

E \subset C

s \in E

, alors

E

est nécessairement dégénéré (on utilisera le fait que par un point d'une ellipse non dégénérée, il ne passe qu'une seule droite tangente à l'ellipse).
4.5. Soit

f \in End(E)

un endomorphisme tel que

H(f)

est un convexe polygonal et soit

λ = ⟨x|f(x)⟩

un sommet de

H(f)

avec

x

de norme 1 .
(1) Soient

y

un vecteur de

E

de norme 1 et orthogonal à

x

F = Vect(x, y)

. Montrer que

π_F \circ f|_F

est normal et que

x

en est un vecteur propre ;
(2) Montrer que

x

est un vecteur propre de

f

, de valeur propre

λ

.
4.6. Montrer que si

0 < ε \leq 1

, et si dans une base orthonormée de

E

on a :

Mat(f) = (0, 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0, ε; 0, 0, 0, 0, 0)

alors

H(f)

est l'enveloppe convexe des valeurs propres de

f

, mais

f

n'est pas normal.
4.7. Montrer que si

dim(E) \leq 4

et si

f \in End(E)

est tel que

H(f)

est l'enveloppe convexe des valeurs propres de

f

, alors

f

est normal.
4.8. Montrer que si

f \in End(E)

vérifie

Tr(f) = 0

, alors il existe une base orthonormée de

E

dans laquelle la diagonale de

Mat(f)

est nulle.

5. L'INÉgalité de von NEUMANN

Dans cette partie, on suppose que

E

est de dimension finie. On se donne

f \in End(E)

et on suppose que

f

est une contraction, c'est-à-dire que

‖f(x)‖ \leq ‖x‖

pour tout

x \in E

. Le but de cette partie est de montrer l'inégalité de von Neumann qui dit que pour tout polynôme

P(X) \in C[X]

, on a :

‖P(f)(x)‖ \leq sup_(λ \in C; |λ| \leq 1)|P(λ)| \cdot ‖x‖.

5.1. Montrer que si

f

est normal, alors

f

est une contraction si et seulement si ses valeurs propres

λ_1, \dots, λ_d

vérifient

|λ_j| \leq 1

pour tout

j

. En déduire l'inégalité de von Neumann pour

f

normal.
5.2. Soit

f \in End(E)

inversible. Montrer qu'il existe

h \in End(E)

hermitien à valeurs propres

\geq 0

(on dit que

h

est positif) tel que

f^* \circ f = h^2

. En déduire qu'il existe

u

unitaire et

h

hermitien positif tels que

f = uh

, et que

u

h

sont alors uniques.
5.3. Montrer que si

f

n'est pas inversible, alors il existe toujours

u

unitaire et

h

hermitien positif tels que

f = uh

. Indication : on pourra considérer la décomposition de

f + ε \cdot

Id en

u_ε h_ε

et montrer que l'ensemble des endomorphismes unitaires est compact.
5.4. Dans les notations de la question 5.3, montrer que

f

est une contraction si et seulement si les valeurs propres

μ_1, \dots, μ_d

h

vérifient

|μ_j| \leq 1

pour tout

j

.
5.5. Soit

Q(X) \in C[X]

un polynôme à coefficients complexes. Montrer que quels que soient

z_0 \in C

r \geq 0

, on a :

Q(z_0) = 1/(2π)\int_0^(2π)Q(z_0 + re^(iθ))dθ

5.6. Soient

Q_1(X), \dots, Q_d(X) \in C[X]

des polynômes à coefficients complexes. Montrer que quels que soient

z_0 \in C

r \geq 0

, on a :

|Q_1(z_0)|^2 + \dots + |Q_d(z_0)|^2 \leq 1/(2π)\int_0^(2π)|Q_1(z_0 + re^(iθ))|^2 + \dots + |Q_d(z_0 + re^(iθ))|^2 dθ

En déduire que :

sup_(z \in C; |z| \leq 1)|Q_1(z)|^2 + \dots + |Q_d(z)|^2 = sup_(z \in C; |z| = 1)|Q_1(z)|^2 + \dots + |Q_d(z)|^2.

Montrer enfin que si les

Q_i

sont des polynômes en plusieurs variables,

Q_i(X_1, \dots, X_n) \in C[X_1, \dots, X_n]

, alors :

sup_(z_1, \dots, z_n \in C; |z_j| \leq 1\forallj)|Q_1(z_1, \dots, z_n)|^2, + \dots + |Q_d(z_1, \dots, z_n)|^2; = sup_(z_1, \dots, z_n \in C; |z_j| = 1\forallj)|Q_1(z_1, \dots, z_n)|^2 + \dots + |Q_d(z_1, \dots, z_n)|^2.

5.7. On se donne désormais une base orthonormée de

E

. Si

u

w

sont deux endomorphismes unitaires et si

μ = (μ_1, \dots, μ_d) \in C^d

, soit

f_μ = uwd_μ w^*

où :

Mat(d_μ) = (μ_1; ⋱; μ_d).

Montrer que si l'on fixe

u

w

unitaires,

x \in E

P(X) \in C[X]

, alors il existe des polynômes

Q_1, \dots, Q_d \in C[X_1, \dots, X_d]

tels que :

P(f_μ)(x) = (Q_1(μ_1, \dots, μ_d); ⋮; Q_d(μ_1, \dots, μ_d)).

En déduire que :

sup_(μ_1, \dots, μ_d \in C; |μ_j| \leq 1\forallj)‖P(f_μ)(x)‖ = sup_(μ_1, \dots, μ_d \in C; |μ_j| = 1\forallj)‖P(f_μ)(x)‖.

5.8. Terminer la démonstration de l'inégalité de von Neumann.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 ENS MP 2008 ?

Il porte sur la réduction des endomorphismes d'un espace hermitien (endomorphismes normaux, unitaires, hermitiens), sur la convexité et sur une inégalité d'analyse complexe due à von Neumann, dans le cadre du programme d'algèbre linéaire et bilinéaire avancé.

Les parties du sujet ENS maths 1 MP 2008 sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que la partie 5, consacrée à l'inégalité de von Neumann, est indépendante des parties 1, 3 et 4 ; les parties 1 à 4 s'enchaînent en revanche autour de l'étude du Hausdorffien.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser les espaces hermitiens, l'adjoint d'un endomorphisme, la réduction des endomorphismes normaux en base orthonormée, la notion de convexité et la décomposition polaire d'un endomorphisme.

Ce sujet est-il accessible en première année ?

Non, il porte sur des notions d'algèbre linéaire et bilinéaire de deuxième année (espaces hermitiens, endomorphismes normaux, décomposition polaire) traitées à un niveau avancé typique des épreuves communes aux ENS.

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