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Mines Mathématiques 1 MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Permanent d'une matrice, formes quadratiques, espaces de Lorentz et inégalité d'Alexandrov
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La première épreuve de mathématiques MP 2008 du concours Mines-Ponts étudie le permanent d'une matrice carrée réelle pour établir l'inégalité d'Alexandrov. Le problème, en 18 questions, passe par l'étude des formes quadratiques non dégénérées et de leur signature, puis par les espaces de Lorentz, avant une démonstration par récurrence et par un argument de continuité.

  1. 1Partie I : permanentsMajorations du permanent et de la différence de deux permanents, puis développement selon une colonne.
  2. 2Partie II : formes quadratiquesDimension maximale des sous-espaces où la forme est définie positive ou définie négative, lien avec le signe des valeurs propres et stabilité par petite perturbation.
  3. 3Partie III : espaces de LorentzInégalité de type Cauchy-Schwarz inversée pour une forme de signature (1, n-1), avec cas d'égalité.
  4. 4Partie IV : inégalité d'AlexandrovDémonstration par récurrence que la forme construite à partir des permanents définit un espace de Lorentz, puis déduction de l'inégalité.

Difficile. Selon le rapport, la majorité des candidats peine à rédiger les démonstrations techniques et seul un petit nombre a maîtrisé une partie importante du sujet.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Bluff sur les résultats donnés · Somme directe et supplémentaires · Définition de l'énoncé mal utilisée
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Le jury estime que l'épreuve a bien classé les candidats. Presque toutes les questions donnent le résultat à établir, si bien que les rédactions vagues ont été assimilées à des tentatives de bluff et fortement pénalisées. Peu de candidats ont eu le temps d'aborder correctement les trois dernières questions.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Bluff sur les résultats donnésQ2, Q7, Q12, Q13

    Les questions 2, 7, 12 et 13 ont suscité beaucoup de tentatives de bluff ; à la question 2, l'argument de série télescopique est rarement cité.

    « Peu de candidats mentionne l'argument de « série télescopique ». »
  2. 2
    Somme directe et supplémentairesQ4

    L'intersection de deux sous-espaces vectoriels contient toujours le vecteur nul, et des sous-espaces en somme directe ne sont pas forcément supplémentaires.

    « Certains candidats confondent « sous-espaces vectoriels en somme directe » et « sous-espaces vectoriels supplémentaires ». »
  3. 3
    Définition de l'énoncé mal utiliséeQ5

    La notion de forme quadratique définie positive sur un sous-espace, telle que l'énoncé la définit, a été mal manipulée.

    « Beaucoup de candidats ont du mal à manipuler la notion de forme quadratique définie positive »
  4. 4
    Renvoi à une question antérieure bâcléQ8

    L'appel à la question 4 pour conclure est souvent expédié sans justification suffisante.

    « l'invocation de la question 4 pour conclure est souvent bâclée »
  5. 5
    Famille liée et vecteur nulQ9

    Le discriminant d'un trinôme est mal manipulé, et conclure qu'un vecteur est proportionnel à un autre suppose que ce dernier n'est pas nul.

    « il faut s'assurer que a n'est pas le vecteur nul »
  6. 6
    Forme non dégénérée et vecteurs isotropesQ14

    Une forme quadratique non dégénérée peut s'annuler en un vecteur non nul, contrairement à ce qu'affirment certaines copies.

Ce qui a été bien réussi

  • Un petit nombre de candidats a maîtrisé une partie importante du sujet.
  • À la question 8, beaucoup de candidats ont eu l'idée de considérer un plan vectoriel sur lequel la forme quadratique est positive.

Conseils du jury

  • Lire calmement tout le sujet au début pour assimiler les notations.
  • Pour une question dont le résultat est donné, rédiger une démonstration claire et concise en citant les théorèmes du cours et les numéros des questions utilisées, sans sauter d'étape.
  • Construire chaque démonstration au brouillon et ne la recopier que lorsqu'elle est devenue claire.
  • Indiquer nettement qu'on admet le résultat d'une question non traitée pour poursuivre.
  • Écrire lisiblement et encadrer les résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2008

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Inégalité d'Alexandrov

Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal à 1 . On note 𝔖_n le groupe des permutations de I_n = {1, ⋯, n}.
On note M_(n, p)(R) l'espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes, à coefficients réels. Pour une matrice M ∈ M_(n, n)(R) de coefficients m_(ij), on notera m_j le j-ème vecteur colonne de M, celui dont les composantes sont ( m_(ij), i = 1, ⋯, n ). On écrira ainsi
M = (m_1, ⋯, m_n).
On remarquera que m_(ij) est indifféremment le coefficient en ligne i et colonne j de M ainsi que la i-ième composante de m_j. On identifiera une matrice colonne m et le vecteur de R^n dont les composantes dans la base canonique de R^n sont les coefficients de m. On note ‖‖ la norme euclidienne de R^n et x.y représente le produit scalaire euclidien de deux vecteurs de R^n. On note S la sphère unité de R^n, c'est-à-dire
S = {x/‖x‖ = 1}.
Pour une matrice M ∈ M_(n, n)(R), pour i et j éléments de {1, ⋯, n}, on note M(i|j) la matrice obtenue en supprimant de M la i-ème ligne et la j-ième colonne. Pour un vecteur colonne m, m(j) représente le vecteur colonne m duquel on a ôté la j-ième composante.
Soit Q une matrice symétrique réelle de M_(n, n)(R). On note B_Q la forme bilinéaire associée : pour tout x et y de R^n,
B_Q(x, y) = Qx.y
et on note Φ_Q la forme quadratique associée : Φ_Q(x) = B_Q(x, x).
Définition 1. Soit V un sous-espace vectoriel de R^n, on dira que Φ_Q est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative) sur V lorsque
Φ_Q(x) > 0 pour tout x appartenant a^‵V ∩ S
(respectivement Φ_Q(x) ⩾ 0, respectivement Φ_Q(x) < 0 ). On notera V^+(respectivement V_0^+, respectivement V^−) l'ensemble des sous-espaces vectoriels sur lesquels Φ_Q est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative). On pose
r(Φ_Q) = max_(V ∈ V^+)(dimV) et s(Φ_Q) = max_(V ∈ V^−)(dimV)
avec la convention que max_(V ∈ ∅)dimV = 0.

I Permanents

Définition 2. Pour M = (m_1, …, m_n) ∈ M_(n, n)(R), on définit son permanent, noté per, par
per : (M_(n, 1)(R))^n, ⟶ R; (m_1, …, m_n), ⟼ ∑_(σ ∈ 𝔖_n)m_(1σ(1))m_(2σ(2))…m_(nσ(n))
On tiendra pour acquis que la forme per est multilinéaire et symétrique, c'est-à-dire invariante par permutation des vecteurs.
  1. Établir pour tous m_1, m_2, ⋯, m_n éléments de M_(n, 1)(R), l'inégalité
|per(m_1, ⋯, m_n)| ⩽ n!∏_(j = 1)^n‖m_j‖
  1. Pour (m_1, ⋯, m_n) et (r_1, r_2⋯, r_n) éléments de (M_(n, 1)(R))^n, établir l'inégalité suivante :
|per(m_1, ⋯, m_n) − per(r_1, ⋯, r_n)|; ⩽ n!∑_(j = 1)^n‖m_1‖…‖m_(j − 1)‖‖m_j − r_j‖‖r_(j + 1)‖…‖r_n‖
où l'on convient que
‖m_1‖…‖m_(j − 1)‖ = 1 pour j = 1 et ‖r_(j + 1)‖…‖r_n‖ = 1 pour j = n
  1. Montrer la propriété suivante : pour tout j ∈ I_n,
perM = ∑_(i = 1)^n m_(ij)per(M(i|j))

II Formes quadratiques

Dans toute cette partie, Q est une matrice symétrique réelle inversible. On note sp(Q) = (λ_1, ⋯, λ_n) la suite de ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, n^+(Q) le nombre de termes strictement positifs dans sp(Q) et n^−(Q) le nombre de termes strictement négatifs dans sp(Q).
4. Soit H ∈ V_0^+et G ∈ V^−, montrer que H et G sont en somme directe et que r(Φ_Q) + s(Φ_Q) ⩽ n.
5. Montrer que r(Φ_Q) ⩾ n^+(Q).
On a alors de même s(Φ_Q) ⩾ n^−(Q).
6. Montrer que r(Φ_Q) = n^+(Q) et que s(Φ_Q) = n^−(Q).
Soit R une autre matrice symétrique réelle inversible de taille n telle qu'il existe une constante κ satisfaisant la propriété suivante : pour tout x et y de R^n,
|B_Q(x, y) − B_R(x, y)| ⩽ κ‖x‖‖y‖.
  1. Montrer qu'il existe δ > 0 tel que r(Φ_Q) = r(Φ_R) si κ ⩽ δ.

III Espaces de Lorentz

Définition 3. Soit Q ∈ M_(n, n)(R), une matrice symétrique et Φ_Q la forme quadratique associée. On dit que ( R^n, Q ) est un espace de Lorentz lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées :
i) Q est inversible,
ii) r(Φ_Q) = 1 et s(Φ_Q) = n − 1.
On suppose dans cette partie que Q ∈ M_(n, n)(R) est telle que ( R^n, Q ) soit un espace de Lorentz. Soit a un vecteur tel que Φ_Q(a) > 0 et b ∈ R^n. Soit l'application φ définie par
φ : R, ⟶ R; ρ, ⟼ Φ_Q(b + ρa).
  1. On suppose, dans cette question, que a et b sont linéairement indépendants. Montrer qu'il existe au moins une valeur de λ telle que
φ(λ) < 0.
  1. Établir la propriété :
B_Q(a, b)^2 ⩾ Φ_Q(a)Φ_Q(b)
avec égalité si et seulement si a et b sont colinéaires.
On pourra s'inspirer de la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

IV Inégalité d'Alexandrov

On veut maintenant établir le théorème suivant. On note ( e_1, ⋯, e_n ) la base canonique de R^n.
Théorème 1. Soit n un entier supérieur à 2. Soit m_1, ⋯, m_n des éléments de R^n à composantes strictement positives. Soit Q la matrice symétrique dont les coefficients sont définis par
q_(ij) = per(m_1, m_2, ⋯, m_(n − 2), e_i, e_j), i ∈ I_n, j ∈ I_n
Soit B_Q et Φ_Q les formes bilinéaires et quadratiques associées à Q respectivement. L'espace ( R^n, Q ) est un espace de Lorentz.
10. Calculer r(Φ_Q) et s(Φ_Q) pour n = 2, c'est-à-dire pour
Q = (0, 1; 1, 0)
On suppose le théorème 1 établi pour tout k ⩽ n − 1.
11. Établir pour tout j de I_n l'inégalité :
(per(m_1, ⋯, m_(n − 3), m_(n − 2), c, e_j))^2; ⩾, per(m_1, ⋯, m_(n − 3), m_(n − 2), m_(n − 2), e_j); × per(m_1, ⋯, m_(n − 3), c, c, e_j)
avec égalité si et seulement si c(j) et m_(n − 2)(j) sont colinéaires.
Dans les questions 12 et 13, c est un élément de R^n tel que Qc = 0.
12. Établir l'identité :
0 = Qc.c = ∑_(j = 1)^n m_(j, n − 2)per(m_1, ⋯, m_(n − 3), c, c, e_j)
  1. Montrer que pour tout j ∈ I_n,
per(m_1, ⋯, m_(n − 2), c, e_j) = 0 et per(m_1, ⋯, m_(n − 2), m_(n − 2), e_j) > 0
  1. En déduire Qc = 0 si et seulement si c = 0.
Soit e = ∑_(i = 1)^n e_i, pour tout θ appartenant à [0, 1], on pose
B_θ(x, y) = per(θm_1 + (1 − θ)e, ⋯, θm_(n − 2) + (1 − θ)e, x, y).
On note Q_θ et Φ_θ la matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme bilinéaire symétrique B_θ.
15. Expliciter Q_0. Montrer que ses valeurs propres sont (n − 1) ! et − (n − 2) ! et que
r(Φ_(Q_0)) = 1 ainsi que s(Φ_(Q_0)) = n − 1
  1. Soit θ et θ^′ deux éléments distincts de [0, 1]. Montrer que, pour tout x et tout y de R^n,
|B_θ(x, y) − B_(θ^′)(x, y)| ⩽ nn!|θ − θ^′|‖x‖‖y‖∏_(j = 1)^(n − 2)(‖m_j‖ + √n).
  1. Établir que r(Φ_(Q_1)) = 1 et s(Φ_(Q_1)) = n − 1.
On pourra raisonner par l'absurde et considérer τ = sup_(θ ∈ [0, 1]){θ/r(Φ_(Q_θ)) = 1}.
18. Établir l'inégalité d'Alexandrov qui stipule que pour m_1, ⋯, m_(n − 1) vecteurs de R^n à coordonnées strictement positives et b vecteur quelconque de R^n,
(per(m_1, ⋯, m_(n − 1), b))^2 ⩾ per(m_1, ⋯, m_(n − 1), m_(n − 1))per(m_1, ⋯, b, b).

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 MP 2008 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 MP 2008 ?

Il porte sur les endomorphismes symétriques, les formes quadratiques, la dimension des sous-espaces vectoriels et les fonctions continues sur un fermé borné d'un espace de dimension finie, autour du permanent d'une matrice.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines MP 2008 ?

Le jury déplore surtout des tentatives de bluff sur les questions dont le résultat est donné, la confusion entre somme directe et supplémentaires, et l'idée fausse qu'une forme quadratique non dégénérée ne s'annule qu'en zéro.

Comment rédiger une question dont la réponse est donnée dans l'énoncé aux Mines ?

Le jury attend une démonstration concise, sans étape omise, citant précisément les théorèmes et les questions antérieures utilisées. Une rédaction vague peut être interprétée comme du bluff et coûter cher.

Le sujet Mines maths 1 MP 2008 est-il long ?

Le rapport juge sa taille adaptée à la durée de l'épreuve, mais précise que peu de candidats ont eu le temps d'aborder correctement les trois dernières questions.

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