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Mines Mathématiques 2 MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Autour des exponentielles de matrices : formule de Trotter-Kato, algèbres de Lie et comportement asymptotique
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Le sujet étudie l'exponentielle de matrices sous plusieurs angles. Après des préliminaires (commutation, norme, déterminant), il démontre la formule de Trotter-Kato, introduit l'algèbre de Lie d'un groupe de matrices, puis caractérise les matrices A telles que exp(tA) tend vers 0, à l'aide des sous-espaces caractéristiques et de la décomposition de Dunford. La partie 4 est indépendante des parties 2 et 3.

  1. 1Partie 1 : questions préliminairesdeuxième annéeExponentielle de matrices qui commutent, problème de Cauchy, majoration de la norme et formule det(exp A) = exp(tr A).
  2. 2Partie 2 : formule de Trotter-Katodeuxième annéeLimite de (exp(A/k) exp(B/k))^k par développement limité et somme télescopique.
  3. 3Partie 3 : vers les algèbres de Liedeuxième annéeAlgèbres de Lie du groupe spécial linéaire et du groupe orthogonal, structure d'espace vectoriel et lien avec l'espace tangent en l'identité.
  4. 4Partie 4 : comportement asymptotiquedeuxième annéeÉtude d'un exemple puis cas général : lemme des noyaux, décomposition de Dunford et condition sur les parties réelles des valeurs propres.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Passages à la limite passés sous silence · Théorèmes généraux appliqués à des fonctions matricielles · Calculs empilés sans argument
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Les correcteurs notent une baisse sensible de la qualité des copies, en présentation comme en contenu. L'épreuve a révélé des lacunes importantes en réduction des endomorphismes et de nombreux passages à la limite non justifiés. Beaucoup de points ont été perdus par des calculs formels sans explication.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Passages à la limite passés sous silenceQ1, Q4, Q10

    Les égalités sur des séries de matrices exigent de passer par les sommes partielles puis d'invoquer la continuité du produit matriciel, de la norme ou de la transposition. Le barème de Q1 était découpé selon ces étapes.

    « passant sous silence les passages à la limite qui devaient être impérativement pris en compte dans les justifications »
  2. 2
    Théorèmes généraux appliqués à des fonctions matriciellesQ2

    Pour justifier le caractère C1, il fallait écrire la fonction comme une application bilinéaire de deux fonctions C1. Le théorème de Cauchy a rarement été énoncé clairement.

    « Ce type d’argument ne s’applique pas ici car les fonctions sont à valeurs matricielles »
  3. 3
    Calculs empilés sans argumentQ8

    L'argument décisif (somme télescopique, changement d'indice) doit apparaître clairement. Il fallait aussi prouver l'existence des limites avant de les égaler.

    « des lignes de calculs enchaînées sans ligne directrice ni explications claires ne sauraient constituer une rédaction valable »
  4. 4
    Groupe orthogonal mal définiQ10

    Cette erreur, déjà signalée l'année précédente, a été retrouvée. En Q10, des égalités d'ensembles ont été déduites d'une seule inclusion.

    « le groupe orthogonal n’est pas égal à l’ensemble des matrices de déterminant »
  5. 5
    Confusions en réductionQ18, Q19, Q20

    Sous-espaces caractéristiques pris pour des sous-espaces propres, stabilité non vérifiée, valeurs propres complexes traitées comme des réels et matrices déclarées semblables car de même polynôme caractéristique.

    « des candidats qui confondent les notions de sous-espace caractéristique et de sous-espace propre »
  6. 6
    Fausse décomposition de DunfordQ21

    La partie diagonale et la partie strictement triangulaire d'une matrice trigonalisée ne conviennent pas.

    « en général ces deux matrices ne commutent pas »

Ce qui a été bien réussi

  • Q6, parmi les plus faciles, a été dans l'ensemble relativement bien traitée.
  • La détermination de l'algèbre de Lie du groupe spécial linéaire (Q9) a été plutôt bien réussie, avec le lien vers Q5.
  • Q11 et Q14 ont été correctement traitées, même dans des copies plutôt faibles.
  • Le calcul des puissances de la matrice T par récurrence (Q18) a généralement été correct.

Conseils du jury

  • Justifier chaque passage à la limite par les sommes partielles et un argument de continuité.
  • Lire tout le sujet avant de redémontrer un résultat : la décomposition de Dunford était traitée plus loin, et certains résultats étaient admis.
  • Relire les changements d'indice et les calculs de sommes, souvent faux par précipitation.
  • Détailler l'usage du lemme des noyaux et de Cayley-Hamilton : les citer sans détail a coûté beaucoup de points.
  • Lire les rapports des années précédentes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Autour des exponentielles de matrices

Dans tout le sujet, le corps K sera R ou C, et n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note ‖ ⋅ ‖ une norme sur l'espace vectoriel M_n(K), vérifiant les propriétés
‖I_n‖, = 1; ∀(A, B) ∈ (M_n(K))^2, ‖AB‖
On rappelle que l'exponentielle d'une matrice A de M_n(K) est la matrice, notée e^A, ou bien exp(A), définie par
e^A = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(A^k)/(k!)
On rappelle que, pour tout A ∈ M_n(K), l'application
f_A : R → M_n(K), t ↦ f_A(t) = e^(tA)
est de classe C^1 sur R, avec
∀t ∈ R f_A^′(t) = Ae^(tA) = e^(tA)A
On admettra que, si A et B sont deux matrices semblables de M_n(K), plus précisément si on a B = P^(− 1)AP avec P ∈ GL_n(K), alors
e^B = P^(− 1)e^A P
Si A et B sont deux matrices de M_n(K), on définit leur crochet de Lie par
[A, B] = AB − BA
La partie 4 du problème est indépendante des parties 2 et 3 .

1 Questions préliminaires

On se donne deux matrices A et B dans M_n(K). On suppose dans les questions 1) et 2) que A et B commutent.
1▹ Montrer que les matrices A et e^B commutent.
On définit une application
g : R, → M_n(K); t, ⟼ g(t) = e^(t(A + B))e^(− tB).
2 - Montrer que l'application g, et l'application f_A définie en préambule, sont solutions d'un même problème de Cauchy. En déduire une démonstration de la relation
∀t ∈ R e^(t(A + B)) = e^(tA)e^(tB).
3▹ Réciproquement, on suppose la relation (1) satisfaite. En dérivant deux fois cette relation par rapport à la variable réelle t, montrer que les matrices A et B commutent.
4▹ Pour toute matrice A ∈ M_n(K), prouver la relation ‖e^A‖ ≤ e^(‖A‖).
5 ▹ Montrer que det(e^A) = e^(tr(A)).

2 Formule de Trotter-Kato

Dans cette partie, on note A et B deux matrices quelconques de M_n(K). L'objectif est de prouver la relation
lim_(k → + ∞)(e^(A/k)e^(B/k))^k = e^(A + B) ou lim_(k → + ∞)(exp(A/k)exp(B/k))^k = exp(A + B).
Pour tout k entier naturel non nul, on pose
X_k = exp(A/k)exp(B/k) et Y_k = exp((A + B)/k).
6▹ Prouver les majorations
∀k ∈ N^∗ ‖X_k‖ ≤ exp((‖A‖ + ‖B‖)/k) et ‖Y_k‖ ≤ exp((‖A‖ + ‖B‖)/k).
On introduit la fonction
h : R, ⟶ M_n(K); t, ⟼ h(t) = e^(tA)e^(tB) − e^(t(A + B))
7▹ Montrer que
X_k − Y_k = O(1/(k^2)) lorsque k → + ∞.
8 - Vérifier la relation
X_k^k − Y_k^k = ∑_(i = 0)^(k − 1)X_k^i(X_k − Y_k)Y_k^(k − i − 1)
En déduire la relation (2).

3 Vers les algèbres de Lie

Dans cette partie, K = R. Pour tout n entier naturel, n ≥ 2, on introduit l'ensemble, dit groupe spécial linéaire :
SL_n(R) = {M ∈ M_n(R)|det(M) = 1}.
Si G est un sous-groupe fermé de GL_n(R), on introduit son algèbre de Lie :
A_G = {M ∈ M_n(R)|∀t ∈ R e^(tM) ∈ G}.
L'ensemble SL_n(R), ainsi que le groupe orthogonal O_n(R), sont bien des sousgroupes fermés de GL_n(R). On ne demande pas de le démontrer.
9▹ Déterminer A_G lorsque G = SL_n(R).
10▹ Si G = O_n(R), montrer que A_G = A_n(R), ensemble des matrices antisymétriques.
Dans les questions 11) à 14), G est un sous-groupe fermé quelconque de GL_n(R).
11▹ En utilisant la partie 2, montrer que A_G est un sous-espace vectoriel de M_n(R).
12▹ Soient A ∈ A_G et B ∈ A_G. Montrer que l'application
u : R, ⟶ M_n(R); t, ⟼ u(t) = e^(tA) ⋅ B ⋅ e^(− tA)
est à valeurs dans A_G.
13▹ En déduire que A_G est stable par le crochet de Lie, i.e.
∀A ∈ A_G, ∀B ∈ A_G, [A, B] ∈ A_G.
On rappelle que, si M est une matrice de M_n(R), on dit que M est tangente à G en I_n s'il existe ε > 0 et une application γ : ] − ε, ε[ → G, dérivable, telle que γ(0) = I_n et γ^′(0) = M. L'ensemble des matrices tangentes à G en I_n est appelé espace tangent à G en I_n, et noté T_(I_n)(G).
On rappelle aussi que l'application det : M_n(R) → R est différentiable en tout point, par exemple parce qu'elle est polynomiale.
14 ▹ Prouver l'inclusion A_G ⊂ T_(I_n)(G).
15▹ Soit M ∈ M_n(R), que l'on pourra aussi considérer comme matrice complexe, soit l'application δ_M : R → R, t ↦ δ_M(t) = det(I_n + tM). En utilisant un développement limité à l'ordre 1 , montrer que δ_M est dérivable en 0 et calculer δ_M^′(0).
16▹ Montrer que la différentielle au point I_n de l'application det : M_n(R) → R est la forme linéaire "trace".
17▹ Montrer que, dans les cas particuliers G = SL_n(R) et G = O_n(R), on a T_(I_n)(G) = A_G.

4 Comportement asymptotique

Étude d'un exemple

On considère deux nombres complexes distincts α et β. On suppose qu'une matrice A ∈ M_3(C) admet α pour valeur propre simple, β pour valeur propre double.
18▹ Montrer que A est semblable à une matrice de la forme
T = (α, 0, 0; 0, β, a; 0, 0, β)
où a est un certain nombre complexe. Calculer T^n pour n entier naturel, puis e^(tT) pour t réel. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur α et β pour que l'on ait lim_(t → + ∞)e^(tA) = 0_3.

Cas général

Dans tout ce qui suit, K = C. On pose E = C^n. L'espace vectoriel E, identifié à M_(n, 1)(C), peut être muni d'une quelconque norme notée ‖ ⋅ ‖_E, on rappelle qu'elles sont toutes équivalentes. On se donne A ∈ M_n(C) une matrice carrée à coefficients complexes, et on note u l'endomorphisme de C^n canoniquement associé à cette matrice. On s'intéresse au comportement asymptotique de la fonction f_A introduite dans le préambule, et à celui des fonctions vectorielles solutions du système différentiel linéaire à coefficients constants X^′ = AX. Pour tout t réel et pour (i, j) ∈ [ [1, n] ]] ]^2, on notera v_(i, j)(t) le coefficient d'indices (i, j) de la matrice e^(tA). Ainsi,
∀t ∈ R f_A(t) = e^(tA) = (v_(i, j)(t))_(1 ≤ i, j ≤ n) ∈ M_n(C).
Pour toute valeur propre λ de la matrice A, on note m_λ sa multiplicité, et on introduit le sous-espace vectoriel
F_λ = Ker((A − λI_n)^(m_λ)) = Ker((u − λId_E)^(m_λ)).
On posera aussi α = max_(λ ∈ Sp(A))Re(λ).
19▹ Montrer que, si lim_(t → + ∞)f_A(t) = 0_n, alors α < 0.
20▹ Montrer que C^n = ⨁_(λ ∈ Sp(A))F_λ.
21▹ En déduire l'existence de trois matrices P, D et N dans M_n(C) telles que:
P, est inversible,; D, est diagonale,; N, est nilpotente,; ND, = DN; A, = P(D + N)P^(− 1); χ_A, = χ_D
22▹ En déduire qu'il existe un entier naturel p tel que, pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, on ait
v_(i, j)(t) = O(t^p e^(αt)) lorsque t → + ∞
23▹ Étudier la réciproque de la question 19).
24▹ On suppose, dans cette question seulement, que les valeurs propres de la matrice A ont toutes des parties réelles positives ou nulles. Montrer que, si X ∈ C^n, on a
lim_(t → + ∞)e^(tA)X = 0 ⟺ X = 0
Dans les questions qui suivent, on introduit les polynômes suivants :
P_s(X) = ∏_(λ ∈ Sp(A); Re(λ) < 0)(X − λ)^(m_λ); P_i(X) = ∏_(λ ∈ Sp(A); Re(λ) > 0)(X − λ)^(m_λ); P_n(X) = ∏_(λ ∈ Sp(A); Re(λ) = 0)(X − λ)^(m_λ)
et les sous-espaces E_s = Ker(P_s(A)), E_i = Ker(P_i(A)) et E_n = Ker(P_n(A)) de E = C^n. Les indices s, i, n signifient respectivement stable, instable et neutre.
25▹ Après avoir justifié que E = E_s ⊕ E_i ⊕ E_n, montrer que
E_s = {X ∈ E|lim_(t → + ∞)e^(tA)X = 0}
On prouverait de même, mais ce n'est pas demandé, que
E_i = {X ∈ E|lim_(t → − ∞)e^(tA)X = 0}
26 - Montrer que
E_n = {X ∈ E|∃C ∈ R_+^∗ ∃p ∈ N ∀t ∈ R ‖e^(tA)X‖_E ≤ C(1 + |t|)^p}.
E_n est donc l'ensemble des vecteurs X de C^n tels que la fonction vectorielle t ↦ e^(tA)X ait un comportement polynomial en − ∞ et + ∞.
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 MP 2022 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 MP 2022 ?

Sur l'exponentielle de matrices, la réduction des endomorphismes (sous-espaces caractéristiques, lemme des noyaux, décomposition de Dunford), les espaces vectoriels normés, les équations différentielles linéaires et le calcul différentiel.

Quelles erreurs le jury des Mines a-t-il relevées en maths 2 MP 2022 ?

Surtout des passages à la limite non justifiés sur les séries de matrices, des calculs sans explication, la confusion entre sous-espace propre et sous-espace caractéristique, et une fausse décomposition de Dunford obtenue par trigonalisation.

Quelles questions du sujet Mines maths 2 MP 2022 ont été les mieux réussies ?

Selon le rapport, Q6, Q9, Q11 et Q14 ont été plutôt bien traitées, y compris dans des copies faibles pour Q11 et Q14.

Mines maths 2 MP 2022 : la partie 4 peut-elle se traiter seule ?

Oui, l'énoncé précise que la partie 4 sur le comportement asymptotique est indépendante des parties 2 et 3.

Pas de description pour le moment