Mines Physique 1 MP 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 Mines MP 2004 sur la plongée sous-marine ?

Elle porte sur la statique des fluides et la poussée d'Archimède, les transformations isothermes et adiabatiques d'un gaz, ainsi que sur une équation de diffusion appliquée à l'accident de décompression.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans le sujet Mines physique 1 MP 2004 ?

Le jury relève une confusion de signe sur la pression en fonction de la profondeur, une confusion entre transformations isotherme et adiabatique, et une tendance à valider un résultat malgré une équation intégrée fausse.

Q: Le sujet de physique 1 Mines MP 2004 sur la plongée sous-marine est-il difficile ?

Le rapport indique que le problème était relativement court et sans difficultés majeures, mais qu'il restait très classant car la thermodynamique élémentaire posait des problèmes à trop de candidats.

Pas encore noté

Statique des fluides et poussée d'Archimède
Transformations isothermes et adiabatiques d'un gaz
Bilans de matière et décompte des moles
Équation de diffusion et séparation des variables

Explorer les annales

BanqueMines Année2004 FilièreMP MatièrePhysique

Annales Mines MP Physique Mines MP 2004 MP Physique Physique 2004

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé sur Discord

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

La plongée sous-marine : plongée libre, plongée avec bouteille et accident de décompression

Le sujet porte sur les principaux aspects physiques de la plongée sous-marine et repose sur des notions de base de thermodynamique. Il étudie successivement la plongée libre sans bouteille, la plongée avec bouteille et détendeur, puis un exemple de danger lié à un accident de décompression.

1I. Plongée libre (sans bouteille)Étude de la pression en fonction de la profondeur et de la flottabilité du plongeur, à partir de la poussée d'Archimède.
2II. Plongée avec bouteille et détendeurÉtude du remplissage de la bouteille et de l'utilité du détendeur, à travers des transformations isothermes et adiabatiques d'un gaz.
3III. Un exemple de danger, l'accident de décompressionÉtude d'une équation de diffusion avec séparation des variables et exploitation des conditions aux limites pour décrire l'accident de décompression.

Le jury indique que le problème était relativement court et sans difficultés majeures, mais qu'il restait très classant car la thermodynamique élémentaire posait des problèmes à trop de candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion de signe sur la pression · Valeurs farfelues pour le volume des poumons · Confusion isotherme et adiabatique

Le jury souligne que le problème, bien que relativement court et sans difficultés majeures, s'est révélé très classant car la thermodynamique élémentaire a posé des problèmes à un grand nombre de candidats. Il relève aussi que de nombreuses questions annexes demandées explicitement dans le texte n'ont pas été traitées, même dans les bonnes copies, et que l'orthographe reste très fantaisiste malgré une présentation globalement plus soignée que les années précédentes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion de signe sur la pression1
La relation P(z) = Pa - ρgz est bien connue, mais sa représentation graphique est souvent absente ou comporte une confusion de signe alors que la pression doit augmenter avec la profondeur.
2
Valeurs farfelues pour le volume des poumons2, 3
Certains candidats donnent des valeurs farfelues, voire négatives, pour le volume des poumons ou pour la masse du lest.
3
Confusion isotherme et adiabatique4
Peu de candidats font apparaître la relation PVγ, signe que la différence entre transformation isotherme et adiabatique n'est pas encore comprise par certains.
4
Approximation Vmin = 0 non maîtrisée
L'approximation Vmin << Vb a conduit trop de candidats à poser sans s'en rendre compte Vmin = 0, ce qui rendait le calcul de pmax impossible.
5
Intégration d'une équation fausse validée sans vérification13
Un trop grand nombre de candidats intègrent une équation fausse, en signe ou sur la constante q2, et donnent malgré tout le résultat indiqué dans l'énoncé sans sourciller.
6
Période spatiale mal identifiée15
Bien peu de candidats ont trouvé la période spatiale, en oubliant que 2π n'est pas une longueur, et un nombre très restreint a bien utilisé les conditions aux limites pour l'expression complète de C(x,t).
« 2π n'est pas une longueur »

Ce qui a été bien réussi

Les questions 9, 10 et 11 sont plutôt bien traitées.
La présentation et l'écriture sont, dans l'ensemble, plus soignées que les années précédentes.
Beaucoup de candidats ont justifié le choix du signe de la constante à la question 12.
La dernière question a été abordée par beaucoup de candidats.

Conseils du jury

Lire attentivement le texte et utiliser ses notations pour éviter les erreurs sur la signification des grandeurs.
Traiter systématiquement les applications numériques et formules intermédiaires demandées explicitement dans l'énoncé.
Vérifier par une analyse dimensionnelle rapide la nature d'une grandeur, par exemple pour trancher entre volume, masse ou poids d'eau déplacée.
Justifier la méthode de séparation des variables ainsi que le choix du signe et de la constante dans une équation différentielle.
Soigner l'orthographe et la rédaction, importantes dans la vie professionnelle d'un ingénieur.
Réviser le programme des deux années de prépa, en particulier la thermodynamique élémentaire.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière MP

(Durée de l'épreuve :

3

heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique I - Filière MP

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 5 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures.
Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

LA PLONGÉE SOUS-MARINE

Si la plongée sous-marine apporte des joies multiples, elle présente aussi des dangers, liés aux aspects physiologiques et anatomiques du corps humain.

I Plongée libre (sans bouteille)

L'eau où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène et incompressible, de masse volumique

ρ = 1, 0 \times 10^3 kg.m^(- 3)

, en équilibre dans le champ de pesanteur

g

uniforme, avec

g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)

. La surface libre de l'eau (cote

z = 0

) est en contact avec l'atmosphère, de pression constante

P_(atm) = 1, 013 \times 10^5 Pa

Fig. 1

θ1

- Déterminer, littéralement et numériquement, la pression

p(z)

de l'eau en un point de cote

z

; tracer le graphe de

p(z)

θ2

- On assimile l'air contenu dans les poumons du plongeur à un gaz parfait ; cet air est caractérisé par une pression

p(z)

identique à celle de l'eau à la cote

z

, un volume

V(z)

(capacité pulmonaire) variable (la cage thoracique se déforme sous l'effet de la pression), et enfin par une température

T_i

, constante et indépendante de la
profondeur. Calculer la capacité pulmonaire du plongeur à une cote

z

sachant que celui-ci, avant de plonger, gonfle ses poumons à leur capacité maximale

V_M

puis bloque sa respiration. On donne

z = - 10 m

V_M = 7 \times 10^(- 3) m^3

. On définit le poids apparent du plongeur (et l'on nomme flottabilité) comme la résultante de la poussée d'Archimède et des forces de pesanteur. Comment varie la flottabilité lorsque la profondeur augmente ? diminue-t-elle ou augmente-t-elle ?

θ3

- Afin de faciliter leur descente lors des premiers mètres, les plongeurs utilisent souvent un lest, plaque de plomb de volume négligeable, accrochée à une ceinture et facilement largable. Ce lest ne doit pas être trop lourd car un surlestage peut inciter à descendre à une profondeur excessive. On appelle

m

la masse du plongeur,

V^*(z)

le volume de son corps et

V_0

le volume de son corps hors celui de la cage thoracique, de sorte que

V*(z) = V_0 + V(z)

. Quelle masse

m_1

de lest choisir si l'on adopte comme règle de sécurité le fait que le plongeur doit avoir une flottabilité nulle à la profondeur de 5 mètres?
Application numérique :

V_0 = 0, 077 m^3

m = 80 kg

II Plongée avec bouteille et détendeur

Remplissage de la bouteille

Fig. 2 : Compresseur

Afin d'effectuer le remplissage d'une bouteille à parois indéformables, de volume

V_b

, on utilise un compresseur constitué (Fig. 2) d'un cylindre, de deux soupapes S et S' et d'un piston, mobile sans frottement entre les positions extrêmes AA' et BB'. Lors de l'aller (phase d'aspiration) la soupape

S

est ouverte alors que

S

' est fermée ; on a alors admission de l'air atmosphérique dans le cylindre à la pression

P_(atm)

. Lors du retour (phase de compression), l'air dans le cylindre est comprimé, de la pression

P_a

à la pression

P_b

; la soupape S est fermée alors que la soupape

S^'

s'ouvre dès que la pression dans le cylindre devient supérieure à celle de la bouteille

P_b

. Quand le piston est en AA', le volume limité par le piston et la section CC' est

V_(min)

; quand le piston est en BB', ce volume est égal à

V_(max)

. Les transformations de l'air sont isothermes (les températures dans le cylindre et dans la bouteille sont identiques, égales à la température

T_a

de l'atmosphère) ; les transformations sont quasi-statiques ; l'air est toujours considéré comme un gaz parfait.

Ө4-La pompe n'ayant pas encore fonctionné, l'état initial du système est le suivant :

Bouteille : pression $P_b = P_(atm)$ , température $T_b = T_a$ .
Cylindre : pression $P_(atm)$ , température $T_a$ , position du piston AA'.

Le piston fait un aller et un retour. Déterminer la pression

P_b

à l'intérieur de la bouteille à la fin de cette transformation ; en déduire, sous l'hypothèse

V_(min)≪V_b

, la variation

Δn

du nombre de moles contenues dans la bouteille. Application numérique :

V_b = 5 \times 10^(- 3) m^3

V_(min) = 2 \times 10^(- 5) m^3, V_(max) = 2 \times 10^(- 3) m^3, T_a = 293 K

R = 8, 31 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1)

日5-Le compresseur ayant fonctionné, on considère qu'à un instant

t

donné, la soupape S est ouverte alors que la soupape

S

' est fermée ; l'état du système est alors le suivant :

Bouteille : pression $P_b = p$ , température $T_b = T_a$ .
Cylindre : pression $P_(atm)$ , température $T_a$ , position du piston AA'.

Le piston fait un aller-retour ; déterminer le volume d'air

V^'

dans le cylindre lorsque la soupape S' s'ouvre, puis, en fonction de

p, V_b, P_(atm), V_(min)

V_(max)

, la pression

p^'

dans la bouteille à la fin de cette opération. En déduire, en fonction des mêmes grandeurs, la variation

Δp

de la pression à l'intérieur de la bouteille. Déterminer la pression maximale

p_(max)

que l'on peut obtenir par ce procédé et interpréter le résultat obtenu.

θ6

- Calculer

Δp

p_(max)

pour

p = 0, 2 \times 10^7 Pa

, et en conservant les données numériques antérieures.

Ө7 - On considère l'instant

t

de la question 5, l'état du système étant identique. Le piston fait

α

allers-retours par seconde, la durée de chaque aller-retour est notée

Δt(Δt = 1/α)

. Établir l'équation différentielle liant

p

(dp)/(dt)

(on assimilera

(Δp)/(Δt)

(dp)/(dt)

θ8

- Le compresseur ayant démarré à l'instant

t = 0

, les conditions initiales étant celles qui ont été définies à la question 4 , déterminer la pression

p(t)

à un instant

t

quelconque. Compte-tenu de l'inégalité

V_(min)≪V_b

, on pourra poser

τ = (V_b)/(αV_(min))

. Pour

α = 4

allers et retours par seconde, calculer le temps

T

au bout duquel la pression

p

dans la bouteille est égale à

0, 5 \times 10^7 Pa

Utilité du détendeur

La pression dans la bouteille peut varier de 100 à 200 bars en début de plongée jusqu'à 30 à 50 bars en fin de plongée : la réserve de sécurité est caractérisée par la pression de seuil

p_s

. Il faut ramener la pression de l'air sortant de la bouteille à la pression ambiante, pression de l'air respiré par le plongeur. Le détendeur assure cette fonction. Ce dispositif, inséré entre la bouteille d'air et la bouche du plongeur (image hors-texte, en page 5), fournit de l'air à la demande de ce dernier. Le détendeur possède ainsi plusieurs fonctions :

Il réduit la pression de l'air issu de la bouteille à la pression $p(z)$ de l'endroit où se trouve le plongeur,
il fournit la quantité d'air nécessaire à la respiration du plongeur à la pression $p(z)$ ,
il se bloque lorsque la pression $P_b$ de l'air dans la bouteille devient de l'ordre de la pression seuil $p_s$ . Le plongeur est alors averti qu'il doit passer sur la réserve et remonter.
$θ9$ - Au début de la plongée, la bouteille, de volume $V_b$ , est remplie d'air à la température $T_b = T_a$ sous une pression $p$ ; en profondeur ou en surface, la bouteille et son contenu prennent instantanément la température $T_e$ , constante, de l'eau environnante. Calculer le nombre de moles d'air contenues dans la bouteille, d'une part au début de la plongée ( $n_i$ ), d'autre part au moment où le détendeur se bloque ( $n_s$ ). Application numérique : $p = 1, 0 \times 10^7 Pa$ , $p_s = 4, 0 \times 10^5 Pa, V_b = 5 \times 10^(- 3) m^3, T_a = 293 K$ et $T_e = 288 K$ .
$θ10$ - La respiration du plongeur est périodique, de fréquence $f$ . Sous la pression locale
$p(z)$ et à la température $T_e$ , le volume moyen de l'air inspiré au cours de chaque cycle (avant d'être ensuite rejeté à l'extérieur) est $Ω_0$ ; calculer le temps $Δt_s(z)$ au bout duquel le détendeur se bloque ; pour simplifier les calculs on admettra que le temps de descente du plongeur à la profondeur $z$ est négligeable et que ce dernier se maintient tout le temps $Δt_s(z)$ à la profondeur $z$ .
Application numérique : $z = - 20 m, Ω_0 = 2, 0 \times 10^(- 3) m^3, f = 0, 2 s^(- 1)$ et $T_e = 288 K$ .
$θ11$ - Comparer $Δt_s(z)$ au temps $Δt_s(0)$ mis par le détendeur pour se bloquer si le plongeur reste en surface, où $z = 0$ et $T = T_a$ .

III Un exemple de danger, l'accident de décompression

Lors d'une plongée, le détendeur équilibre la pression de l'air inhalé dans les poumons avec celle de l'eau environnante. Cet air est principalement composé d'oxygène (

21%

) et d'azote (

78%

). L'azote est un gaz diluant qui, au cours de la descente, se dissout par diffusion dans le sang puis dans les tissus. À température constante et à saturation, la quantité de gaz dissous dans un liquide est proportionnelle à la pression exercée par ce gaz sur le liquide (loi de Henry) ; la quantité d'azote qui se dissout dans l'organisme d'un plongeur augmente donc avec la profondeur. Ce phénomène engendre des problèmes lorsque le plongeur remonte trop vite à la surface : l'azote dissous, sous l'effet de la diminution de la pression, reprend sa forme gazeuse. Des bulles apparaissent alors dans l’organisme du plongeur. Dans 90 % des cas, les accidents de décompression sont localisés dans les articulations, particulièrement au niveau des tissus cartilagineux. Une hypothèse couramment admise (dite hypothèse de Hempleman) est que ces accidents surviennent lorsque la masse d'azote stockée dans les cartilages dépasse une valeur critique.

Fig. 3 : stockage dÕazote

θ12

- Le cartilage n'étant pas irrigué par le sang, les échanges d'azote entre sang et cartilage ont lieu uniquement par diffusion, supposée unidirectionnelle, suivant

Ox

(Fig. 3). La concentration d'azote

C(x, t)

dans le cartilage d'épaisseur

L(0 \leq x \leq L)

est supposée régie par l'équation de diffusion

(\partialC(x, t))/(\partialt) - D(\partial^2 C(x, t))/(\partialx^2) = 0

, où la constante

D

est le coefficient de diffusion. On cherche, pour cette équation, des solutions de la forme

C(x, t) = K + f(x)g(t)

, où

K

est une constante. Déterminer les équations différentielles vérifiées par

f(x)

g(t)

. On introduira dans ces équations une constante

q

homogène à l'inverse d'une longueur (et qui n'intervient, à ce stade, que par son carré).

θ13

- Montrer que,

q

étant fixé, la solution physiquement acceptable de l'équation de diffusion,

C_q(x, t)

, peut s'écrire

C_q(x, t) = K_q + [A_q cos(qx) + B_q sin(qx)]exp(- Dq^2 t)_()_(= F_q(x, t)).

θ14

- Le plongeur atteint la cote

z

au temps

t = 0

, puis reste à cette profondeur ; le temps mis pour atteindre cette cote est négligeable. On note

C_s(z)

la concentration en azote du sang du plongeur à la profondeur

z

. Déterminer les valeurs autorisées de

q

et les expressions de

K_q, A_q

B_q

, les conditions aux limites étant

C_q(0, t) = C_q(L, t) = C_s(z)

θ15

- Imposons à présent à la solution de l'équation de diffusion la forme

C(x, t) = K + \sum_q F_q(x, t),

où

F_q(x, t)

, introduit dans l'équation de la question 13 , est une fonction périodique de la variable

x

. Quelle est la période spatiale de cette fonction?
Déterminer alors l'expression de

C(x, t)

à la profondeur

z

. On notera

C_0

la concentration à saturation, homogène et à l'air libre, de l'azote dans le sang et l'on utilisera la condition initiale

C(x, 0) = C_0

.
Rappel :
Si

f(t) = A_0 + \sum_(n = 1)^\infty[A_n cos(nω_0 t) + B_n sin(nω_0 t)], B_n = 2/T\int_((T))f(u)sin(nω_0 t)du(T = (2π)/(ω_0))

FIN DE L'ÉPREUVE

Les détendeurs modernes comportent en réalité deux étages : le premier étage est la pièce métallique sur la bouteille, qui abaisse la pression de celle de la bouteille (200 bars en début de plongée) jusqu'à 50-30 bars. Le deuxième étage est dans la bouche. Il équilibre la pression avec la pression ambiante respirée par le plongeur. C'est ainsi un détendeur "à la demande" : quand le plongeur aspire, une membrane est tirée par dépression, ce qui libère l'air dans étage amont, etc. Cette membrane revient ensuite en place, ce qui empêche le "débit continu" et donc un gaspillage d'air.

Le problème présente l'ancien système "avec réserve" qui n'est plus guère utilisé de nos jours.

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 Mines MP 2004 sur la plongée sous-marine ?

Elle porte sur la statique des fluides et la poussée d'Archimède, les transformations isothermes et adiabatiques d'un gaz, ainsi que sur une équation de diffusion appliquée à l'accident de décompression.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans le sujet Mines physique 1 MP 2004 ?

Le jury relève une confusion de signe sur la pression en fonction de la profondeur, une confusion entre transformations isotherme et adiabatique, et une tendance à valider un résultat malgré une équation intégrée fausse.

Le sujet de physique 1 Mines MP 2004 sur la plongée sous-marine est-il difficile ?

Le rapport indique que le problème était relativement court et sans difficultés majeures, mais qu'il restait très classant car la thermodynamique élémentaire posait des problèmes à trop de candidats.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 1 MP 2004

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...